任意角的三角函數中的學習負遷移現象研究

張松山　張崇耀

摘 要：負遷移是影響學生學好數學的一個阻因，而三角函數的知識又是高中數學的難點之一.因此，有必要對兩者的結合點進行研究.由遷移、負遷移的概念和分類，闡述了負遷移在任意角三角函數的教學中的影響及對策.

關鍵詞：三角函數；負遷移；數學思維；教學對策

隨著教育改革的深入，從專家學者到教學一線的教師，都從教學理論和教學實踐等不同層面上加大了對遷移在數學學習中的作用，以及遷移規律在教學中的應用等方面的研究.特別地，在高考數學試題中，有相當一部分是考察學生對遷移的運用能力.因此，教師是否具備利用遷移的教學理念，在教學過程中能否運用遷移規律促進學生的學習顯得尤為重要.

1 遷移的概念和分類

遷移是指已獲得的知識、技能甚至方法和態度對學習新知識、新技能的影響.遷移又分正遷移和負遷移.如果影響是具有積極或者促進作用的，稱之為正遷移.如果影響是具有消極或者阻礙作用的，稱之為負遷移.本文主要研究負遷移在三角函數方面的影響及相對應的措施.

2 任意角的三角函數定義的負遷移

2.1 銳角三角函數定義的負遷移

在初中，學生已經學習了銳角三角函數.銳角三角函數的學習是從直角三角形出發，根據比值得到三角函數值.它是解三角形的工具，更加側重于幾何量的關系.它強調的是“從角的集合到比值的集合”的對應關系.任意角三角函數是研究現實生活中具有周期現象的一類函數.它的對應關系是“數集到數集”，應用于天文學和物理學.因此，銳角三角函數和任意角三角函數研究對象有很大的不同，其突出的性質也不同.不能單純地認為銳角三角函數一般化就變成了任意角三角函數，同樣，也不能簡單的認為任意角三角函數的角度限定銳角就是銳角三角函數 [1 ].

鑒于銳角三角函數與任意角三角函數的差異，在教學上，把銳角三角函數的知識遷移到任意角三角函數必然會產生負遷移.而在學習任意角三角函數的定義時，如果借由函數的對應關系，先由數集（弧度數）對應到坐標上點的坐標，再由數集（弧度數）對應到實數（橫坐標或縱坐標），這必然會給學生的理解造成一定的困擾.因此，在任意角三角函數的定義的教學過程中，教師應該充分考慮知識間的過渡的合理性和自然性，把不利的因素降到最低.

2.1.1 任意角三角函數的引入

人教A版 [2 ]以及相應的教參給出的引入方式如下：

首先讓學生“思考”，用直角坐標系中角的終邊上的坐標來表示銳角三角函數.其目的是讓學生回憶銳角函數的定義，并與象限角有機的結合得到銳角三角函數，可以用角的終邊上的點坐標比來表示.教師可以作如下鋪墊：

（銳角三角函數）直角三角形為載體→（銳角三角函數）象限角為載體→（銳角三角函數）單位圓上點的坐標表示.

這樣引入的好處是能從學生熟悉的銳角三角函數來學習任意角三角函數，又可以讓學生初步體會到用單位圓上的點的坐標來表示銳角三角函數的方便和簡潔，為下一步“單位圓定義法”作好鋪墊。但是，教師要注意到不能認為銳角三角函數與任意角三角函數之間的關系并非簡單的特殊與一般的關系。

2.1.2 兩個對應關系

設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），給出兩組對應關系：

正弦：實數α （弧度）與點P的縱坐標對應；

余弦：實數α （弧度）與點P的橫坐標對應。

清楚地認識這兩組對應關系是理解任意角三角函數的關鍵.

2.2 學生的學習基礎

學生在學習任意角三角函數時，除了要理解銳角三角函數的知識外，還必須熟悉函數的定義和準確地理解弧度制.梁志芳 [3 ]在《學生學習三角函數的調查研究》提到“學生對三角函數的“函數性質”理解不夠，不知道三角函數的自變量和函數值是什么，經常將函數值和自變量弄錯”.王冬巖 [4 ]在《高中生對三角函數概念的理解》中認為：學生在學習三角函數時的確存在困難，如果不能理解弧度制，則在三角函數的定義域、值域、圖像等方面都會出現很多問題.

由上面的分析，學生在學習任意角三角函數時應注意以下三個問題：一是學生的基礎（任意角的弧度制、函數的概念）；二是注意概念的生成過程；三是體現三角函數的性質（比如周期性）.

3 三角函數的負遷移實例

3.1 認知和技能方面的負遷移

學生對新知識的學習都是建立在舊的知識（認知或技能）的基礎上的，往往是對舊知識的補充（或擴充）。比如：學生先學自然數，再學整數，接著學習了有理數，然后是實數，最后是復數.可以說，舊知識往往對新知識的學習起了促進的作用，具有積極的一面，然而事情總是有兩面性的.在一些數學的知識體系中，舊知識也能干擾或誤導學生對新知識的學習.比如：學生學了乘法分配率（a（b+c）=ab+ac），會導致學生犯這樣的錯誤，sin（A+B）=sinA+sinB.這是學生在新舊知識點的結合處比較容易犯的錯誤.

在三角函數的學習中，學生在求解函數y=（4-cosx）（1+cosx）的最大值時，有的學生是這樣做的，先將函數化簡為y=-cos2x+3cosx+4，再令t=cosx，從而得到y=-t2+3t+4.利用二次函數的性質，在t=時，函數取到最大值.顯然，學生的認知水平還停留在二次函數的性質上，沒有考慮到余弦函數的有界性，從而導致錯誤的產生.

3.2 思維定勢的負遷移

思維定勢，又稱“慣性思維”，是指人們在處理問題時，習慣地按照固有的模式或方法對問題進行分析和思考.它具有二重性.它積極的一面：人們在處理類似的而且變化不大的問題時，能夠較快的解決。它消極的一面：當面對看起來類似但本質上有所不同的問題時，思維定勢會束縛一個人的思維，從而導致問題的復雜化甚至可能得到錯誤的答案.

負遷移的因素和分類多種多樣，很多學者和教師進行了大量的研究.那么如何克服學生的負遷移呢？教師應該如何做？教師可以運用教育學的普遍性，根據學生的認知階段、認知規律，采用符合學生的思維特點的教學策略.教師在教學的過程可以注意以下幾點：第一、教師應該加強對比教學；第二、教師應該加強探究教學；第三、教師應該加強習題教學 [5 ].當然，在平時的教學中，教學應該以學生為主體，給學生充分動手、動腦的時間，在探究中學習.

參考文獻：

[1]章建躍.為什么用單位圓上的坐標定義任意角的三角函數[J].數學通報，2007（1）： 15-18.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[S].北京：人民教育出版社，2003.

[3]梁志芳.學生學習三角函數的調查研究[D].石家莊：河北師范大學，2011.

[4]王冬巖.高中生對三角函數概念的理解[D].上海：華東師范大學，2010：15-16.

[5]洪秀滿，祝敏芝.中學數學教學中負遷移現象研究[J].數學教學，2009（6）：6-11.