用變式教學激活小學生的數學思維

呂芳妮

【摘要】數學是思維的“體操”.數學變式教學是對小學生數學思維訓練的一種重要方式，它能有效地培養和訓練小學生數學思維的深刻性、敏捷性、靈活性、批判性、創造性和邏輯性.

【關鍵詞】變式教學；小學生；數學思維

變式是指交替使用同類事物的各種不同形式，即從不同的角度來舉例說明事物的本質特征.變式教學是數學教學的一種重要方法，可以作為鞏固數學基礎知識、形成數學能力的最直接的強化訓練.通過數學變式教學，可以提高小學生的觀察能力、概括能力以及解題的應變能力等多種基本數學能力，同時也能培養和訓練小學生的數學思維能力.

一、數學變式教學的理論基礎

數學變式教學，是很多教師喜愛和關注的一種教學方法，是建立在深厚的理論基礎之上的，歸納起來主要有以下三個方面.

（一）認識論基礎

辯證唯物主義認為：認識是主體對客體的能動反映，即主體以一定的思維方式或者方法整理感性材料，對來自客體的信息進行“重組”和“建構”，形成理性材料，從而表達客體的過程.對一個概念定理等要達到深刻的理解和認識，意味著對它們的各個側面進行充分認識，也就是要不斷地變更所提供材料或呈現問題的方式，使事物的非本質特征時隱時現，而事物的本質特征卻保持不變.因此，為了讓學生深刻而全面地理解與掌握數學概念、公式、定理等，教師有必要采取數學變式教學的方法.

（二）教育心理學基礎

皮亞杰認為，同化是指主體將其所遇到的外界信息直接納入自己現有的認知結構中的過程.在數學學習中，影響同化過程的一個重要因素是新知與原有認知結構中相應概念之間的“潛在距離”，而數學變式教學能夠起到縮短“潛在距離”、銜接新舊知識的橋梁作用.順應這一過程是通過主體根據外界信息主動修正自身的認知結構而實現的，這就要調動學習者的積極性.數學變式教學能改變數學單調乏味的呈現方式，使數學知識以一種新穎的方式呈現在學生面前，讓學生耳目一新，興趣盎然，為同化過程的順利進行創設了有利條件.

從心理學上來說，變換問題的條件意味著給學生的思維活動提供不同的背景和前提.問題條件的變化會促使學生分析出問題最本質的部分，也就是不變的部分，并對問題進行概括和分類，這樣就要使學生完成從一道習題向另外一道在本質上相類似的習題的遷移.從外表上來看，這是一種“變換—遷移”的依存關系；但是從深層上來看，則是從心理學上揭示出內部的“分析—概括”的依存關系，而后者是學生進行變式的內部心理機制.

（三）數學知識本身的要求

數學知識的高度的抽象性和應用的具體性之間的矛盾往往需要用變式來解決.在教學過程中，如果將概念、公式等還原到客觀事實之中，在豐富多樣的實際例子和模型中選擇含有新概念、新思想萌芽或者雛形的生活實際現象，適時地引入課堂，使實際情境數學化，從而幫助學生循序漸進地完成認知過程.

重要的或者基本的數學思想方法的理解與掌握，需要通過足夠的變式訓練教學才能實現.在現在的教材安排中，數學知識是一條明線，而相應的數學思想方法是蘊含在數學知識中的一條暗線，就像溶解在水里的鹽一樣不容易被發現，這就需要教師的細心引導.教師只有通過精心設計各種符合學生認知規律、符合實際需要的變式，從不同的角度促進學生理解和掌握數學知識，才能真正地把深奧的數學思想方法內化到學生的認知結構中去.

數學思維是人腦和數學對象交互作用并且按照一般的思維規律認識數學規律的過程.它的表現是學生從原有的認知結構出發，通過觀察、類比、聯想、猜想等一系列數學思維活動，立體式地展示問題、提出過程，在溫故知新的聯想過程中產生強烈的求知欲望，盡可能地參與概念的形成和結論的發展過程，并掌握觀察、實驗、歸納、演繹、類比、聯想、一般化與特殊化等思考問題的方法.教師只有通過精心設計各種變式，從各個角度促進學生的理解與掌握，才能培養和訓練學生的數學思維.

二、用變式教學激活小學生的數學思維

（一）通過變式教學，溝通數學知識間的內在聯系，培養和訓練小學生數學思維的深刻性

引導學生對問題進行抽象分析，把具體問題上升為一般的數學問題，啟發學生透過現象看本質，長期堅持，學生數學思維的深刻性會得到鍛煉.

例如，一個正方形的邊長擴大3倍，它的周長擴大（ ）倍.

變式1：一個正方形的邊長擴大3倍，它的周長擴大（ ）倍，它的面積擴大（ ）倍.

變式2：一個正方形的邊長擴大a倍，它的周長擴大（ ）倍，它的面積擴大（ ）倍.

變式3：一個圓的半徑長擴大a倍，它的周長擴大（ ）倍，它的面積擴大（ ）倍.

