K復(fù)合衰落信道下3D分布式MIMO和速率上界

彭紅星,胡譯雯,楊雪晴,李興旺

(1.河南理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河南 焦作 454003; 2.河南理工大學(xué) 物理與電子信息工程學(xué)院, 河南 焦作 454003)

K復(fù)合衰落信道下3D分布式MIMO和速率上界

彭紅星1,2,胡譯雯1,楊雪晴2,李興旺2*

(1.河南理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河南 焦作 454003; 2.河南理工大學(xué) 物理與電子信息工程學(xué)院, 河南 焦作 454003)

針對(duì)二維多輸入多輸出(2D MIMO)系統(tǒng)只考慮天線水平輻射增益的影響而忽略垂直輻射增益，以及K復(fù)合衰落信道下和速率的確切閉式表達(dá)式涉及復(fù)雜函數(shù)，提出兩種在K(Rayleigh/Gamma)復(fù)合衰落信道下3D分布式MIMO (3D-MIMO)系統(tǒng)基于迫零(ZF)檢測(cè)的可達(dá)和速率上界。該上界同時(shí)考慮瑞利(Rayleigh)多徑衰落、伽馬(Gamma)陰影衰落、基于幾何的路徑損耗，3D天線輻射損耗以及用戶分布。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：所得閉式表達(dá)式與蒙特卡洛仿真結(jié)論充分相一致。

三維多輸入多輸出；K復(fù)合衰落信道；上界；和速率；迫零接收

0 引言

分布式多輸入多輸出(Distributed Multiple Input Multiple Output, D-MIMO)系統(tǒng)因其能夠通過縮短收發(fā)距離提高數(shù)據(jù)速率,減小發(fā)射功率，受到學(xué)術(shù)界和產(chǎn)業(yè)界的廣泛關(guān)注[1-3]。在D-MIMO系統(tǒng)中，配置大規(guī)模天線的基站(Base Station, BS)與空間獨(dú)立分布的多天線接入端口(Access Port, AP)通信。因此，BS與APs的鏈路受小尺度和大尺度衰落的影響，使得D-MIMO系統(tǒng)的性能分析更具挑戰(zhàn)性[3]。另外，目前大多文獻(xiàn)主要基于二維(Two-Dimensional, 2D)信道模型進(jìn)行研究，但2D信道模型只考慮天線水平輻射增益的影響，忽略了垂直輻射增益的影響。為了使信道模型更加符合實(shí)際，提出了三維(Three-Dimensional, 3D) MIMO信道模型。對(duì)于3D-MIMO信道，天線下傾角3D模型是最普遍的模型，該模型被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)和射頻通信系統(tǒng)[4-5]，并被第三代合作伙伴計(jì)劃(the third Generation Partnership Project, 3GPP)采納為L(zhǎng)TE-Advanced (LTE-A)的無線通信標(biāo)準(zhǔn)[7]。然而，針對(duì)復(fù)合衰落信道下的3D D-MIMO系統(tǒng)性能的研究仍處于初始階段。因此，本文研究基于K復(fù)合衰落信道的3D D-MIMO系統(tǒng)和速率的性能。

