追溯數學文化氣息 提升學生數學素養

【摘 要】 ?《普通高中數學課程標準》（2017版）以“立德樹人”為重要理念，提出了六大數學學科核心素養，同時要求將數學文化滲透于高中數學課程的始終.數學作為一種文化的傳承和積累，它在發展學生數學素養中的教育價值是顯而易見的.文章以“兩角差的余弦公式” 為例，從教材內容的呈現方式、公式的情景創設、公式證明的策略及公式的應用技巧等方面透析數學文化的融入氣息，具體呈現了教材中處處存在數學文化，教學中處處可以滲透數學文化的特點，希望能由微觀映射宏觀，為廣大數學教師教學提供指導和實踐的方法，從而有效地改變目前數學文化教育缺失的現狀，提高學生整體文化素質和學科素養.

【關鍵詞】 ?數學文化;數學素養;教材分析;教學思考

隨著新課改的不斷深入，高考增加了數學文化知識的考查，加之《普通高中課程標準》的頒布，使數學文化的地位進一步得到了加強.相對來說，教師在教學中對數學文化的重視程度滯后，這不僅僅是擔心在課堂中融入數學文化會影響教學進度的問題，關鍵是大部分教師對數學文化了解不深，并且缺少相關的素材.本文通過追溯“兩角差的余弦公式”一課所蘊含的數學文化氣息，來談數學文化對學生數學素養的影響，不妥之處懇請指正.

1 從教材內容的呈現方式看數學文化的滲透

由于兩角和與差的余弦公式是三角恒等變換的基礎，其它復角公式都是在此基礎上變換得到的，因此不同版本的教材對兩角和與差的余弦公式的產生和推導都非常重視，設計風格也是“八仙過海，各顯神通.”

1.1 創設實際問題引入

人教A版，利用章頭圖片給出實際問題：某城市的電視發射塔建在市郊的一座小山上，如圖1所示，小山高BC約為30米，在地平面上有一點A，測得A、C兩點間距離約為67米，從點A觀測電視發射塔的視角（∠CAD）約為 45°.求這座電視發射塔的高度.

設電視發射塔高CD=x米，∠CAB=α，則

sinα= 30 67 ，…，x= 30tan（ 45°+α） tanα -30.

再提出：能不能用sinα把tan（ 45°+α）表示出來呢？進而提出更一般的問題，當α，β是任意角時，能不能用α，β的三角函數值把α+β或α-β的三角函數值表示出來？然后引出課題，分別用幾何法和向量法推導公式，并配有兩個例題.

此設計講解細膩，環環相扣，課題的產生比較自然，關鍵是凸顯了數學來源于實際，滲透用數學的眼光觀察生活，生活中處處有數學的文化積淀.

1.2 問題引進探究拓展

蘇教版通過章頭中圓周上“周期運動的疊加”問題，引入恒等變換的猜想，然后利用向量法導出公式，并在隨后的探究中提出如何利用距離證明公式的問題.其中探究問題提示，通過向量的模相等進行研究.此法是將傳統坐標法（人教A版習題3.1中B組第4題）創新，即由對稱構造（如圖2）變成旋轉構造（如圖3） [1].

這樣設計利于引導學生從向量的角度分析問題，體現了向量的工具價值，而且考慮到了學生接受新知識的認知規律——由特殊到一般，特別是在得出公式之后安排了“探究活動”，突出了《課標》的基本理念，為學生形成積極主動的、多樣的學習方式創造條件，以激發學生的數學學習興趣，鼓勵學生在學習過程中養成獨立思考和積極探索的習慣.略顯遺憾的是構造的問題較陌生，解決思路不自然，有難偏之嫌.同樣，在“兩角和與差的三角函數”一節開始，就以一方面cosx+sinx=（cosx，sinx）·（1，1），另一方面（cosx，sinx）·（1，1）=…= 2 cos（x- π 4 ）.得到cosx+sinx= 2 cos（x- π 4 ），旋即指出：“這是一個有趣的等式，在回答了sinx+cosx可以化為Asin（ωx+φ）的同時，它還告訴我們cos（x- π 4 ）可以用x和 π 4 的三角函數來表示”，至此引入課題.這里涉及，第一步不自然的變換技巧，第二步兩向量的夾角為何是x- π 4 ，第三步得到的“cos（x- π 4 ）可以用x和 π 4 的三角函數來表示” 形式上比較隱晦.學生會是霧里看花，大大削弱了“有趣等式”的體會.1.3 彰顯向量的工具性

北師版和湘教版，都是開門見山強調向量的主要作用之一是討論幾何度量問題，進一步復習數量積的意義及其與它們夾角的關系，然后直接運用向量的方法推導公式，并提示可以用誘導公式證明α，β是任意角時公式也成立，可謂惜字如金！人教B版是先給出公式，然后用向量的方法證明.這三種版本的共同點是直接傳遞“向量是近代數學中重要的和基本的數學概念之一，它屬于高中數學的‘雙基”的理念，承上啟下，不拖泥帶水，直接進入主題，不同的是B版的證明邏輯上更為嚴謹.

