四階龍格—庫塔法的原理及其應用

馮建強++孫詩一

【摘要】微分方程的數值模擬在工程應用中有很重要的意義.而在諸多的數值方法中，龍格—庫塔法是使用最廣泛、最有效的數值方法之一.龍格—庫塔法的理論基礎是泰勒級數方法，龍格—庫塔法吸收了泰勒公式方法中的高精度同時摒棄了泰勒級數方法中求高階導數的弊端，利用復合函數的思想合理而巧妙地回避了求高階導數這一難點，使數值格式顯得非常對稱和緊湊.四階龍格—庫塔法是求解微分方程的非常有用的工具，盡管其計算公式非常簡單，但該數值格式的基本原理卻是非常深刻的.

首先，本文利用數學分析、數值分析的知識理解歐拉方法及泰勒級數方法的局限性，從而理論分析導出龍格—庫塔四階格式（四階格式的完整導出是任何一本參考書上所沒有的）.然后，探討了四階龍格—庫塔法在捷聯慣性導航中的應用.最后，對四階龍格—庫塔法的收斂性與穩定性進行了討論.

【關鍵詞】四階龍格—庫塔法；收斂性；穩定性；微分方程

【基金項目】該課題由揚州大學教改項目YZUJX2016-4A和揚州大學2016科創項目資助.endprint