和速率作為性能的關(guān)鍵指標(biāo)，被用來分析MIMO系統(tǒng)的性能[5,7-12]。在文獻(xiàn)[7]中，基于高斯-埃爾米特多項(xiàng)式，推導(dǎo)給出了瑞利/對(duì)數(shù)正態(tài)(Rayleigh/Lognormal, RLN)復(fù)合衰落信道場(chǎng)景下點(diǎn)對(duì)點(diǎn)MIMO系統(tǒng)的近似和速率閉式表達(dá)式。文獻(xiàn)[8]基于Nakagami-m/對(duì)數(shù)正態(tài)(Nakagami-m/Lognormal, NLN)復(fù)合衰落信道，推導(dǎo)給出集中式MIMO和D-MIMO系統(tǒng)的和速率上下界的閉式表達(dá)式。運(yùn)用隨機(jī)矩陣?yán)碚摚墨I(xiàn)[5]推導(dǎo)出RLN復(fù)合衰落信道下迫零(Zero-Forcing, ZF)接收的3D MIMO系統(tǒng)和速率的閉式上界表達(dá)式，所得上界同時(shí)考慮小尺度衰落、大尺度衰落以及3D天線的輻射損耗。同時(shí)考慮水平和垂直增益，文獻(xiàn)[9]提出一種聯(lián)合有限反饋預(yù)編碼方案。文獻(xiàn)[10]基于K復(fù)合衰落信道，推導(dǎo)出3D多用戶MIMO系統(tǒng)和速率的閉式下界，并進(jìn)一步研究了下傾角對(duì)3D MIMO系統(tǒng)的性能影響。針對(duì)高樓覆蓋場(chǎng)景，文獻(xiàn)[11]研究基于線性最小均方誤差(Minimum Mean Square Error, MMSE)檢測(cè)方案下3D MIMO系統(tǒng)和速率性能，推導(dǎo)出系統(tǒng)和速率閉式表達(dá)式。然而，由于對(duì)數(shù)正態(tài)分布的存在，使得信息輸出信噪比不存在閉式表達(dá)式。為了避免這個(gè)問題，文獻(xiàn)[10,12]用伽馬分布近似對(duì)數(shù)正態(tài)分布，分析分布式MIMO和多用戶MIMO和速率性能。上述所得模型，即K復(fù)合衰落，將是本文的參考模型。

鑒于上述分析，本文研究在K復(fù)合衰落信道下的3D D-MIMO系統(tǒng)性能，推導(dǎo)出D-MIMO系統(tǒng)ZF接收和速率上界的閉式表達(dá)式。所得和速率上界考慮AP分布和BS天線下傾角對(duì)系統(tǒng)性能的影響。基于所得閉式表達(dá)式，分析3D D-MIMO系統(tǒng)和速率漸進(jìn)性能，推導(dǎo)出高信噪比條件下的近似表達(dá)式。最后，針對(duì)大規(guī)模天線配置下D-MIMO系統(tǒng)漸進(jìn)性能進(jìn)行分析。

1 3D-MIMO衰落信道模型和用戶分布

1.1 3D MIMO衰落信道模型

本文考慮單小區(qū)上行3D D-MIMO系統(tǒng)，每個(gè)小區(qū)分為三個(gè)扇區(qū)，每個(gè)扇區(qū)的BS配置有Nr個(gè)接收天線，K個(gè)AP，每個(gè)AP有Nt個(gè)發(fā)射天線(Nr≥KNt)。假設(shè)所有AP未知信道狀態(tài)信息(Channel State Information, CSI)，BS獲知完備的CSI。因此，最佳的傳輸方案是全部用戶等功率(pu)發(fā)送信息，根據(jù)以上所述，BS的接收信號(hào)向量y∈CNr×1[10]如下：

(1)

其中:G∈CNr×KNt表示所在BS與所有AP之間的信道矩陣；gnk=[G]nk是BS的第n個(gè)天線與第k個(gè)AP之間的信道系數(shù)；x∈CKNt×1是K個(gè)AP的發(fā)送信號(hào)向量；n∈CNr×1是零均值、單位協(xié)方差的加性高斯白噪聲(Addition White Gaussian Noise, AWGN),n～CN(0,INr)。

信道矩陣G包括小尺度和大尺度衰落，其表達(dá)式[12]為:

(2)

(3)

其中:sk和mk分別是伽馬分布的形狀和尺度參數(shù)[14]。

對(duì)于3D天線模型，下傾角模型被廣泛應(yīng)用于無線通信標(biāo)準(zhǔn)中，如LTE-A[6]。系數(shù)a(Δφk,Δθk)是BS 3D天線的輻射增益，由水平方位角和垂直俯仰角決定。(xBS,yBS,zBS)和(xk,yk,zk)分別是BS與第k個(gè)用戶的坐標(biāo)，第k個(gè)AP與BS的x軸坐標(biāo)差值即Δxk=xk-xBS。同理，可獲得Δyk和Δzk。

則相應(yīng)的水平方位角和垂直俯仰角[5]為:

Δφk=atan 2(Δx,Δy)-αorn

(4)

(5)

