離散切換系統觀測器存在性討論及降維觀測器設計

朱芳來 蔡明 郭勝輝,2

離散切換系統觀測器存在性討論及降維觀測器設計

朱芳來1蔡明1郭勝輝1,2

對具有未知輸入的離散切換系統討論了未知輸入觀測器(Unknown input observer,UIO)設計方法.首先,對一般離散系統的未知輸入觀測器匹配條件的Lyapunov-type表示,進行了等價性論證;然后,基于不具有未知輸入的離散切換系統的穩定性理論,對具有未知輸入的離散切換系統提出了一種切換降維觀測器設計方法.通過矩陣分塊確定出的觀測器增益矩陣,使得降維觀測器能直接消去未知輸入的影響;然后,在此基礎上提出了一種未知輸入代數重構方法;最后,通過仿真驗證了方法的有效性和正確性.

離散系統,未知輸入估計,觀測器匹配條件,切換系統

現代控制理論中,未知輸入觀測器(Unknown input observer,UIO)設計具有重要意義,自上世紀60年代提出以來,一直受到學者們的廣泛的關注和深入研究[1?2].對于連續受控系統,文獻[3]研究了未知輸入觀測器匹配條件,并將該條件等價于一個Lyapunov-type矩陣代數方程.之后,在這一框架下,未知輸入觀測器設計得到了廣泛的研究[4?10].如文獻[7]在匹配條件滿足的前提下,通過系統擴展并結合奇異系統設計手段,提出了一種滑模觀測器設計方法,以此實現了故障和輸出噪聲的估計.由于未知輸入觀測器匹配條件較為苛刻,很多實際的控制系統并不滿足,因而如何突破該匹配條件的限制,成為近期UIO設計研究熱點之一[11?14],如文獻[12]基于構造輔助輸出的方式,提出了一種解決方案.文獻[13]同樣通過構造輔助輸出,提出了降維觀測器結合高階滑模觀測器的觀測器匹配條件突破方法,并考慮了未知輸入重構問題.文獻[14]將未知輸入分解為代數抑制未知輸入和模型未知輸入,以此來達到滿足觀測器匹配條件的目的.然而,值得強調的是,以上這些成果都是基于連續系統討論的.隨著數字系統廣泛的應用,離散系統下的相關研究受到了關注[15?16].基于這樣的關注,本文首先對離散系統未知輸入觀測器匹配條件進行了討論,并將其轉換為一個Lyapunov-type代數方程組的等價形式.

切換系統通常含有若干個子系統,同時具有一個規定子系統之間切換方式的切換律.切換系統可以描述一大類實際的系統,如脈沖寬度調制(Pulse width modulation,PWM)電路、直流斬波電路、網絡控制系統和飛行器姿態等[17?25].早期針對切換系統的研究主要是考慮其穩定性,如文獻[17?18]針對離散切換系統,討論了平均駐留時間(Average dwell time,ADT)下的切換系統穩定問題,而文獻[19]對切換系統的穩定性研究成果進行了更為深入的總結.針對切換系統的狀態估計的研究相對較少,如文獻[20]針對離散切換系統,設計了異步濾波器來處理一類具有電力電子現實背景的問題,并討論了其穩定性.文獻[21]同時針對連續系統和離散系統設計了延遲觀測器,同時達到了異步切換的效果.對于具有未知輸入的切換系統,文獻[22]針對廣義離散切換系統,設計了未知輸入觀測器來估計系統狀態,并基于線性矩陣不等式證明了系統的穩定性.文獻[23]則在未知輸入匹配條件滿足的前提下,基于系統強可檢測性的假設,針對連續切換系統,設計了未知輸入切換觀測器.文獻[24]在駐留時間假設下研究了切換系統的指數鎮定問題,并消除了切換超調的不利影響.總之,目前針對切換系統的觀測器設計的成果不多,降維未知輸入切換觀測器的成果還鮮有報道.

結合上述背景,本文首先對離散系統未知輸入觀測器的存在性進行討論,然后將其應用于離散切換系統,設計了降維未知輸入切換觀測器,并提出了未知輸入代數重構方法.本文的貢獻在于:1)將連續系統未知輸入觀測器的秩條件和Lyapunov-type代數方程組兩者的等價性結論,推廣到了離散系統;2)基于等價性條件,給出了切換系統未知輸入觀測器存在性的前提條件;3)提出了一種切換降維觀測器設計方法,該方法可以直接消除未知輸入的影響,并提出了一種未知輸入代數重構方法.論文的結構如下:第1節對問題進行了描述,對一般系統,討論了觀測器匹配條件與一個Lyapunov-type代數方程的等價性;第2節提出了降維未知輸入切換系統觀測器設計方法;第3節提出了未知輸入代數重構;第4節給出了仿真分析;第5節對全文進行了總結.

