用R軟件模擬兩服務員的并聯排隊系統

黃雅楠

【摘要】首先，本文介紹了經典的兩個服務員的并聯系統；其次，通過對排隊規則的改變，更新該系統并給出算法；最后，用R軟件對系統進行模擬.

【關鍵詞】排隊論；并聯系統；R軟件模擬

一、引言

排隊是人們日常生活中經常遇到的現象.排隊論，又稱隨機服務系統，是通過對服務對象到來和服務時間的統計研究，得出一些數量指標的統計規律，根據這些規律來改進并優化服務系統的結構.由于排隊論的應用越來越廣泛，排隊規則和服務機構也變得愈之復雜，解析方法已無法求解，而隨著計算機技術的發展，計算機模擬成為求解排隊系統并分析系統性能的一種有效的方法.

二、排隊系統理論

一個排隊系統有四個基本要素：輸入過程、排隊規則、服務時間和服務系統.

輸入過程，是描述顧客來源及顧客是按照怎樣的規律到達排隊系統，它包括顧客總體數、顧客到達類型、相繼顧客到達的間隔時間服從怎樣的分布，分布參數是什么.排隊規則，是指服務是否允許排隊，顧客是否愿意等待，在排隊等待的情況下，服務的順序是怎樣的.服務時間，是指服務員對顧客服務所消耗的時間，是一個隨機變量，它們相互之間獨立同分布.服務機構，即服務臺的數目.

三、模型分析

考慮兩個服務員的模型，顧客按照非齊次的Possion過程到來.若兩個服務員1，2都是忙的，則來到的顧客進入排隊等候的隊伍，設每個服務員都有其自己的排隊，一個來到者加入最短的隊伍.當來到者發現兩個隊伍一樣長（或兩個服務員前都是空的）時，就來到服務員1前.當顧客接受完一個服務員的服務后將自動離開此系統.每個顧客接受服務員i的服務時間有分布函數Gi，i=1，2.

我們要模擬上述模型來分析每個顧客花費在這個系統中的總時間和每個服務員服務的顧客數.由于有兩個服務員，故顧客不必按照來時的順序離開，要知道哪一個顧客將離開此系統就要根據服務的完成情況來確定，故我們必須了解哪些顧客是在該服務系統中.當顧客到達時，我們對其進行編號，第一個到達的顧客編號為1，下一個編號為2，等等.假設顧客i和j正在接受服務，其中i0個顧客正在排隊.

為了分析此系統，我們引入下述變量.

1.時間變量：（1）當前時間t；（2）規定計時從0開始t0；（3）顧客到達時間tA；（4）顧客花在系統中的平均時間TT；（5）離開服務員1，2的時間t1，t2.2.系統狀態變量：S1，S2.3.計數變量：（1）接受S1，S2服務顧客數統計c1，c2；（2）S1，S2中接受服務顧客序列號i1，i2；（3）到達人數N；（4）系統中的人數n.4.輸出變量：（1）在S1中接受服務顧客所占比重c1_percent；（2）離開S1，S2的時間及最后一個顧客離開的時間D1，D2，D.

四、算法

設yi是分布Gi，i=1，2的隨機變量.模擬算法如下：

第一步：初始步，令t=t0=tA=0，c1=c2=0，n=N=0，i1=i2=0，TT=0，

D1=D2=0，c1_percent=0，wq=99 999，t1=t2=wq，輸出結果.

第二步：當到達時間及離開服務員的時間有限，若tA是t1，t2，tA中最小的，則將tA賦給t，到達人數N遞增，賦予tA一個分布，進行第三步；若t1是t1，t2，tA中最小的，則將t1賦給t，接受S1服務的顧客c1遞增，進行第四步；若t2是t1，t2，tA中最小的，則將t2賦給t，接受S2服務的顧客c2遞增，進行第五步.

第三步：有顧客到達的情況，若人數n=0，則n=n+1，i1=N，令y1為指數分布，且t1=t+y1；若人數n=1且第i1個顧客數大于0，則n=n+1，i1=N，令y2為另一指數分布，且t2=t+y2；若人數n=1且第i2個顧指數大于0，令n=n+1，i1=N，令y1為指數分布，且t1=t+y1；若人數n>1，令n=n+1，表明S1，S2都有人在接受服務，只能等待，需更新系統人數；若顧客數到達上限，則不再接受顧客.

第四步：有顧客離開S1的情況，若人數n=1，則令n=n-1，i1=i2=0，把t1賦給D1，令t1為無窮大；若人數n=2，則令n=n-1，i1=0，令t1為無窮大；若人數n>2，則令n=n-1，i1=max{i1，i2}+1，令y1為指數分布，且t1=t+y1.

第五步：有顧客離開S2的情況，若人數n=1，則令n=n-1，i1=i2=0，把t2賦給D1，令t2為無窮大；若人數n=2，則令n=n-1，i2=0，令t2為無窮大；若人數n>2，則令n=n-1，i2=max{i1，i2}+1，令y2為另一指數分布，且t2=t+y2.

第六步：輸出數據，S1服務的顧客占總顧客數的百分比和顧客在系統中平均等待的時間.

五、具體算例及結果展示

假設服務員1是速率為4的指數分布，服務員2是速率為3的指數分布，顧客以速率為6的Possion過程到來.試求1 000個顧客花費在系統中的平均時間及這1 000個來到者中由服務員1服務所占的比例.10 000及100 000個顧客呢？

用R軟件模擬的結果如下表所示.

1 000個顧客10 000個顧客100 000個顧客

花費時間0.561 000 00.575 900 00.574 040

所占比例0.160 479 80.144 944 40.142 786

六、結束語

由上述過程可以看出，通過運用計算機對排隊系統進行模擬，可以考察系統狀態的動態行為和特征.通過大量的多次試驗，獲得更加有益的排隊規則，可降低試驗成本，提高系統可靠性.

【參考文獻】

[1]肖枝紅，朱強.統計模擬及其R實現[M].武漢：武漢大學出版社，2010.

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