懸掛工裝對運載火箭模態試驗影響分析

湯 波，范瑞祥，潘忠文，張永亮

(1. 北京宇航系統工程研究所，北京100076；2. 中國運載火箭技術研究院，北京100076；3. 北京強度環境研究所，北京100076)

懸掛工裝對運載火箭模態試驗影響分析

湯 波1，范瑞祥2，潘忠文1，張永亮3

(1. 北京宇航系統工程研究所，北京100076；2. 中國運載火箭技術研究院，北京100076；3. 北京強度環境研究所，北京100076)

為分析懸掛工裝對運載火箭模態影響，通過系統能量泛函建立了懸掛梁系統的振動方程和邊界條件，得到了系統固有頻率特征方程，并證明自由-自由邊界模型是其蛻化情況。通過數值求解特征方程，得到了系統頻率和振型相對于懸掛工裝的長度、密度變化的規律。采用此方法解釋了某型火箭模態試驗出現的多組一階橫向模態現象。

火箭；模態；自由-自由邊界；懸掛工裝；懸掛梁

0 引 言

火箭模態特性是姿控穩定性設計和Pogo抑制分析的基礎。美國德爾塔-3運載火箭由于設計時未考慮一組關鍵滾轉模態，首飛中滾轉失控，最終火箭自毀。我國首次載人航天飛行中，宇航員經受較大的低頻振動，原因是推進系統和結構縱向耦合振動相互耦合產生的自激振動。因此研究火箭的全箭動特性十分重要。

目前國內外航天器動特性建模和修正方法的研究已經成熟。Leadbetter[1]開展了土星V號運載火箭動特性建模，王建民等[2]總結了捆綁火箭的模態分布特點，給出了捆綁火箭橫、縱、扭模態互相耦合的特征，潘忠文等[3]系統研究了蒙皮加筋結構的拉壓、彎曲和扭轉剛度以及桁條面積等效、慣性矩等效對此類結構剛度特性的影響，邱吉寶等[4]針對仿真模型與試驗結果的一致性，總結了模型修正的方法，Pan[5]從圓柱殼體、推進劑和局部振型斜率預示三個方面對建模方法進行了綜述。

航天器空間狀態與地面試驗狀態存在差異，Hsu等[6]研究了重力對航天器動力學響應影響，馬睿等[7]研究了重力影響下太陽翼模型修正方法。我國目前采用柔性懸掛方法模擬火箭飛行時的自由邊界，但其天地一致性尚未發現相關的文獻結果。一般認為，當懸掛系統的固有頻率小于試驗件一階固有頻率的1/5時，其對結構彈性模態頻率的影響可以忽略[8]，在試驗結束以后的模態分析中，也不會考慮懸掛系統對模態參數識別結果的影響。在我國新一代中型運載火箭模態試驗時，發現由于懸掛系統影響，系統出現了多組一階橫向振動頻率。本文通過將試驗系統抽象為懸掛梁模型，推導了固有頻率特征方程，得到了系統頻率和振型相對于懸掛工裝的長度、密度變化的規律，理論分析結果與有限元計算及試驗結果吻合。揭示了火箭規模變大后，懸掛工裝對全箭模態試驗影響越來越大，大幅增加了試驗和結果分析的復雜度，有必要采用油氣支撐裝置代替目前的懸掛工裝開展模態試驗[9]。

1 理論與數值分析

1.1 懸掛梁振動方程

當前我國運載火箭模態試驗時采用彈性繩將火箭懸吊在空中模擬自由-自由邊界條件。為分析系統振動規律，將火箭建模為歐拉梁，將懸掛繩建模為張力為常量的弦，兩者組成懸掛梁系統如圖1所示。

梁、弦的最大動能與勢能分別為

(1)

(2)

式中:ω為系統的固有頻率，ρ為梁或弦的線密度，u為位移，E為材料的彈性模量，I為截面慣性積，F為弦內張力，在小變形假設下等于梁的重量；L表示梁或弦的長度，下標1,2分別代表梁和弦。

系統固有頻率滿足泛函[10]