1 問題描述

考慮一類具有未知輸入的離散線性系統

其中,x(k)∈Rn,u(k)∈Rm是已知控制輸入,y(k)∈Rp是可測輸出,η(k)∈Rq是未知輸入.系數矩陣 A ∈ Rn×n,B ∈ Rn×m,C ∈ Rp×n和D ∈Rn×p為已知常數矩陣.不失一般性,假設(A,C)可觀測,B,D為列滿秩,C為行滿秩,并有n≥p≥q.

定義1.定義為系統(1)的Rosen-brock矩陣.當復數z0滿足秩條件rank(R(z0))＜n+q時,稱z0為系統(1)的不變零點.

定義2.若系統(1)的所有不變零點均在 z平面單位圓內,則稱系統(1)為最小相系統.其等價描述為:對任何滿足|z|≥1的z∈C,有rank(R(z))=n+q.

假設1.系統(1)是最小相系統.

假設2.rank(D)=rank(CD)=q.

注1.無論是連續系統還是離散系統,假設1和2都是未知輸入觀測器設計的基本前提條件.針對連續系統,文獻[3]給出了一個與假設1和2等價的Lyapunov-type描述,而這樣的等價描述,為未知輸入觀測器設計帶來了極大的便利.接下來我們在引理1中將該等價描述推廣到離散系統,并給出嚴格的證明和算法.

引理1.假設1和2成立的充分必要條件是:對于任意對稱正定矩陣Q∈Rn×n,如下Lyapunov矩陣代數方程組

關于矩陣L∈Rn×p、G∈Rq×p和對稱正定矩陣P∈Rn×n有解.

證明.詳見附錄.

2 切換降維觀測器設計

本節將上述結論應用于切換系統觀測器設計中,結合切換系統的穩定性理論,提出一種切換降維觀測器設計方法.為此,考慮如下具有未知輸入的離散切換系統

其中,x(k)∈Rn,u(k)∈Rm是已知控制輸入,y(k)∈Rp是可測輸出,η(k)∈Rq是未知輸入. 系數矩陣Aσ(k)∈Rn×n,Bσ(k)∈Rn×m和Dσ(k)∈Rn×q為常數切換矩陣,C ∈Rp×n為已知常數矩陣.不失一般性,假設.切換信號 σ(k):N+→ ?={1,2,···,N},其中N 為子系統數.設采樣時刻 k1,k2,···,kv,kv+1,···為切換系統(4)的切換時刻,且不妨假設當k∈[kv,kv+1),第i個子系統被激活,即假設當k∈[kv,kv+1)時,σ(k)=i.

假設3.系統(4)的任意子系統均為最小相系統,而且存在常數0＜?＜1,對任何滿足|z|≥?的z∈C,有其中

假設 4.

定義3.對任意0≤kl≤ks,以Nσ(k)(kl,ks)表示區間[kl,ks)上的切換次數.若存在常數τa＞0使得

成立,則稱常數τa為切換信號σ(k)的平均駐留時間(Average dwell time,ADT),稱N0為抖振界.

引理2[17].考慮離散切換系統

若存在常數0＜α＜1,β＞1,并存在C1函數Vσ(k):Rn→ R,σ(k)∈ ?,和兩類K∞函數 ε1和ε2使得 ?σ(k)=i∈ ?,均有:

且 ?(σ(kv)=i,σ(kv?1)=j)∈ ?×?,i/=j,

則平均駐留時間(ADT)滿足

的切換系統(5)是全局漸近穩定的.

則對應于k∈[kv,kv+1)上的第i個子系統有

引理3.假設3和4的Lyapunov-type等價描述為:存在0＜γ1＜1,使得對任意的對稱正定矩陣Qi∈Rn×n,如下的矩陣方程組

關于對稱正定矩陣Pi∈Rn×n和矩陣Li∈Rn×p和 Gi∈ Rq×p有解.