其中:αorn為固定初始方向角，βtilt∈[-90°,90°]表示天線下傾角。

因此，天線增益a(Δφk,Δθk)可以表示如下(所有a值用分貝表示)[6]:

a(Δφk,Δθk)=ah(Δφk)+av(Δθk)

(6)

ah(Δφk)=-min {12(Δφk/φ3dB)2,SLLh}+Am

(7)

av(Δθk)=max {-12(Δθk/θ3dB)2,SLLv}

(8)

其中:ah和av分別表示天線的水平和垂直增益；φ3dB和θ3dB分別表示水平和垂直半功率波束寬度(Half-Power BeamWidth, HPBW)；SLLh和SLLv分別表示水平和垂直旁瓣電平；最后，Am表示最大天線增益。此外，第k個(gè)用戶與BS之間的距離dk可表示為:

(9)

綜上所述，大尺度衰落系數(shù)[5]可表示為:

(10)

1.2 AP分布模型

本節(jié)討論AP的分布。為了便于分析，假設(shè)小區(qū)近似為圓形，AP獨(dú)立且均勻地分布在R1≥R0的環(huán)形區(qū)域內(nèi)。因此，用戶極坐標(biāo)(x,α)形式的概率密度函數(shù)[10]為:

(11)

f(α)=1/(2π); 0≤α≤2π

(12)

其中:R1是小區(qū)的半徑，R0是BS與AP的最小距離。

2 可達(dá)和速率及上界

本章分析基于K復(fù)合衰落信道的3D D-MIMO系統(tǒng)的上界。首先，給出基于ZF接收的3D D-MIMO系統(tǒng)的可達(dá)和速率性能。基于信號(hào)與干擾加噪聲比(Signal Interference Plus Noise Ratio, SINR)的統(tǒng)計(jì)特征,推導(dǎo)出在K復(fù)合衰落信道下，ZF接收的3D D-MIMO系統(tǒng)的兩種可達(dá)和速率上界的閉式表達(dá)式。

2.1 3D D-MIMO系統(tǒng)的可達(dá)和速率

如第1章的討論，所有AP未知CSI，BS獲知完備的CSI。通過線性檢測(cè)器，BS檢測(cè)后信息為:

r=AHy

(13)

將式(1)代入式(13)，檢測(cè)信息可表示為:

(14)

因此，由第k個(gè)AP發(fā)送到BS的接收信號(hào)為:

(15)

其中，ak和gk分別表示檢測(cè)矩陣A和信道矩陣G的第k列元素，因此第k個(gè)AP的SINR為:

(16)

(17)

根據(jù)式(17)可知，可達(dá)和速率是通過所有獨(dú)立AP速率之和獲得:

(18)

其中期望操作針對(duì)小尺度衰落H和大尺度衰落Ω(陰影衰落和路徑損耗)。

2.2 和速率的閉式上界

利用文獻(xiàn)[16]和[17]的相關(guān)結(jié)論，推導(dǎo)出K復(fù)合衰落信道場(chǎng)景下3D D-MIMO系統(tǒng)和速率上界的閉式表達(dá)式，具體由以下定理給出。

(19)

證明 為便于分析，令W=HHH。將式(17)代入式(18)，可得出:

(20)

鑒于文獻(xiàn)[16]，式(20)的第一項(xiàng)的上界可表示為:

(21)

其中:λ是矩陣H的無序特征值，(a)源于算數(shù)平均值和幾何平均值之間的關(guān)系，(b)通過杰森不等式獲得。

式(21)的第一項(xiàng)可通過文獻(xiàn)[19]的結(jié)果簡(jiǎn)化為:

(22)

由于陰影衰落、輻射增益、路徑損耗相互獨(dú)立，式(21)的最后一項(xiàng)可改寫為:

(23)

(24)

使用下面的積分恒等式和伽馬函數(shù)的性質(zhì)[19]:

(25)

Γ(x+1)=xΓ(x)

(26)

經(jīng)過一些簡(jiǎn)化，式(24)的結(jié)果可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為:

①=mk

(27)

對(duì)于②，結(jié)果如下:

(28)

結(jié)合式(11)和期望的定義，③可以進(jìn)一步表示為:

(29)

代入式(27)、(28)和(29)到式(23)，可獲得大尺度衰落:

