定點(diǎn)定線運(yùn)動(dòng)放縮的軌跡問(wèn)題及推廣

張子晨

【摘要】幾何學(xué)，自古一直是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支.而在古代柏拉圖學(xué)院門前更是立有“不懂幾何學(xué)不得入內(nèi)”的牌子.軌跡問(wèn)題，歸屬于幾何中，在平面幾何，立體幾何，解析幾何中均有涉及.關(guān)于軌跡，可以說(shuō)是點(diǎn)的軌跡，具有某種性質(zhì)的點(diǎn)的集合，叫作具有這種性質(zhì)的點(diǎn)的軌跡[1].本文通過(guò)從簡(jiǎn)單的初中題目入手，將之用純幾何的方法推廣，猜想并用幾何畫板軟件進(jìn)行試驗(yàn)最終進(jìn)行證明在平面內(nèi)幾何圖形運(yùn)動(dòng)放縮的軌跡問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】幾何學(xué)；軌跡；純幾何方法；定點(diǎn)定線；運(yùn)動(dòng)放縮；推廣；猜想；幾何畫板；證明

幾何中的軌跡問(wèn)題，將靜與動(dòng)相結(jié)合，通過(guò)點(diǎn)與線的運(yùn)動(dòng)，放縮凸顯出數(shù)學(xué)之美.自古以來(lái)，對(duì)軌跡的研究就沒(méi)有停止，體系也日趨完善.軌跡的定義：滿足某種條件C的一切點(diǎn)所構(gòu)成的圖形F稱為符合條件C的點(diǎn)的軌跡.而要證明一個(gè)軌跡，即為判定一個(gè)圖形F是符合條件C的點(diǎn)的軌跡，必須從兩個(gè)方面去證明：通過(guò)證明符合條件C的所有點(diǎn)都在圖形F上來(lái)說(shuō)明完備性以及通過(guò)證明圖形F上的點(diǎn)都符合條件C來(lái)說(shuō)明純粹性.[2，3]對(duì)于軌跡的研究，解析幾何中設(shè)計(jì)最多，通過(guò)用坐標(biāo)系的方法，確實(shí)便于想出，較為快速地達(dá)到最終的證明目的.但本文想通過(guò)最基本的純幾何方法，巧妙地將問(wèn)題由繁化簡(jiǎn).在研究軌跡的過(guò)程中，不少文章以及書籍研究的是運(yùn)動(dòng)軌跡，即在線或圓上運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的變化.本文另辟蹊徑，設(shè)想將點(diǎn)、線、圓甚至復(fù)雜圖形的運(yùn)動(dòng)與圖形的放縮結(jié)合起來(lái)，使所有的圖形都在有規(guī)律地運(yùn)動(dòng)著.而本文，就是動(dòng)中取靜，將看似毫無(wú)關(guān)聯(lián)的運(yùn)動(dòng)放縮結(jié)合起來(lái)，巧妙的尋找其中的軌跡問(wèn)題.

大部分學(xué)生都做過(guò)這樣一道題：如圖1所示，矩形ABCD中，BC=8，Q在線段BC上移動(dòng)，以AQ為一邊作等邊三角形AQP，求在Q移動(dòng)過(guò)程中，△AQP形狀保持不變，P的運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)（軌跡長(zhǎng)）.

由此再回看原題，便簡(jiǎn)單了許多，由于三角形為等邊三角形，頂角的夾邊比恰為1，代入公式3，直接可得P的軌跡長(zhǎng)等于線段BC，即為8.當(dāng)然，在原題中，我們只需要做出特殊位置的等邊三角形，在任取一點(diǎn)作三角形，即可說(shuō)明.

剛剛探究的可總結(jié)為，三角形中，直線外一定點(diǎn)，直線上一動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中另一點(diǎn)的軌跡問(wèn)題.而觀察PAB會(huì)發(fā)現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中也是進(jìn)行放縮變換的，但是其軌跡確實(shí)一定的.

再看另一道比較經(jīng)典的題目：如圖4所示，⊙O外一點(diǎn)P，A在⊙O上，取AP中點(diǎn)M，求A在⊙O運(yùn)動(dòng)時(shí)M的運(yùn)動(dòng)軌跡.

對(duì)于這道題目，最好想也是用得最多的解法是運(yùn)用解析法，通過(guò)對(duì)M滿足的方程分析，發(fā)現(xiàn)是圓的方程，即可證明M的軌跡為圓.但是解析法是有局限性的，除了過(guò)程及計(jì)算煩瑣而失去了幾何本身的美之外，若是進(jìn)行推廣，M不是中點(diǎn)，或者AMP不為直線，那么運(yùn)用解析法無(wú)疑會(huì)增添更多的計(jì)算量.而我們運(yùn)用純幾何方法，使問(wèn)題迎刃而解.

先看這道題：已知，A在⊙O上運(yùn)動(dòng)，P為⊙O外一點(diǎn)，AM=MP，求M軌跡.

此時(shí)對(duì)于軌跡與軌跡之間夾角，形狀的研究已經(jīng)比較完善了.至此，不管如何變化，定點(diǎn)定線三角形運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)有放縮的問(wèn)題基本可以用相似的解決方法來(lái)解決，除了軌跡本身的確定及形狀意外，發(fā)現(xiàn)軌跡與軌跡之間也是有關(guān)系的，包括與邊的夾角，軌跡與軌跡的夾角等.

結(jié) 論

本文通過(guò)運(yùn)用純幾何方法，簡(jiǎn)單而巧妙地猜想并證明了任意圖形按照上述方式放置，在任意圖形l上均有對(duì)應(yīng)軌跡g，圖形l與圖形g相似.若定長(zhǎng)，則l與g有比例關(guān)系，且此比例與其原圖形有關(guān).若有多個(gè)g圖形（相似）可任意方式排列（相對(duì)、同向等）則均滿足平行或夾角為定值.隨著軌跡學(xué)研究的深入，已經(jīng)很少有像本文一樣運(yùn)用純幾何方法，來(lái)解決復(fù)雜問(wèn)題.相比較于解析方法，無(wú)疑在推廣以及證明過(guò)程中都起到了至關(guān)重要的作用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]楊榮祥.略談中學(xué)平面幾何軌跡問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，1955（1）：23-27.

[2]蕭振綱.幾何變換與幾何證題[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2010.

[3]沈文選，楊清桃.幾何瑰寶[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2010.