證明.首先,在假設3 下,由矩陣C?=(1/?)C和所確定的未知輸入切換系統的任何第i個系統均是最小相系統.事實上,?|z|≥1,由于|z|≥1且0＜?＜1?|?z|=?|z|≥?,故在假設3下有:

關于對稱正定矩陣Pi∈Rn×n和矩陣Li∈Rn×p和Gi∈Rq×p有解. 如果取γ1=1? ?2,則有0＜γ1＜1,這時式(8)即為式(7"). □

其中,Ai,11∈Rp×p,Bi,11∈Rp×m,Di,11∈Rp×q,Pi,11∈ Rp×p.

對系統(4)進行線性變換θ(k)=Tσ(k)x(k),

則當系統處于第i個子系統時,一方面,由式(7)的第二式知

注意到KiDi,1+Di,2=0,因而有:

由于切換系統在切換時刻,新子系統的狀態初值為前一采樣時刻的狀態值,即有x(kv)=x(kv?1),所以有:

于是有:在假設3和4下,由引理3知,存在常數0＜γ1＜1,使得(7)關于對稱正定矩陣Pi∈Rn×n和矩陣Li∈Rn×p和Gi∈Rq×p有解.如果對對稱正定矩陣Pi解作進一步的假設,則提出如下切換降維觀測器設計方法:

定理2.在假設3和4下,如果還存在常數γ2＞1使得對于?(σ(k)=i,σ(k?1)=j)∈?×?,i/=j,滿足:

且假設系統(4)切換信號σ(k)的平均駐留時間(ADT)滿足:

則系統

是系統(4)的切換降維未知輸入觀測器使得limk→∞(x(k)??x(k))=0.

證明.定義誤差方程為選取Lyapunov函數為

當系統處于第i個子系統的時刻時,即當k∈[kv,kv+1),由式(14)可得:

且λ1=mini∈‘{λmin(Pi,22)},λ2=maxi∈‘{λmax(Pi,22)},λmin(Pi,22) 表示Pi,22最小的特征值,λmax(Pi,22) 表示Pi,22(i=1,2,···,N)最大的特征值.

由式(7)第一式,利用Schur引理,取Wi=PiLi,可得:

分解上式,有:

再經初等行、列變換,可得:

故有:

由Schur補定理,可得:

也即

對于第i個子系統,式(14)即為

從式(9)和(13)中的第一式,可得:

則有:

由式(16)和(18)可得:

用式(10)減去式(13)中第二式,我們有:

對于?(σ(kv)=i,σ(kv?1)=j)∈?×?,i/=j,從式(11)可得:

也即

因此有

進一步地

也即

注意到式(15)、(18)、(20)和式(12),根據引理2推知觀測器誤差方程(17)是漸近穩定的,這表明式(13)是式(4)的切換降維觀測器. □

3 未知輸入代數重構

本節對未知輸入提出一種代數延遲重構方法,式(4)兩邊同時左乘矩陣C,有:

即

其中

定理3.在假設3和4的前提下,

是未知輸入η(k)的漸近收斂延遲重構.

證明.由式(21)和(22)可得,未知輸入重構誤差

4 仿真

考慮離散切換系統(4)的系數矩陣為

假設輸入為u(k)=5sin(2k),未知輸入為η(k)=sin(50k),γ1=0.6,γ2=3.8.可以算出:

以及τ?a=1.457.切換序列如圖1所示,圖2給出狀態估計和未知輸入重構,由圖2可以看出,所提方法是正確有效的.

圖1 切換序列Fig.1 Switched sequence

圖2 系統狀態估計和未知輸入重構Fig.2 Estimated states and unknown input reconstruction

5 總結

本文對具有未知輸入的離散切換系統,提出了一種能直接消去未知輸入影響的切換降維觀測器設計方法.為了達到設計目的,事先將文獻[3]中有關連續系統觀測器匹配條件的等價性條件的相關結論,推廣到一般的離散系統,針對離散系統給出了類似于連續系統中觀測器匹配條件的Lyapunov-type等價表示形式,并給出了嚴格的推導過程.然后,將所得結論應用于離散切換系統,提出了降維切換觀測器設計方法,并以此討論了切換觀測器存在的前提條件.在同樣的前提下,提出了一種未知輸入代數重構方法.對同時具有未知輸入和測量噪聲的切換系統,設計切換觀測器并討論存在性,是值得進一步研討的議題.

附錄

為了證明引理1的結論,首先引入下面引理.

