導函數的特殊性質分析

何偉

【摘要】數學是我國教育事業中最為重要的學科之一，在許多領域都需要數學對某些參數進行運算，因此，數學是一門對社會各領域的發展有著重要意義的學科.對于數學來說，最難的部分在于如何做好前期的學習工作，前期的學習工作是打牢基礎的重要環節，直接影響著后續學習工作的質量，導函數作為數學中的基礎部分，是學習過程中較為重要的內容.本文主要分析導函數的特殊性質，對于學生加深對導函數的理解有著較為巨大的實際意義.

【關鍵詞】導函數；特性分析；具體應用

一、引言

在數學領域中研究導函數的特殊性質，其方法就是將導函數的特殊性質以及實際數學問題結合起來，通過解決實際數學問題來闡釋導函數的特殊性質.[1]通過研究導函數的特殊性質，學生可以更輕松地解決綜合性較強的函數問題，因此，研究導函數的時候不僅要把握其作為函數的本質，更重要的是要重視導函數的特殊性質.

二、導函數的特殊性質分析

（一）導函數的連續性

如果函數在某一點是連續的，并且在該點的鄰域范圍內均存在導函數，導函數在該點的極限值趨向于常數c，假設該點為x0，那么函數在x0處一定可導，這時候可以說明導函數在x0的鄰域內是連續的.[2]相比于普通函數來說，導函數的連續性可以通過極限的存在來確定，而普通函數則不能夠保證在存在極限的情況下一定是連續的，主要是因為普通函數在某一點存在極限可能意味著函數在該點處沒有定義或者函數值不同于極限值.

根據上述內容，可以推論出關于導函數連續性的更多特殊性質.

如果在a

（二）導函數的介值性質

通過研究導函數的連續性可以發現，導函數一旦不連續那么肯定就會圍繞函數值而振蕩，因此，導函數無論是否連續，都具備介值性質，實質就是函數的導數值應該與導函數的值域具有一一對應的關系.

關于導函數的介值性質，數學教材中給出了這樣一個定理：假設函數f（x）在任一區間（a，b）內可導，x1，x2是區間內的任意兩點，并且函數在x1處的導數值與x2處的導數值異號，那么在（a，b）這一區間內一定存在某一點，在該點處函數的導數值為0.[4]通過這一定理可以引出對導函數介值性質的分析，也就是導函數的介值定理：假設函數在任一區間（a，b）內是可導的，那么導函數的值一定是上確界M與下確界m之間的某一數值.通過導函數的介值定理，可以得到導函數具有回歸性這一特質，如果導函數是連續的，那么導數值一定是存在的，即使導函數不是連續的，那么導函數在振蕩的過程中也是在逐漸接近導數值.

導函數的連續性以及介值性質是導函數最重要的特殊性質，在學習導函數的過程中，必須要重視對這兩個重要特質的學習與思考，通過解決實際的數學問題來加深對該特質的理解與認知.在學習數學的過程中，做題是學生們最基本的學習方式，能夠幫助學生將數學中的各種定理、推論通過做題來進行論證，既保證了學習數學的嚴謹性，又保證了學生對于各種定理、推論的靈活應用.因此，導函數的特殊性質需要學生們通過習題練習的方式做到熟悉并理解，導函數的學習是整個學習過程中較為基礎的部分，只有認真理解導函數的特殊性質并靈活應用，才能保證后續的學習過程順利進行.[5]

三、結語

由于數學是一門對學生要求較高的學科，學生在學習過程中需要投入極大的精力，因此，從事數學教學的教師要比其他教師付出更多的心血.導函數是數學教學中比較基礎的部分，也是后續學習過程中應用較多的部分，學生在學習導函數這一部分教學內容的時候，一定要重視對導函數特殊性質的學習.這些特殊性質是解決實際數學問題的捷徑所在，對導函數的特殊性質了解程度越深，越能夠快速地找到最簡單的解決方式.

【參考文獻】

[1]閆彥宗.關于導函數分析性質的討論[J].高等數學研究，2016（05）：34-35.

[2]朱彩蘭.原函數與導函數的性質比較[J].安慶師范學院學報（自然科學版），2014（04）：125-127.

[3]王小強.導函數極限和連續的特殊性及其應用[J].長江大學學報（自然科學版），2011（12）：12-13.

[4]海紅.導函數性質及其應用[J].武警學院學報，2009（08）：94-96.

[5]許智勇，趙曾云.關于導函數極限的研究[J].武漢科技學院學報，2006（09）：35-37.