從關注直觀表象到關注本質屬性

馬海濱　應存榮

[摘 要]

角的定義反映出角的“射線”和“旋轉”兩大本質屬性。從角的概念出發，立足角的本質屬性，就人教版二年級上冊“角的初步認識”這一單元，比較分析實驗版教材與修訂版教材之間的異同，同時針對“初步認識角”“動態角的呈現”“直角的學習”“角的大小”“角的分類”等教材的內容編排，闡述比較后所獲得的啟示。

[關鍵詞]

本質屬性；人教版；比較分析

什么是角？《辭海》里這樣解釋：由一點發出的兩條射線所夾成的平面圖形。“百度百科”又分靜態與動態兩種形式定義角。角的靜態定義：具有公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角，這個公共端點叫作角的頂點，這兩條射線叫作角的兩條邊；角的動態定義：一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形叫作角，所旋轉射線的端點叫作角的頂點，開始位置的射線叫作角的始邊，終止位置的射線叫作角的終邊。

從《辭海》和“百度百科”的定義來看，反映角的本質屬性大致可以概括為兩個：“射線”和“旋轉”。在給角下定義時，二年級的數學書上并沒有用表象的語言，如“像這樣的圖形叫作角”或“三角板上這樣的圖形叫作角”等語句，書上所出現是“這些物品中都有角”“上面的圖形都是角”，這些語句僅僅是為了幫助學生理解角而所列舉的幾個“樣子”，而并非是對角的定義。

角是基本的平面圖形，在數學幾何家族中，它是不可或缺的重要一員。修訂版教材“角的初步認識”，單元內容主要包括“初步認識角”（各部分名稱）“直角的學習”“角的大小”“角的分類”（如下圖），其中角的“頂點”“邊”突出的是“射線”這一屬性，角的“大小”“分類”突出的是“旋轉”這一屬性，而“直角”既聯系著“射線”屬性，又聯系著“旋轉”屬性，因此對“直角”的學習非常重要。

筆者在比較人教版“角的初步認識”不同時期的教材（實驗版與修訂版）后，發現修訂版教材更加突出角的“射線”與“旋轉”這兩大本質屬性，在例題和習題上也略有修改或增加一些與“無限”“動態”理念相關的圖或語句。下面筆者就結合自身教學實踐，談談對比實驗版與修訂版教材后所獲得的點滴啟示。

一、“初步認識角”的比較分析

最開始的“角的認識”，是在學習長方形、正方形（一年級下冊“認識圖形二”）時，稍加認識它們當中的角。到了二年級上冊，教材以“角的初步認識”為一單元進行學習，而實驗版教材和修訂版教材一開始都是從實物中抽象出角（例1），再到角的概念（例2）。但對比后也發現，修訂版教材在例1編排時更改了其中兩個生活中角的原型，例2多了“筆直”二字。

透析：在一年級下冊學習長方形、正方形時，認識的僅僅是圖形中的角。到二年級上冊，兩個版本的例1都呈現了“生活中的角”，此時是讓學生從實物中抽象出角，修訂版的“鐘表”“三角板”更有利于學生對角的抽象，尤其是鐘面上的角既蘊含了“射線”的含義（分針時針長短不一），又有利于接下來學生對角“旋轉”（表針的轉動）的學習。但不管是圖形中的角，還是現實生活中的角，觀察這些角你會發現：這些角的“邊”雖然長短不一，但都是有固定長度的，并不是射線，直到例2，才突出了角的“射線”這一本質屬性。例2不僅展示了畫角的步驟與方法，同時還關注了角的概念，“從一個點起，畫兩條筆直的線”其實就是兩條射線，而且從第一步到第二步的動態生成過程，既可以幫助學生建立角的概念，認識角的“頂點”（射線的端點）“邊”（兩條射線），同時也幫助學生經歷“角的形成”的過程。當然，修訂版教材比實驗版教材多了“筆直”兩字，正說明修訂版教材更加注重概念描述的完整性，更加突出所畫的兩條線是“射線”——從一個點起筆直的線。

啟示：數學用“射線”定義角的邊，是有道理的。但讓抽象思維能力比較弱的小學二年級學生去理解這樣的定義，是非常困難的，而角本身就是由生活中模型抽象出來的，因此，教學上可以從“生活中的角”（長短不一的實物）引入，對角的概念不必給出明確的定義，再通過折角、摸角、畫角、指角等活動來揭示角的概念，對“頂點”“邊”可以采用舉例的方式，課堂上老師只需引導學生關注角的“射線”本質以及兩條“射線”的張開程度即可。但到第二學段進一步學習角時，應清晰地給出角的定義，要學會用“射線”來描述角的概念。