(3)

其中,u2在懸掛點滿足強制邊界條件，即u2(L2)=0，且梁與弦連接點位移相同，即u1(0)=u2(0)。分部積分后得到

(4)

因u1,u2的變分是任意的，從積分項可得懸掛梁振動方程為

(5)

(6)

式(5)和式(6)表明懸掛梁系統不改變振動方程，只改變邊界條件。式(5)的通解為

(7)

式中：C1,C2,C3,C4,D1,D2為6個待定系數，由邊界條件求得，另外有

(8)

1.2 方程的蛻化情況

式(5)和式(6)存在如下兩種蛻化情況：

1) 當F=0時，蛻化為不帶工裝的梁模型。

2) 當ρ2=0時，蛻化為單擺+梁模型。

F=0時，對應γ=0，此時邊界條件(6)的第4式變為u?1(0)=0，與前3式構成兩端自由梁的邊界，系統蛻化為不帶工裝的梁模型。

ρ2→0時，η→0，此時式(7)變為u2=ηD1β2x+D2，其中ηD1為有限值，此式代表了單擺的振動方程。

1.3 懸掛梁固有頻率方程

將式(6)代入式(5)，可得邊界條件方程為

(9)

再補充振型歸一化方程，此處不妨設C2=1，從式(9)求得

(10)

從而

(11)

從式(9)可以得到

(12)

將式(12)代入式(11)得到

活豬調運受限的局面在未來較長的時間內難以改變，豬肉調運或將逐漸成為趨勢。活豬調運是導致疫情擴散的主要原因之一，如果活豬長期受限，短期內由于產地和銷地不匹配、屠宰和養殖產能的不匹配，豬價的區域性差異將會持續；長期看，養殖和屠宰產能的分布將更加合理。

[sin(βL1)cosh(βL1)-cos(βL1)sinh(βL1)]=0

(13)

式(13)為懸掛梁固有頻率的特征方程。特別地，當γ=0時，上式左邊第3項為0，方程蛻化為兩端自由梁的頻率方程。

1.4 固有頻率解的性質

式(13)為超越方程，只能求出其數值解。令

(14)

分析β變化時Y的過零區，可得到特征方程的解β，從而得到固有頻率ω。

下述數值計算時假設E1I1=1,ρ1=1,L1=1，從而ω=β2,F=9.8。在示性分析中，可假設以上數值為無量綱化，因此數值中不寫單位。

1.4.1不考慮懸掛系統(Free-Free Beam,FB模型)

Y=1-cos(βL1)cosh(βL1)

(15)

計算得到兩端自由梁前四階頻率分別為22.37, 61.67, 120.9, 199.9 rad/s。

1.4.2單擺懸掛系統(Pendulum+Beam,PB模型)

當F≠0，ρ2=0時，式(14)可寫為

(16)

獲得PB模型固有頻率隨單擺頻率比變化規律如圖2所示。其橫坐標為單擺與FB模型的一階固有頻率之比，縱坐標為頻率，黑色區域的邊緣為系統的固有頻率，從圖2可得如下結論：

1) PB模型固有頻率隨工裝長度降低而升高，工裝越長越接近FB模型，無限長時等價于FB模型。

2) 懸掛工裝長度為0時(單擺固有頻率為無窮大)，PB模型等價于一端鉸支、一端自由的梁。

3) 隨著懸掛工裝長度縮短，PB模型各階次的固有頻率單調遞增，此階次頻率介于FB模型和一端鉸支、一端自由的梁相應階次固有頻率之間。

4)當擺梁固有頻率比為1/5時[8]，在本文初始參數下，原兩端自由梁一階基頻上升6%。

1.4.3懸掛梁系統(Chord+Beam,CB模型)

當F≠0，ρ2=0.01和ρ2=0.1時獲得CB模型固有頻率隨擺梁頻率比變化規律如圖3所示。

由圖3可知懸掛工裝的線密度固定時：

1) 懸掛工裝長度較短時，CB模型固有頻率與PB模型接近，可不考慮懸掛工裝的弦振動特性。

2) 懸掛工裝長度較長時，CB模型出現了較為豐富的頻率成分。在原PB模型的模態附近，出現多組模態。懸掛工裝自身大量模態與梁耦合，在試驗中，將造成頻率識別的困難，以及采集振型的偏離。