(30)

因此，結(jié)合式(22)和式(30)，可獲得式(21)的最后結(jié)果:

(31)

借助于以下關(guān)鍵矩陣性質(zhì)[20]:

(32)

將式(32)代入式(20)的d可表示為:

(33)

根據(jù)文獻(xiàn)[16]，可知:

(34)

(35)

經(jīng)過一些運(yùn)算，結(jié)合式(31)、(33)、(34)和式(35)，可得出式(19)的結(jié)論。

由定理1可知，和速率隨著參數(shù)pu、mk、a(Δφk,Δθk)和R0的增加而增加，隨著小區(qū)較大半徑R1的增加而減少。此外，還可以觀察到，增加更多的發(fā)射天線對(duì)于和速率并不總是有益的。

為了揭示系統(tǒng)參數(shù)對(duì)和速率的影響，接下來的推論對(duì)高信噪比條件下的和速率進(jìn)行漸進(jìn)性分析。

推論1 對(duì)于高信噪比，和速率上界可進(jìn)一步表述為:

(36)

證明 對(duì)于高pu值，式(19)中對(duì)數(shù)函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)可忽略不計(jì)。用定理1相似的方法可完成證明。

對(duì)于推論1，可以觀察到，和速率隨著天線的最小值的增大而增大，此結(jié)果與文獻(xiàn)[16]的結(jié)果相一致。接下來，用不同的方法推導(dǎo)出相似的上界，以下定理給出了關(guān)鍵的結(jié)果。

定理2 在K復(fù)合衰落信道情況下，基于ZF接收的3D D-MIMO系統(tǒng)可達(dá)和速率的上界可表示為

(37)

證明 結(jié)合式(17)和式(18)，可得出表達(dá)式:

lb (det(Wkk))]=

(38)

利用式(30)、(34)和式(35)的結(jié)論，借助杰森不等式，可得出式(37)的結(jié)果。

同理，為了進(jìn)一步揭示系統(tǒng)和衰落參數(shù)對(duì)性能的影響，接下來將對(duì)定理2的高信噪比漸進(jìn)性能進(jìn)行分析。

推論2 高信噪比下，系統(tǒng)和速率上界趨近于:

(39)

推論2解釋了系統(tǒng)參數(shù)和衰落參數(shù)對(duì)性能的影響。由推論2可知，和速率漸近線性能隨著信噪比(pu)和衰落參數(shù)(mk)增加呈對(duì)數(shù)增加，該結(jié)論與文獻(xiàn)[10]的結(jié)果一致。

2.3 大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的漸進(jìn)分析

近年來，大規(guī)模MIMO技術(shù)由于具有高頻譜效率和能量效率等優(yōu)勢(shì)，被認(rèn)為是未來第五代移動(dòng)通信的突破性技術(shù)之一[15,24-26]。然而，在大規(guī)模系統(tǒng)中，關(guān)于3D D-MIMO系統(tǒng)對(duì)和速率性能影響的研究還很少。鑒于此，本文對(duì)大規(guī)模系統(tǒng)的漸進(jìn)性能進(jìn)行分析，并給出ZF接收的3D D-MIMO系統(tǒng)和速率的閉式表達(dá)式。

KNtlb (Nr)

(40)

證明 當(dāng)式(19)中的Nr趨于無窮大時(shí)，根據(jù)以下等式[31]

ψ(x)≈ln (x);x→∞

(41)

利用與定理1的方法，經(jīng)過一些簡(jiǎn)化，可得出式(40)的結(jié)果。

KNtlb(Nr)

(42)

證明 利用式(40)，式(31)可進(jìn)一步表示為:

(43)

利用以下等式[18]:

lnx!≈xlnx-x;x→∞

(44)

經(jīng)過一些代數(shù)運(yùn)算，可得出式(42)的結(jié)果。

從推論3和推論4可以得出，當(dāng)BS天線個(gè)數(shù)增大時(shí)，第二種上界趨于第一種上界。此外，在大規(guī)模天線配置下，小尺度衰落影響可以忽略，這與文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[17]的結(jié)果相一致。最后，可以觀察到，增大發(fā)射功率和BS天線個(gè)數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能總是有益的。