二、“動態角呈現”的比較分析

從對比實驗版教材與修訂版教材后不難發現，兩個版本都有動態角的素材，都關注了角的“旋轉”這一本質屬性。相比之下修訂版教材的動態角素材更多，除了剪刀和“活動角”，還多了鐘表和扇子。在描述語句上，實驗版的“這是活動的角”變為修訂版的“角越來越大”，“我折的和你們折的不一樣”修訂為“我折的角比你的小”，圖案也增加了“從小到大的變化過程”（陰影表示）。

透析：動態角可以展現角的形成過程，能夠在角的邊（射線）的旋轉過程中讓學生體會到角的大小與方向，為以后角的大小、分類乃至任意角、角的正負等知識的學習奠定基礎。修訂版教材所增加的“鐘表”“扇子”，是來自生活的原型，它們既可以“由一點引出兩條射線”，又可以“運動形成其他不同的角”。教材這樣的修訂是否告訴我們，課堂教學要更加關注角的運動（旋轉）體驗，學生只有積累了對角的體驗，才能更好地對角的大小進行比較、分類的學習。與此同時，修訂版教材還增加了“活動角”的動態過程（從小到大的變化過程），以及修改了情境圖中兩位小朋友的兩張“紙片三角形”的邊的長短，教材的這樣修訂，更有利于幫助學生比較角的大小（與邊長短無關，與旋轉的角度有關），巧妙地回避了教學中經常出現的“邊的長短與兩邊之間面積大小有關”的困惑。

啟示：動態角有利于學生建構、理解角的概念，有利于學生體會到角的“旋轉”本質。教學上可以讓學生同桌合作，用“活動角”做出一個角，并想一想、指一指“張開”的地方；然后再做一個角，要比之前的角大一些或小一些，讓學生感受到“一個角本身有大小，兩個角可以比較大小”。這一“旋轉”“比較”的操作過程，學生會自覺地將“角”看作一個整體，對角的認識也會從“圖形特征”轉向“圖形要素”，轉向“空間觀念”，對角的概念也會從角的“對象”提升到角的“模型”。

三、“直角學習”的比較分析

實驗版教材和修訂版教材，都非常重視直角的學習。重視直角在“角”學習中的特殊地位，是因為直角既是前面“角的概念”知識的延續，又是后續“角的大小”“角的分類”知識的一個“支點”。修訂版教材的例3、例4、例5都是有關直角的知識，相比實驗版教材多了一個例題，其增加的例題為“以三角尺上的直角為比較對象，用‘比一比來認識銳角、鈍角”，即利用直角的表象來進行“角的分類”。同時修訂版教材還增加了用文字概括“根據‘比直角大或‘比直角小來判斷角的類型”的方法。

透析：修訂版教材除了增加“用直角來分類”的相關知識，其他關于直角的知識如“生活中的直角”“用紙折直角”“用三角尺畫直角”“判斷是不是直角”等，和實驗版教材差異不大，兩個版本都重視通過一些操作活動來加深對直角的學習。實驗版教材的“做一做”刪除了“方格紙上畫直角”的練習，改為“數圖形中的直角個數”，筆者認為在學了“用三角尺畫直角”后再讓學生在方格紙上畫直角意義不是很大，而且以后需要畫直角時，學生不可能先畫出方格再去畫直角。修訂版教材更加注重了對直角知識的運用，把“角的分類”和“直角的學習”相結合，這是因為直角的知識有著承上啟下的作用，在“畫直角”時聯系了角的“射線”屬性，在“用直角對比銳角、鈍角”進行角的大小比較或角的分類時，聯系了角的“旋轉”屬性。

啟示：直角既聯系著“射線”屬性，又聯系著“旋轉”屬性，因此我們需要對直角的知識加以重點突破，需要以本質屬性來幫助學生了解直角的內涵。在教學時可以通過“找”“折”“數”“畫”“比”等活動，借助“三角板”“活動角”“鐘表”來研究直角，以及用“重疊法”明晰“角的大小”比較的方法，為“角的分類”的教學奠定基礎，也為今后的垂直、直角坐標系等知識鋪墊。

四、“角的大小”的比較分析

對比教材不難發現，實驗版教材例1只是“我折的和你們折的不一樣”，并沒有直接說是角的大小不一樣，其例4也并非是比較角的大小，而是判斷“是不是直角”，真正出現角的大小比較，是在其“練習八”的第三題，不過也只是比較兩個“大小一樣”的角，而比較兩個“大小不一樣”的角在實驗版教材中并未出現。