3) 同樣的懸掛工裝長度，懸掛工裝線密度升高，CB模型更容易出現多個頻率成分。

4) 懸掛工裝長度極長時，β值的微小變化均會導致ctan(β2ηL2)的快速變號，而式(14)的其它值基本不變，因此在β的微小鄰域內存在大量的固有頻率解，此時模態試驗已無法開展。

當γ≠0，L2=0.5和L2=2時獲得CB模型固有頻率隨擺梁頻率比變化規律如圖4所示。由圖4可知懸掛的長度固定時：

1) 隨著懸掛工裝線密度增加，CB模型同階次固有頻率單調下降，且下降速率呈先快后慢趨勢。

2) 隨著懸掛工裝線密度增加，在原PB模型一階彈性頻率附近，出現多個固有頻率成分。

3) 懸掛工裝長度增加后,隨著其線密度增加,CB模型同階次固有頻率下降速率增大，低頻附近固有頻率成分增加。

1.5 振型性質

懸掛工裝線密度增加，系統頻率降低，振型改變不明顯；懸掛工裝長度增加，振型一致程度增加。而且懸掛工裝長度增加，系統中出現新的振型。圖5顯示了ρ2=0.10,L2=1.00時頻率ω=33.64 rad/s的新振型(FB模型的一、二階頻率分別為22.37 rad/s和61.67 rad/s)，此振型與FB模型的振型具有一定的相似性，但兩者頻率差異較大，將給試驗結果分析帶來較大困擾。

2 試驗分析

由第1.1節和1.2節可知，當懸掛工裝長度較長時，系統中將出現新的振型，且振型與FB模型的振型具有一定的相似性，其試驗結果將給模型修正帶來一定的困難。

我國新一代中型運載火箭模態試驗時，火箭通過懸掛系統模擬自由-自由邊界條件。懸掛系統由井字梁、作動筒、蝶形彈簧、調節拉桿、鋼絲繩和承力框組成，懸掛系統如圖6(a)所示。

在某秒點時，全箭重量約為220 t，全箭總長約50 m，懸吊工裝長度為26 m，分為4組，每組4根鋼絲繩組成，每根鋼絲繩半徑約為25 mm。不考慮懸掛工裝時，計算可得出一組一階橫向模態(將Y、Z向的一對視為一組)，頻率都為1.73 Hz。

由于火箭構型復雜，無法精確換算出其相關等效參數。但對于一階頻率，仍可將之視為簡單梁模型，換算線密度ρ1約為4400 kg/m，根據梁自由-自由狀態頻率特征方程的解，得出E1I1約為6.5×109kg·m3，γ約為3.3×10-4m-2·s-2，η約為13 m·s。計算得出此工況下Y值與不考慮工裝情況下的對比如圖7所示。由圖7可知，考慮工裝后，頻率由原一組變成了三組。繪制懸掛工裝為不同長度或不同根數對全箭一階頻率的影響如圖8所示。由圖8可知，當懸掛工裝長度為26 m 或每組懸掛工裝為4根時，正好出現較為接近的三組頻率成分。

為準確分析工裝對全箭頻率和振型的影響，建立火箭有限元模型如圖6(b)所示。不考慮工裝時，計算中出現一組一階模態，將此組模態與試驗中出現的兩組模態同時進行比較,如圖9所示。

計算模型中加入工裝后，計算頻率對比見表1，振型對比見圖10和圖11。由于此處懸掛工裝為4組，出現了多于三組的模態。試驗中采集到的兩組一階橫向頻率成分在計算中均可以找到，且計算頻率與試驗結果更為接近。

表1 帶懸掛工裝計算與試驗頻率對比表Table 1 Comparison of frequency between computation with suspension rope and experiment

3 結 論

本文將懸吊工裝視為弦，抽象運載火箭模態試驗模型為懸掛梁(CB模型)，建立固有頻率特征方程，并開展數值求解，得到了系統頻率和振型相對于懸掛工裝的長度、密度變化的規律，解釋了我國新一代中型運載火箭模態試驗時出現的多組一階橫向模態現象，理論分析結果與有限元計算及試驗結果吻合。

[1] Leadbetter S A. Application of analysis and models to structural dynamic problems related to the Apollo-saturn V launch vehicle[R]. NASA TN D-5831, 1970.