3 仿真結(jié)果

本章通過仿真驗(yàn)證2.2節(jié)和2.3節(jié)分析的正確性。對(duì)于多徑、陰影信道和AP分布，通過100 000次隨機(jī)生成、瑞利、伽馬隨機(jī)變量以及AP的隨機(jī)位置，并通過式(18)獲得系統(tǒng)的蒙特卡洛和速率。假設(shè)天線傾角正方向向下，在沒有特殊說明的情況下，系統(tǒng)和3D MIMO仿真參數(shù)如表1所示。

圖1仿真驗(yàn)證了式(19)中的第一種上界，式(37)中的第二種上界和式(18)[10]中的蒙特卡洛仿真間的緊密性。由圖1可知，3D D-MIMO系統(tǒng)的和速率在臨界角之前隨著傾角的增加而增加，之后隨著傾角的增大而減小。受天線垂直俯仰角的影響，3D D-MIMO系統(tǒng)的性能在天線傾角為5°～40°優(yōu)于2D D-MIMO系統(tǒng)。從圖1還可以觀察到，兩種上界在整個(gè)傾角范圍保持足夠緊密，且第一種上界比第二種上界更加緊密。

表1 系統(tǒng)和3D MIMO參數(shù)[6,20]Tab. 1 System and 3D MIMO parameters[6,20]

圖1 天線傾角對(duì)和速率及其上界的影響(Nr=20,Nt=2,K=1)Fig. 1 Antenna dip angle versus velocity and its upper bound (Nr=20,Nt=2,K=1)

圖2仿真分析了式(19)中第一個(gè)上界、式(37)中第二個(gè)上界、文獻(xiàn)[10]中式(18)上界以及蒙特卡洛仿真結(jié)果。本仿真考慮在不同數(shù)目AP的情況(K=1,2)。

圖2 信噪比對(duì)和速率及其上界的影響(Nr=20,Nt=2,K=1,2)Fig. 2 Effect of SPNR on sum rate and its upper bound (Nr=20,Nt=2,K=1,2)

正如圖1所討論，在整個(gè)信噪比范圍，三種上界保持緊密，并且三個(gè)上界與蒙特考慮逼近程度依次為(逼近關(guān)系由緊至松)：第一個(gè)上界、文獻(xiàn)[10]的上界、第二種上界。在K=1時(shí)三個(gè)上界比K=2時(shí)逼近程度更好，其原因在于路徑損耗和陰影衰落的差異。此外，在整個(gè)信噪比范圍，本文給出的第一個(gè)上界要優(yōu)于文獻(xiàn)[10]的上界，而本文的第二個(gè)上界要次于文獻(xiàn)[10]的結(jié)果。再者，由圖2還可以看出，隨著信噪比的增加(K=2)，三種上界的逼近程度逐漸變差。最后，可以得出，3D D-MIMO系統(tǒng)的性能在整個(gè)傾角范圍優(yōu)于2D D-MIMO系統(tǒng)的性能。

圖3仿真給出了理論分析、高信噪比近似以及蒙特卡洛性能關(guān)系圖。由圖3可以看出，在高信噪比情況下，式(36)和(39)的漸進(jìn)性能與式(19)和(37)充分一致。由此表明理論分析的正確性。此外，圖3還表明3D MIMO隨著信噪比的增加趨近于上界的速度要快于2D MIMO系統(tǒng)，相似的結(jié)論在文獻(xiàn)[27]中出現(xiàn)過。最后，由局部放大圖可以看出，在高信噪比情況下，理論分析、高信噪比近似以及蒙特卡洛性能曲線充分一致。

圖3 和速率、上界與高信噪比近似關(guān)系(Nr=20,Nt=2,K=2)Fig. 3 Simulation, upper bounds and high SNR approximations versus SNR

圖3顯示不同的BS天線數(shù)對(duì)和速率性能以及式(39)和(41)中上界的影響。正如預(yù)期，和速率隨BS天線個(gè)數(shù)Nr呈對(duì)數(shù)增長(zhǎng)，驗(yàn)證了理論分析。此外，還可以得出，兩種上界隨著BS天線個(gè)數(shù)增多而變緊，且第一種上界比第二種上界更緊密。對(duì)于大規(guī)模接收天線Nr，所得上界與理論和速率相一致。最后，3D D-MIMO系統(tǒng)的和速率性能優(yōu)于2D D-MIMO系統(tǒng)。

