基于全國高考改革的立體幾何備考復習教學建議

林晴嵐　陳柳娟　王逸勤　張潔

摘 要：全國高考立體幾何專題備考復習教學在認真研讀《考試大綱》、《考試說明》的基礎上，把握好考試內容要求的變化，找準復習備考的方向、重點，構建立體幾何概念、定理模型網絡，整合所學立體幾何的核心知識點，借助對高考真題考點分布、試題特點分析研究，從中挖掘、提煉蘊涵在解決立體幾何問題中的數學思想方法，有針對性地做好備考準備工作，提高高考備考立體幾何專題復習效果.

關鍵詞：立體幾何；三視圖；垂直；考點分布；特點

在高考改革下的立體幾何專題備考復習，教師以《考試大綱》、《考試說明》的內容要求、能力要求為備考復習指導方向.從2011-2016年的全國卷Ⅰ中，找出試卷考點的分布規律、試題的命制風格與特點；再從內容要求的主要變化，實測試題的主要特點，典型試題賞析進行備考復習教學.重視在立體幾何問題中滲透數學文化，引導學生理解數學家的崇高品質以及探究解決數學問題的過程，讓學生感受數學問題中的數學文化價值和科學價值，形成正確的數學觀.

1 研讀《考試大綱》和《考試說明》中對立體幾何考試內容要求

研讀全國高考數學學科的《考試說明》與《考試大綱》，有利于教師在高考備考復習教學時找準復習的方向、重點，把握好考試內容要求的變化；在備考復習教學過程中，明確哪些內容該重點講？哪些內容需要進行拓展？有利于老師理解備考復習案例選取對掌握考試方向的重要性；有利于教師在備考復習時更透徹研究全國卷中立體幾何真題特點，其中立體幾何初步是文、理科相同考點部分，空間向量與立體幾何是理科必考部分，強調用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，注重考生用向量方法研究立體幾何問題的能力，以及用向量語言表達立體幾何問題的數學思維方式.但文科試題不涉及利用空間向量解決立體幾何問題.

2 高考真題的主要特點

縱觀全國卷近6年的試題，其特點、風格，研究這些試題的考點分布、試題結構、試題特點，有助于高考備考調整復習的方向，提高復習備考效率.

（1）考點分布

2011年——2016年全國課標Ⅰ卷中立體幾何考點分布統計表，見表1.

觀上表1可得到：全國1卷的選擇題、填空題經常涉及旋轉體、球的表面積和體積、三視圖，解答題中的第一小題以考查線線、線面的垂直問題為主.

（2）題型結構

全國Ⅰ卷經常是1道選擇題、1道填空題、1道解答題，共3道題，分值22分，占全卷分值約15%；

（3）試題特點

全國1卷在立體幾何專題的考查中，選擇題以三視圖問題為重點，填空題與解答題以對空間的線面平行、垂直關系，空間幾何體的相關角的問題為重點，全國1卷常在試題的已知條件中出現“直棱柱、正棱柱、正棱錐”等概念；在幾何體的呈現方面比較常用組合體，常設計成柱體、錐體內接于球，再進一步求解球的表面積或體積；三視圖的考查對空間想象能力的要求較高，求解時要先還原幾何體的直觀圖，再對幾何體進行有關長度、面積、體積等的度量計算；從解答題看，全國Ⅰ卷的題目兼顧傳統綜合法與向量法的考查，突出幾何直觀和基本能力的考查.在基礎考查方面，文理科都是依托常見的柱、錐幾何體，考查用判定和性質定理證明線線、線面和面面垂直；在差異方面，理科用“向量法”求線面角、二面角，文科求幾何體的表面積、體積等，試題顯得比較“干凈”，基本上是設計“兩問”，且設問比較直接，專注于空間想象能力、推理論證能力以及運算求解能力的考查.

3 高考備考建議

3.1 重視視圖教學研究，強化空間觀念

一個幾何體的三視圖，能夠反映這幾何體的真實面貌，根據三視圖還原幾何體的直觀圖近6年試題統計都是全國卷考查的重點、熱點問題.所以，在復習過程中，要給學生如何將三視圖還原幾何體的直觀圖的構圖方法，即首先要弄清三視圖的成圖原理，接著借助長方體，把三視圖般到長方體的三個側面上，通過整體觀察，確定其中的關鍵點或棱，再進行對比聯想、輪廓削減，得到幾何體的真貌，最后再將探知的直觀圖與三視圖對比觀圖，確保準確無誤.

3.2 針對解答試題特點，突破“垂直”是關鍵

立體幾何中的垂直即“⊥”包括：a⊥b、a⊥β、α⊥β，其中最基本的是a⊥b，最體現空間特征的是a⊥β，從高考真題分析研究垂直“⊥”是立體幾何問題解決的一個難點也是關鍵點.所以，通過復習教學，要理清楚如下三個與垂直有關的問題：

①“垂直”是知識體系的核心如圖1、圖2所示

通過對兩幅知識結構圖的分析可知：垂直“⊥”是立體幾何問題解決的重要工具，如異面直線的距離，空間的線線關系、線面關系、面面所成角等都與垂直相聯系；垂直“⊥”是各類計算公式（面積、體積、角、距離）的必要構成要素；空間的線線、線面、面面平行關系可由垂直轉化得到.

②“垂直”是高考試題的靈魂

課標課程的立體幾何內容包括兩個體系，一個是傳統的綜合幾何體系，另一個是空間向量的體系.全國卷近6年的解答題為兼顧兩個體系的考查，往往在第一步有意設計有垂直條件或垂直結論的問題，以便為第二步建立空間坐標系，利用空間向量求解空間角等問題做鋪墊.

③“垂直”是問題解決的突破口

通過對立體幾何試題的試題特點分析可知，垂直“⊥”條件往往是問題解決的關鍵“題眼”.解題時，若發現題目有多個已知條件，可優先考慮垂直條件；需作輔助線時，優先選擇作垂線或垂面；面對轉化條件關系時，優先選擇用垂直關系來促進轉化.

3.3 挖掘課本習題內涵，用好教材

研究高考真題從中把握教學的導向，理解了高考真題不是無本之木、無源之水，真題的背景或解題方法可從教材的例題、習題中找到其基本原形，在備考復習中，教師應有意識的引導學生回歸教材，注意挖掘教材中典型例題、課后習題中所蘊涵的數學思想方法，提升學生對教材的理解和認識，扎實數學學習基礎.

總之，高考備考復習教與學都應以大綱和說明為依據，認真分析近年的高考真題，把握好備考復習目標和方向，有針對性地做好備考準備工作，提高高考備考立體幾何專題復習效果.