引理A1[3].假設2成立的充分必要條件是:存在可逆矩陣T∈Rn×n,S∈Rp×p,使得:

引理A2.對于任意對稱正定矩陣Q∈Rn×n,矩陣代數方程組(3)關于L∈Rn×p,G∈Rq×p和P∈Rn×n有解的充分必要是:=TTPT,=T?1LS,=GS和=TTQT是如下的代數矩陣方程

的解.

證明.直接驗證即可得知.引理1的證明:(必要性:假設1和2成立?式(3)有解).定義

可知

其中,?＞0是任意的正常數,為任意矩陣,顯然,是對稱正定矩陣.在假設1和2的前提下,由引理4可知,可檢測,因此,存在矩陣使得如下Lyapunov代數方程

充分性:式(3)有解?假設1和2成立).由于P∈Rn×n為對稱正定矩陣,故矩陣D和DTPD有相同的零空間,即rank?DTPD￠=rank(D),由DTP=GC,得DTPD=GCD,即

因此有rank(D)≤rank(CD)≤rank(D),即有rank(CD)=rank(D),也即假設2成立.

在假設2成立的前提下,由引理A1可知,存在可逆矩陣T∈Rn×n,S∈Rp×p,使得(3)成立.對于引理A2中定義的矩陣進行如下的分塊

其中,由引理A2可知,式(3)有解意味著式(A1)有解,對式(A1)按分塊展開

其中

也即有

即

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Discussions on Existence of Observers and Reduced-order Observer Design for Discrete-time Switched Systems

ZHU Fang-Lai1CAI Ming1GUO Sheng-Hui1,2

The paper discusses the unknown input observer(UIO)design issue for discrete-time switched systems with unknown inputs.First,a Lyapunov-type equivalent representation of observer matching condition for a general discretetime system is given and proved.Then,based on the stability theory of discrete-time switched system without unknown inputs,a reduced-order observer is developed for a discrete-time switched system with unknown inputs.The reducedorder observer can eliminate the in fl uences of the unknown inputs directly because of the special selection of the observer gain matrix determined by matrix block computation.Meanwhile,an algebraic unknown input reconstruction method is proposed.Finally,a simulation example is given to verify the correctness and eあectiveness of the proposed methods.

Discrete-time system,unknown input estimation,observer matching condition,switched system

Zhu Fang-Lai,Cai Ming,Guo Sheng-Hui.Discussions on existences of observers and reduced-order observer design for discrete-time switched systems.Acta Automatica Sinica,2017,43(12):2091?2099

2016-06-16 錄用日期2016-11-23

June 16,2016;accepted November 23,2016

國家自然科學基金(61573256),上海市科委“創新行動計劃”項目(16111106502),浙江省高端創新載體專項項目浙江省高端創新載體專項項目資助

Supported by National Natural Science Foundation of China(61573256),Shanghai Science and Technology Innovation Fund(16111106502),Zhejiang Province High-end Innovative Carrier Project

本文責任編委孫希明

Recommended by Associate Editor SUN Xi-Ming

1.同濟大學電子與信息工程學院 上海201804 2.蘇州科技大學電子與信息工程學院蘇州215009

1.College of Electronics and Information Engineering,Tongji University,Shanghai 201804 2.College of Electrical Engineering and Automation,Suzhou University of Science and Technology,Suzhou 215009

朱芳來,蔡明,郭勝輝.離散切換系統觀測器存在性討論及降維觀測器設計.自動化學報,2017,43(12):2091?2099

DOI10.16383/j.aas.2017.c160471

朱芳來 同濟大學電子與信息工程學院教授.主要研究方向為非線性系統魯棒控制,觀測器設計,基于模型的故障檢測與隔離.本文通信作者.

E-mail:zhufanglai@tongji.edu.cn

(ZHU Fang-Lai Professor at the College of Electronics and Information Engineering,Tongji University.His research interest covers nonlinear robust control,modelbased fault detection and isolation.Corresponding author of this paper.)

蔡 明 同濟大學控制理論與控制工程專業碩士研究生.主要研究方向為基于模型的故障檢測與隔離.

E-mail:basycai@163.com

(CAI Ming Master sutdent at the College of Electronics and Information Engineering,Tongji University.His research interest covers model-based fault detection and isolation.)

郭勝輝 蘇州科技大學電子與信息工程學院講師,博士.主要研究方向為基于模型的故障檢測及觀測器設計.

E-mail:12gsh@tongji.edu.cn

(GUO Sheng-Hui Ph.D,lecturer at the College of Electronics and Information Engineering,Suzhou University of Science and Technology.His research interest covers model-based fault detection and observer design.)