割補法在數(shù)學解題中的妙用

宋培武

割補法在數(shù)學解題中應(yīng)用廣泛.其中的“割”是指對某圖形進行分割；“補”是針對某特殊圖形的缺失進行補充.“割”與“補”常常是同時發(fā)生，有時也單獨發(fā)生.“割補”的目的是實現(xiàn)數(shù)學問題由一般圖形向特殊圖形、由陌生領(lǐng)域向熟悉領(lǐng)域轉(zhuǎn)化，它是“化歸思想”的具體體現(xiàn).這一思想不僅應(yīng)用于幾何解題，也被遷移到代數(shù)解題中.

一、幾何題型

（一）只“割”不“補”

例1 在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°A=135°，AD=2，BC=6.

求四邊形ABCD的面積.

說明：1.分割：過A點作AE∥BC交CD與E點，過E點作EF∥AB交BC與F點.

2.化歸：將不規(guī)則四邊形（四邊形ABCD）的面積問題轉(zhuǎn)化為特殊四邊形（矩形ABFE）和特殊三角形（等腰直角△ADE和等腰直角△EFC）面積問題.

3.解法：先求等腰直角△ADE的相關(guān)的邊和面積，再求矩形ABFE的相關(guān)的邊和面積，然后再求等腰直角△EFC的面積，最后求四邊形ABCD的面積.

（二）只“補”不“割”

仍將上述例題作為問題背景.

說明：1.補缺：延長線段BA，CD交于E點，將不規(guī)則四邊形補成等腰直角三角形.

2.化歸：將不規(guī)則四邊形的面積計算問題轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形的面積計算問題.

3.解法：分別計算等腰直角△ADE和等腰直角△EFC的面積，再做差.

（三）既“割”也“補”

繼續(xù)以上述例題作為問題背景.

說明：1.割補：在線段BC上取一點F，使FC=2，過F點作FG∥AB交CD與G點.易證△GFC≌△ADE，從而將△GFC“割下”，補在△ADE處.

2.化歸：將不規(guī)則四邊形的面積計算問題轉(zhuǎn)化為直角梯形的面積計算問題.

3.解法：利用梯形的面積公式計算即可.

二、代數(shù)題型