淺析反比例函數k的幾何意義的應用

孫紹康

【摘要】探索反比函數中k的幾何意義在圖形面積問題的求解策略，培養幾何直觀能力.

【關鍵詞】反比例函數；k的幾何意義

近年來有關反比例函數問題時常活躍在中考的舞臺上，并呈現出愈加靈活，有更深和更難的趨勢，成為中考考查的重點之一，在解反比例函數問題時，靈活運用比例系數k的幾何意義，充分分析利用圖像與幾何圖形結合點的坐標，就會為解決問題提供極大的方便.本文就一個中考題做一次簡單的探究，目的在于掌握反比例函數幾何意義這一知識要點，靈活利用這一知識點解決數學問題，并熟悉與反比例函數k幾何意義的常見考查方式和解題思路.

理解反比例函數k的幾何意義：

反比例函數y=kx（k≠0）中，比例系數k的幾何意義，就是過反比例函數y=kx（k≠0）圖像上任一點P（x，y）分別作x軸、y軸的垂線PM，PN，垂足為M，N，則矩形PMON的面積S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|，三角形OPM與三角形OPN的面積都等于12|k|.

例1（2016·淄博）反比例函數y=ax（a>0，a為常數）和y=2x在第一象限內的圖像如圖所示，點M在y=ax的圖像上，MC⊥x軸于點C，交y=2x的圖像于點A；MD⊥y軸于點D，交y=2x的圖像于點B，當點M在y=ax的圖像上運動時，以下結論：① S△ODB=S△OCA；② 四邊形OAMB的面積不變；③ 當點A是MC的中點時，則點B是MD的中點.其中正確結論的個數是（）.

A.0

B.1

C.2

D.

分析① 由反比例系數的幾何意義可得答案；② 由四邊形OAMB的面積=矩形OCMD面積-（三角形ODB面積+面積三角形OCA），解答可知；③ 連接OM，點A是MC的中點可得△OAM和△OAC的面積相等，根據△ODM的面積=△OCM的面積、

△ODB與△OCA的面積相等可解得.

本題繼續探究一下，當B點是DM任意一點時，線段DB，BM，CA，AM是成比例線段，即DBBM=CAAM，求證方法可以類比于③.

如果連接DC，BC，AD，我們也可以利用同底等高的方法證明S△BCD=S△ACD，進而可以繼續證明線段AB∥CD.

例2（2016·濱州）如圖所示，已知點A，C在反比例函數y=ax的圖像上，點B，D在反比例函數y=bx的圖像上，a>b>0，AB∥CD∥x軸，AB，CD在x軸的兩側，AB=34，CD=32，AB與CD間的距離為6，則a-b的值是.

分析設點A，B的縱坐標為y1，點C，D的縱坐標為y2，分別表示出來A，B，C，D四點的坐標，根據線段AB，CD的長度結合AB與CD間的距離，即可得出y1，y2的值，連接OA，OB，延長AB交y軸于點E，通過計算三角形的面積結合反比例函數系數k的幾何意義即可得出結論.解題的關鍵是找出a-b=2S△OAB.利用反比例函數系數k的幾何意義結合三角形的面積求出反比例函數系數k是關鍵.

解設點A，B的縱坐標為y1，點C，D的縱坐標為y2，

則點Aay1，y1，點Bby1，y1，點Cay2，y2，點Dby2，y2.∵AB=34，CD=32，∴2×a-by1=a-by2，∴|y1|=2|y2|.

∵|y1|+|y2|=6，∴y1=4，y2=-2.連接OA，OB，延長AB交y軸于點E，

S△OAB=S△OAE-S△OBE=12（a-b）=12AB·OE=12×34×4=32，∴a-b=2S△OAB=3.

變式如圖所示，點A是反比例函數y=x2（x>0）的圖像上任意一點，AB∥x軸交反比例函數y=-3x的圖像于點B，以AB為邊作ABCD，其中C，D在x軸上，則SABCD為.

分析連接OA，OB則平行四邊形ABCD的面積=2三角形AOB的面積=S△OAD+S△OBC=2+3=5.

研究函數問題關鍵是要透視函數的本質特征，把數、式和圖像結合起來進行思考，相互解釋，相互補充，在今后函數學習中亦愈加顯示出其重要.逐步由知識、技能轉化成過程方法、情感態度，正如華羅庚所說，數離開形少直觀，形離開數難入微.這樣，才能培養出獨立的思維能力和創新能力.

【參考文獻】

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[2]教育部.義務教育數學課程標準（2011年版） [M].北京：北京師范大學出版社，2012：30-33.endprint