（二）通過變化一些題目的條件和結論，充分發揮知識結構間的聯系和轉化功能，培養和訓練學生數學思維的敏捷性

例如，原計劃30天生產360臺機器，實際20天完成，實際每天比原計劃多生產多少臺？

變式1：生產360臺機器，原計劃每天生產12臺，實際每天生產18臺，實際可提前多少天？

變式2：原計劃30天生產360臺機器，實際每天多生產6臺，實際多少天完成？

變式3：生產360臺機器，實際每天生產18臺，結果提前10天完成，原計劃每天生產多少臺？

變式4：生產360臺機器，實際20天完成，每天比原計劃多生產6臺，原計劃多少天完成？

變式5：生產360臺機器，原計劃每天生產12臺，實際提前10天完成，實際每天生產多少臺？

變式6：生產一批機器，原計劃30天完成，實際20天完成.實際每天比原計劃多生產6臺，這批機器有多少臺？

變式7：生產一批機器，原計劃每天生產12臺，實際每天生產18臺，結果提前10天完成，這批機器有多少臺？

變式8：生產360臺機器，原計劃完成的時間是實際的1.5倍，實際每天比原計劃多生產6臺，實際多少天完成？

變式9：生產360臺機器，實際每天生產的是原計劃的1.5倍，實際提前6天完成，原計劃每天生產多少臺？

變式10：生產360臺機器，實際完成的天數是原計劃的23，實際每天比原計劃多生產6臺，原計劃多少天完成？

變式11：要生產360臺機器，原計劃每天生產的是實際的23，實際提前10天完成，實際每天生產多少臺？

（三）在數學教學中，通過變式教學啟發學生多角度思考問題，鼓勵學生聯想，培養和訓練學生思維的靈活性

一題多解題目的訓練目的，不是單純地解題，而是為了培養和訓練學生的思維、發展學生的智力，提高學生的解題能力.對于學生“別出心裁”“獨辟蹊徑”的解法，我們要鼓勵和表揚.

例如，“已知甲船每小時航行80千米，乙船每小時航行60千米.現在兩船從相距200千米的A，B兩地同時出發，經過2小時航行，兩船相距多少千米？”在解這道應用題時，由于思維僵化，大多數學生只給出了一種情況的解法，得到了唯一的答案，實際上這道題有四種實際情況，與之相應的有四種解法，四種答案.

（1）兩船同時相對而行，相遇后又拉開距離：（80+60）×2-200=80（千米）.

（2）兩船同時相背而行：（80+60）×2+200=480（千米）.

（3）兩船同向而行，甲船在前面，乙船在后面：80×2+200-60×2=240（千米）.

（4）兩船同向而行，乙船在前面，甲船在后面：60×2+200-80×2=160（千米）.

這種多角度思考問題的訓練，可以幫助學生有力地克服思維僵化的現象，從而使數學知識的學習、數學能力的形成更加靈活而又高效.

（四）通過變式教學，培養和訓練學生思維的批判性

如，對于判斷改錯題，通過設計變式訓練，可以培養學生縝密分析和判斷問題，以批判的眼光對待已有的結論的思維.

例如，將一塊蛋糕分給4名小朋友，每人得到這塊蛋糕的14.（ ）

變式1：將一塊蛋糕分給4名小朋友，每人得到14塊蛋糕.（ ）

變式2：將一塊蛋糕等分給4名小朋友，每人得到14塊蛋.（ ）

（五）也可以將有用條件、無用條件混在一起，引導學生認真分析條件與問題，學會排除干擾，提高學生明辨是非、去偽存真的鑒別能力，從而培養學生思維的批判性

例如，學校有籃球72個、足球34個、排球12個，三種球共有多少個？

變式1：學校有籃球72個、足球34個、排球12個，籃球和排球共有多少個？

變式2：學校有籃球72個、足球34個、排球12個，籃球是排球的幾倍？

變式3：學校有籃球72個，是排球的3倍，足球34個，籃球和足球共有多少個？

（六）利用變式教學，培養和訓練學生思維的創造性

通過變式教學，使得教學內容的本質不變，研究問題的方法不變，把封閉性問題轉化成了開放性問題，讓學生探索、發現和總結，從而培養學生探索問題、總結規律的能力，即培養了學生思維的創造性.比如，面積單位換算的教學，出示1平方米的示意圖（邊長1米的正方形），問學生：“1平方米等于多少平方分米呢？”引導學生思考推理，并說出自己的推理過程.又如，學習速度、時間、路程的關系后，讓學生自編三道分別求速度、時間、路程的題目.

（七）利用題目的內聯變式，培養和訓練學生思維的邏輯性

在數學教學中，不但要把數學知識點教好，還要從整體著眼，抓住新舊知識的連接點，對前后有邏輯關系的題目進行對比、分析，然后才用一定的變式訓練，培養、發展學生思維的邏輯性.

例如，分數的學習中，（1）一根繩長8米，裁去12米，還剩多少米？（2）一根繩長8米，裁去12，還剩多少米？學生一看這兩個問題，覺得一樣.但是我們引導他們認真分析發現：前面的12帶有單位，是具體的長度，而后面的12沒帶單位，是比例問題.一字之差，差之千里，通過比較，發展了學生的邏輯思維.還可以改變這兩道題的條件和結果進行變式訓練.

數學變式教學是對小學生數學思維訓練的一種重要方式，它能有效地培養和訓練小學生數學思維的深刻性、敏捷性、靈活性、批判性、創造性和邏輯性.但是，數學變式教學不是為“變式”而變式，而是要根據學生學習或者教師教學的實際需要，遵循學生的認知規律，精心設計差異性、層次性、開闊性和靈活性的變式教學，讓學生在理解的基礎上，把數學知識轉化為數學能力，從而激發學生的數學思維.

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