透析：修訂版教材的例1，就已經點出了“我折的角比你的小”，其例5讓學生用三角尺上的直角與隊旗上的銳角、紅領巾上的鈍角進行大小比較，同時還形成了歸納性文字“銳角比直角小”“鈍角比直角大”這樣的描述，其練習題是利用三角尺上的角進行大小比較，有比較“大小一樣”的角（直角），也有比較“大小不一樣”的角（30°、 45°、 60°），這樣的修訂，彌補了實驗版教材“例題中沒有涉及角的大小比較，而在練習題中直接出現角的大小比較”的問題。筆者認為，只通過一道習題讓學生學會對角大小的比較是遠遠不夠的，只對“大小一樣”角的進行比較也是不夠的。

啟示：教學中，學生“角的大小比較”的錯誤率是比較高的，主要是因他們經驗的負遷移。錯誤的原因主要包括兩方面：一是認為畫出的邊越長，角就越大；二是認為看到的角兩邊之間所夾部分所占的區域越大，角就越大。對于二年級學生來說，他們有著較為豐富的比較長度、比較面積或比較體積的生活經驗，這些經驗在其頭腦中形成了“大小”的模糊概念，因此角的“大小”很容易受其影響。教學時，建議老師借助“活動角”讓學生體會到角的大小，借助“三角板”讓學生形成有關角的大小的正確感知，以期幫助學生突破思維的障礙。

五、“角的分類”的比較分析

實驗版教材中只有判斷“哪個是角”或“哪個是直角”的相關知識，并沒有“角的分類”（銳角、鈍角的內容在二年級下冊《圖形與變換》里），教材中所出現“銳角”或“鈍角”的圖形，只是給“是不是直角”的判斷提供素材而已，并不是真正意義上的“角的分類”。修訂版教材不僅增加了“銳角”“直角”“鈍角”的相關知識，以及它們之間的大小比較，而且還增加了以“連一連”的形式把角進行分類。與此同時，修訂版教材（例5）還出示了“活動角”，以“旋轉”的形式呈現了“鈍角”。

透析：修訂版教材“角的分類”是按“大小”分成“銳角”“直角”“鈍角”三大類，故這里的學習內容是“角的大小”知識的延續，也是“直角”知識的延伸。所以不難理解，修訂版教材為什么將“角的分類”從二下提至二上，把它與“直角”放在一起。修訂版教材出現的“銳角比直角小”“鈍角比直角大”，以及手拿“活動角”的小男孩說“這是一個鈍角”，都體現了“旋轉”這一本質屬性，所以教材用“運動變化”的觀點暗示不同種類的角：銳角旋轉的角度比直角小，鈍角旋轉的角度比直角大。

啟示：正因為角有著“旋轉”這一本質屬性，故我們可以用“角度”來表達旋轉的“程度”，也可以用旋轉“程度”來敘述角的“種類”。教學時，我們可以借助“活動角”，把直角作為一個比較對象，通過旋轉揭示銳角、鈍角的不同特點和三者之間的聯系與區別。抓住“旋轉”本質進行教學，有利于學生在四年級上冊用“動態”的角度去學習“角的分類”，去理解銳角、直角、鈍角，乃至平角、周角的概念意義，也有利于學生空間觀念的培養。

綜上所述，概念是反映事物本質屬性的思維形態，而“角”的概念就反映了“射線”與“旋轉”兩大本質屬性。不過，角本身就是由生活中的模型抽象而來，教學時如果讓二年級的小朋友去理解“射線”的無限、“旋轉”的位置、方向等概念，想必是一件非常困難的事情。因此，我們要根據小學生的認知水平進行教學，但是作為老師，自己必須要清楚地知道角的“來龍去脈”，必須要把握好角的“本質屬性”。

[參 考 文 獻]

[1]朱樂平.角的認識與度量教學研究[M].北京：教育科學出版社，2013.

[2]義務教育數學課程標準（2011版）解讀[M].武漢：湖北教育出版社，2011.

[3]杭州現代小學數學教育研究中心.新思維數學教學研究[M].杭州：浙江教育出版社，2008.

[4]綦春霞.數學比較教育[M].南寧：廣西教育出版社，2006.

[5]高凌飚.基礎教育教材評價[M].北京：人民教育出版社，2002.

[6]石鷗.最不該忽視的研究——關于教科書研究的幾點思考[J].湖南師范大學教育科學學報，2007（5）.

[7]宋運明，李明振，李鵬，宋乃慶.小學數學教材例題編寫特點研究[J].課程·教材·教法，2014（2）.

（責任編輯：李雪虹）