圖4 BS天線數(shù)對(duì)和速率及其上界的影響(Nt=2,K=1)Fig. 4 Effects of base station antennas on sum rate and its upper bound (Nt=2,K=1)

4 結(jié)語

本文針對(duì)K復(fù)合衰落信道，基于ZF接收的3D D-MIMO系統(tǒng)可達(dá)和速率性能進(jìn)行分析。首先推導(dǎo)出兩種上界的閉式表達(dá)式，這兩種表達(dá)式適用于任意天線數(shù)和信噪比。同時(shí)考慮3D MIMO和3D用戶分布,利用所得上界對(duì)大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的新興領(lǐng)域進(jìn)行了詳細(xì)的研究，并給出“大系統(tǒng)”極限的有利結(jié)果。總之，在BS配置更多天線的情況下，適當(dāng)?shù)奶炀€下傾角和用戶數(shù)才能獲得最佳和速率。

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This work is partially supported by the National Natural Science Foundation of China (61501404), the Doctoral Scientific Funds of Henan polytechnic University (B2016-34), the Key Scientific and Technological Project of Henan (172102210023).

PENGHongxing, born in 1977, Ph. D., associate professor. His research interests include intelligent measurement and control system, monitoring system data mining.

HUYiwen, born in 1991, M. S. candidate. Her research interest includes 3D MIMO.

YANGXueqing, born in 1993, M. S. candidate. Her research interest includes distributed MIMO.

LIXingwang, born in 1981, Ph. D., lecturer. His research interests include massive MIMO, distributed MIMO, 3D MIMO.

Upperboundsonsumrateof3DdistributedMIMOsystemsoverKfadingcpmpositechannels

PENG Hongxing1,2, HU Yiwen1, YANG Xueqing2, LI Xingwang2*

(1.CollegeofComputerScienceandTechnology,HenanPolytechnicUniversity,JiaozuoHenan454003,China;2.SchoolofPhysicsandElectronicInformationEngineering,HenanPolytechnicUniversity,JiaozuoHenan454003,China)

Concerning the problems that Two-Dimensional Multiple-Input Multiple-Output (2D MIMO) systems only consider the effects of horizontal radiation pattern, ignoring the effects of vertical radiation pattern, and the closed-form on the sum rate of 2D MIMO system overK(Rayleigh/Gamma) fading channels involves special functions, two closed-form upper bounds on achievable sum rate of Three Dimensional Distributed Multiple-Input Multiple-Output (3D D-MIMO) systems with Zero-Forcing (ZF) receivers overKcomposite fading channels were proposed. The upper bounds considered Rayleigh multipath fading, Gamma shadow fading, geometric path-loss, 3D antenna radiation loss, and user distribution. The experimental results show that the obtained expressions accurately match with the Monte Carlo simulation conclusions.

Three-Dimensional Multiple-Input Multiple-Output (3D-MIMO);Kcomposite fading channel; upper bound; sum rate; Zero-Forcing (ZF)

2017- 05- 09;

2017- 07- 05。

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61501404); 河南省科技攻關(guān)項(xiàng)目(172102210023); 河南理工大學(xué)博士基金資助項(xiàng)目(B2016-34)。

彭紅星(1977—)，男，河南滑縣人，副教授，博士，主要研究方向：智能測(cè)控系統(tǒng)、監(jiān)控系統(tǒng)數(shù)據(jù)挖掘； 胡譯雯(1991—)，女，河南商丘人，碩士研究生，主要研究方向：3D MIMO； 楊雪晴(1993—)，女，河南安陽人，碩士研究生，主要研究方向：分布式MIMO； 李興旺(1981—)，男，河南商丘人，講師，博士，主要研究方向：大規(guī)模MIMO、分布式MIMO、3D MIMO。

1001- 9081(2017)11- 3270- 06

10.11772/j.issn.1001- 9081.2017.11.3270

(*通信作者電子郵箱lixingwangbupt@gmail.com)

TP919.72

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