圖像法在數學問題解決中的應用

彭博文 湖南省常德芷蘭實驗學校

圖像法在數學問題解決中的應用

彭博文 湖南省常德芷蘭實驗學校

在圖像法對于解決數學問題是一種較為簡便的方式，圖像法可以將復雜的問題轉換為圖像，使其更為直觀，避開了用繁雜的代數進行運算。還有助于審題解題，探索解題的思路，以及方便檢驗解題結果是否正確。

圖像法 數學 問題 解決

1 圖像法的概述與在數學中運用的范圍

利用圖像這種特殊且形象的數學語言工具，來表達各種現象的過程和規律，這種方法稱為圖像法。其在數學中運用范圍有以下幾種：1、解決三角問題：有關三角函數單調區間的確定或比較三角函數值的大小等問題，一般借助于單位圓或三角函數圖像來處理。2、解決不等式：從題目的條件與結論出發，聯系相關函數，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。3、解決函數問題：借助于圖像研究函數的性質是一種常用的方法。函數圖像的幾何特征與數量特征緊密結合，體現了數形結合的特征與方法。4、解決絕對值：畫數軸，根據絕對值的性質（一點到另一點的距離）得到一個范圍，從而解出絕對值。5、解決數列問題：數列是一種特殊的函數，數列通項公式以及前n項和公式可以看作關于正整數n的函數。用數形結合的思想研究數列問題是借助函數的圖像進行直觀分析。除了這些問題外，圖像法還可以運用在更多的數學問題解決中。

2 用圖像法解決數學問題的案

2.1 解決不等式問題

圖1

例1：當[x]表示不大于實數x的最大整數,求方程X平方減去[x]減去2等于0的實根個數。分析：這道題是對二次函數的性質及其圖像的考核，想要快速地解題，可令f(x)=x2-2,g(x)=[x]，再在平面直角坐標系中分別作出f(x)和g(x)的圖像，根據兩函數圖像的交點個數，方可得解。由圖1可知，f(x)和g(x)的圖像有三個交點，故方程有三個實根。

2.2 函數值的最值以及代數式的取值范圍

例2：若實數滿足了等式X減2的差的平方加上Y平方等于3的話，求Y÷X的值。

分析：X減2的差的平方加上Y平方等于3為圓C上的點與原點（O）所連線段最值，那么假如OA和OB都過原點向原C作切點，便可知斜率最大為OA，最小為OB，Y÷X的答案就為最大值：根號3，最小值：負根號3。

圖2

圖3

例3：已知函數f(X)等于根號X平方減4X再加3的平方減去P，X的圖像與X軸有四個不同的交點，并求實數p的取值范圍。

解析：題目可理解為Y等于|X2-4X+3|與Y等于PX兩個圖形的有四個不同交點時直線Y=PX中斜率P的取值范圍。如圖3所示，l2即X軸（與曲線有兩個交點），往逆時針方向旋轉至l1（與曲線有三個交點）的過程中始終滿足于與Y等于|X2-4X+3|有四個不同的交點。直線L1與L2之間的過原點直線，其斜率范圍即為P的取值范圍。分析可得，直線l2：Y等于0，可得P等于0；直線l2：過頂點（2，1）可解得P等于1/2。因此實數p的取值范圍是0＜P＜1/2。

2.3 解決復數三角問題

例4：已知復數Z1=i乘于l一i差的平方,求:(l)argz1及[Z]

解析：轉換可得z1等于2減2i，且z1位于第四象限的分角線上面，所以argz1等于4分之7π；z1絕對值等于2減2i的絕對值等于2倍根號2。因z減z1的絕對值是z與z1點的距離，其中z1坐標為(2，-2)，z減z1最大值就為圓心z絕對值加上圓心z1絕對值等于2倍根號2加1。

例5：如果α、β集于二分之π和π，且logα小于logβ，那么α、β的范圍為多少。

解析：將α正切線設為AM’,β余切線為BN’，根據α、β集于二分之π和π且logα小于logβ，可知AM’小于BN’小于0。所以α大于β絕對值，所以α、β的范圍為α加β小于二分之3π。

3 結束語

圖像法在數學中的運用是借助于數的精確性來闡述某些屬性，或者是借助形的幾何直觀性來闡述數字之間某種關系。不僅能使得復雜的問題變得更加的直觀、易懂，還能在數學問題分析上讓思路變得清晰，提高數學做題速度和質量。圖像法的合理運用，給我們的數學解答起到半功倍的效果，可以說，數形結合是一種不可或缺的解題方法。

[1]馮作維.哪些選擇題適合用圖像法解答[J].高中生,2015,(27):13.

[2]張玉民.用“數形結合”解決某些代數問題[J].赤峰教育學院學報,2013,(05):108-109.

[3]王秋俊.淺談“數形結合”思想的應用[J].高中生之友,2013,(21):24-25.