構(gòu)造特殊三角形，巧解向量客觀題

曹志棟

【摘要】平面向量解決三角形問(wèn)題可以讓學(xué)生深刻體會(huì)到向量在幾何中的作用.本文就向量問(wèn)題的解決方法幾何法、坐標(biāo)法、基底法解決三角形問(wèn)題做以探討.

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造；特殊三角形；平面向量；客觀題

平面向量的運(yùn)算性質(zhì)使其具有數(shù)的屬性、其可度量性又使其具有幾何特征，所以平面向量具有數(shù)形二象性，所以它也在數(shù)與形之間作為一個(gè)“中間人”的角色，起著橋梁作用.三角形是我們認(rèn)識(shí)過(guò)程中所接觸到的第一個(gè)封閉圖形，并且其他平面圖形都可看作是三角形的衍生物，幾何度量中的角度、長(zhǎng)度、面積等都可通過(guò)三角形來(lái)達(dá)到深刻認(rèn)識(shí)，三角形也就成了高中數(shù)學(xué)各板塊知識(shí)的戰(zhàn)場(chǎng)，平面向量也不例外，用平面向量解決三角形問(wèn)題可以讓學(xué)生深刻體會(huì)到向量在幾何中的作用，用平面向量來(lái)解決三角形問(wèn)題，在三角形問(wèn)題中考查向量的應(yīng)用，也就成了高考試題中的?？?

向量問(wèn)題的解決無(wú)非三種：幾何法、坐標(biāo)法、基底法.而用坐標(biāo)法解決向量問(wèn)題首先是要建立合適的平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)系建立的好壞決定運(yùn)算的繁與簡(jiǎn)，我們最好使得幾何圖形的頂點(diǎn)都置于坐標(biāo)軸上，這在一般的三角形中比較難以辦到，而客觀題的問(wèn)題特征使得我們可以構(gòu)造特殊圖形來(lái)解答，我們可以構(gòu)造符合條件的等腰三角形、直角三角形等特殊三角形，使得我們能更容易建立坐標(biāo)系，然后通過(guò)坐標(biāo)解決向量問(wèn)題與幾何問(wèn)題.本文將就此做以探討.

1.已知P為△ABC所在平面上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足AP=15AC+25AB，則△APB的面積與△PAC的面積之比為.

解析本題若用常規(guī)方法，則需要根據(jù)平行四邊形法則找到點(diǎn)P的位置，然后根據(jù)相似三角形分析出B點(diǎn)與C點(diǎn)到線段AP的距離之比，學(xué)生在解決的過(guò)程中感覺(jué)很困難.但若是構(gòu)造特殊三角形：等腰直角三角形，就會(huì)簡(jiǎn)單很多.如下述解法.

解構(gòu)造如圖的等腰直角三角形ABC，并且令A(yù)B=5，并建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（5，0），C（0，5）.由AP=15AC+25AB可得P（2，1），而△APB的面積與△PAC的面積之比為即為P點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之比，即為1∶2.

2.已知P是△AOB所在平面上的一點(diǎn)，向量OA=a，OB=b，且P點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，OP=c，若|a|=2，|b|=1，則|c·（a-b）|=.

解析構(gòu)造如右圖的Rt△AOB，令|OA|=2，|OB|=1，直線l為線段AB的垂直平分線，取P點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，并建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A（2，0），B（0，1），P1，12，則c=1，12，a-b=（2，-1），故|c·（a-b）|=32.

3.在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=3，BC=10，則 AB·AC=.

解析由BM=5，AM=3，聯(lián)想到勾股數(shù)，令A(yù)B=4，構(gòu)建如右圖的三角形并建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（4，0），M（0，3），則C（-4，6），故AB·AC=-16.

本題也可構(gòu)造以BC為底邊的等腰三角形ABC，然后建立平面直角坐標(biāo)系，則C（5，0），B（-5，0），A（0，3），則AB=（-5，-3），AC=（5，-3），所以AB·AC=-16.

但要注意不能構(gòu)造以∠A為直角的直角三角形，此時(shí)不滿(mǎn)足直角三角形的性質(zhì)：“直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半”，需提醒學(xué)生構(gòu)造三角形時(shí)，所構(gòu)造的三角形必須要滿(mǎn)足題目條件.

4.已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿(mǎn)足5a2=b2+c2，BE與CF分別為邊AC，AB的中線，則BE與CF夾角的余弦值為.

解析如右圖所示，構(gòu)造等腰三角形ABC，令a=2，b=c=10，并構(gòu)建如右圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B（-1，0），

C（1，0），A（0，3），由此得到E12，32，F(xiàn)-12，32，所以BE=32，32，CF=-32，32，故BE·CF=0.

所以BE與CF夾角的余弦值為0.

評(píng)析：學(xué)生再用常規(guī)方法去做時(shí)找不到思路，找不到突破口，顯然構(gòu)造特殊三角形，將兩條直線夾角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的夾角問(wèn)題是比較簡(jiǎn)單的.但是也要提醒學(xué)生檢驗(yàn)所構(gòu)建三角形是否符合條件，在教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)有學(xué)生構(gòu)造直角三角形ABC，但這顯然不滿(mǎn)足條件.endprint