[2] 王建民, 榮克林, 馮穎川, 等. 捆綁火箭全箭動力學特性研究[J]. 宇航學報, 2009, 30(3):821-826. [Wang Jian-min, Rong Ke-lin, Feng Ying-chuan, et al. The research of dynamic characteristics for the strap-on launch vehicle[J]. Journal of Astronautics, 2009, 30(3):821-826.]

[3] 潘忠文, 王小軍, 馬興瑞, 等. 基于梁模型的蒙皮加筋結構縱橫扭一體化建模研究[J]. 中國科學(E輯:技術科學)，2014, 44(5): 517-524. [Pan Zhong-wen, Wang Xiao-jun, Ma Xing-rui, et al. Longtidinal-lateral-torsional integrated modeling based on a beam model for skin-stiffened structure[J]. Sci.Sin.Tech., 2014, 44(5):517-524]

[4] 邱吉寶, 王建民. 運載火箭模態試驗仿真技術研究新進展[J]. 宇航學報, 2007, 28(3):515-521. [Qiu Ji-bao, Wang Jian-min. The recent progresses on research into modal test simulation techniques for launch vehicles[J]. Journal of Astronautics, 2007, 28(3): 515-521.]

[5] Pan Z. Reviews in structural dynamics analogy technique of launch vehicle [J]. Advances in Mechanics, 2012, 42(4):406-415.

[6] Hsu S T, Griffin J H, Bielak J. How gravity and joint scaling affect dynamics response[J]. AIAA Journal, 1989, 27(9): 1280-1287.

[7] 馬睿, 姜東, 吳邵慶, 等. 考慮重力影響的太陽翼模型修正方法研究[J]. 宇航學報, 2014, 35(12):1373-1378 .[Ma Rui, Jiang Dong, Wu Shao-qing, et al. A model updating method for solar array considering the influence of gravity [J]. Journal of Astronautics, 2014, 35(12):1373-1378.]

[8] GJB 2706A—2008, 航天器模態試驗方法[S].

[9] Tuma M L, Chenevert D J. Ensuring safe exploration: ares launch vehicle integrated vehicle ground vibration testing[C]. AIAA Space Ops Conference, Huntsville, USA,Apr 25-30, 2010.

[10] 倪振華. 振動力學[M]，西安：西安交通大學出版社，1989:390.

EffectsofSuspensionRopeonModalExperimentofRockets

TANG Bo1, FAN Rui-xiang2, PAN Zhong-wen1, ZHANG Yong-liang3

(1. Beijing Institute of Astronautical System Engineering, Beijing 100076, China;2. China Academy of Launch Vehicle Technology, Beijing 100076, China;3. Beijing Institute of Structure & Environment, Beijing 100076, China)

The vibration equations and boundary conditions are established from the energy function of a beam system which is suspended with ropes; subsequently, the natural frequency characteristics equation is acquired. It is demonstrated that the free-free boundary model is the degenerated condition of the beam system. By solving this characteristics equation numerically, the natural frequency and modal relative to the length or density of the suspension rope is obtained. The appearance of the multiple first-order modals in a certain rocket’s modal test is explained by using this method.

Rocket; Modal; Free-free boundary; Suspension rope; Suspended beam

2017- 02- 20;

2017- 09- 22

V416

A

1000-1328(2017)12- 1354- 07

10.3873/j.issn.1000- 1328.2017.12.013

湯波(1982-)，男，博士，主要從事運載火箭載荷和動特性方面的研究。

通信地址：北京市9200信箱10分箱18號(100076)

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