2 從引出公式的情景創設看數學文化的滲透

如何自然引出公式是本節課教學的難點之一.雖然《課標（實驗）》要求：“經歷用向量的數量積推導兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用.”但在實際教學中若直接利用向量推導公式常常感到牽強，下面給出筆者使用過的四種引出公式的方法供大家參考：

思路1 你能不用計算器求出cos 15°嗎？由于我們知道cos45°=? 2? 2 ，cos30°=? 3? 2 ，由此我們猜想：cos15°=cos（45°-30°）=？這里是不是等于cos45°-cos30°呢？教師可讓學生驗證（估算即可），經過驗證可知，我們的猜想是錯誤的！那么究竟是個什么關系呢？cos（α-β）=？這時學生急于想知道這究竟是怎么回事，于是展開新課：我們是利用熟悉的單位圓呢？還是利用剛剛學過的重要工具——向量呢？

效能分析 因為憑直覺得出cos（α-β）=cosα-cosβ是學生容易出現的錯誤.因此在教學中，引導學生對cos（α-β）的結果進行探究，讓學生充分發揮想象力，進行猜想，給出所有可能的結果，然后再去驗證其真假，這既展示了數學知識的發生、發展的具體過程，也鍛煉了學生的探究創新能力.

思路2 20世紀90年代末美國《數學雜志》開辟了一個專欄“沒有文字的證明”，在世界各國產生較大的影響，圖4來自廣州大學軟件所朱華偉老師編寫的《無字證明集錦》，你有何發現？

效能分析 正所謂“教學有法，教無定法”，在布魯納（美國教育家、心理學家）強烈主張發現學習的時候，奧蘇泊爾（美國心理學家）提出有意義的接受學習理論，對布魯納過分夸大發現學習的作用提出了強烈的批評.本圖由大家熟悉的矩形和直角三角形構成，清晰直觀的展示出公式，雖屬傳授式教學，但快捷省時，且滲透了現代我國數學與世界數學發展的緊密聯系，同時有激發學習興趣的作用.

思路3 中國科學院院士張景中先生從上世紀80年代就開始研究用面積法解決令中學生頭疼的幾何證明問題，進而形成了幾何學的新體系，并且創造了幾何定理機器證明的“消點法”.你能看出如圖5所示的三角關系嗎？

效能分析 以當代數學家的貢獻為引子，了解信息技術對數學的影響和我國數學發展成就，激發學生探究圖形面積的欲望，雖然面積關系是學生最容易發現的，但在等高等積的處理上仍需教師引導，否則不易得到公式.

思路4 對于基礎較好的班級，江蘇省前黃高級中學王盈慧老師的做法值得借鑒.如圖6所示，傾角為30°的斜坡上，一物體在力F的作用下前進了1m，已知|F|=1N，力F的方向與水平方向成45°角，求此過程中力F所做的功.

設問1 力F與位移s的夾角不是我們熟知的那些特殊角，有辦法求此過程中力F所做的功W嗎？

將力F正交分解，得水平方向和豎直方向的兩個分力F1、F2，將位移s也按同樣的方向做正交分解為s1、s2，可以具體計算出W1、W2，再求出和功W.

發現：由F·s=F1·s1+F2·s2，有cos（45°-30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°.

設問2 一般地，斜坡傾角為β，力F的方向與水平方向所成角為α ，還會有類似的結果嗎？

效能分析 此法引導學生解決物理問題，從特殊到一般，既歸納出兩角差的余弦公式，又體現出物理與數學的關系，利于提高學生研究問題、分析問題和解決問題的視野.

蘇東坡有詩云：橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同.同一個事物，從不同的角度看，所得到的表像是不一樣的.上面的思路源自于從數量關系、幾何直觀、面積關系、物理情景等多側面、多層次地觀察和分析，很難說那種方法是最好的，有時簡潔是最好的，有時在曲折中前進，學生歷經艱難反而體會更深.對教師來說，若能在教學時靈活選擇，因材施教，才能利于拓展學生的知識面，利于激發其探究興趣及學習數學的熱情.

3 從證明公式的策略上看數學文化的滲透

學習數學和研究數學令人最感到困惑也是最引人入勝的環節之一，就是如何發現定理及怎樣證明定理.公式的證明是本節課的重點，同時也是教學的一個難點，縱覽各方面信息發現，值得參考的策 略有：

方案1 歸納——猜想——驗證

為了利用向量法推導兩角差的余弦公式，教材的編寫順序都是“三角函數——平面向量——三角恒等變形”，這種以犧牲知識的系統性為代價割裂三角函數內容的方法是否值得？先將三角函數學完，再學習平面向量，而在平面向量的應用舉例中安排用向量方法探求“兩角差的余弦公式”，似乎也未降低向量的工具性價值.

G·波利亞在《數學與猜想》第二卷中指出：“教學必須為發明作準備，或至少給一點發明的嘗試.……，并向數學教師們呼吁：讓我們教猜想吧！”如在前面思路1，當驗證cos（α-β）=cosα-cosβ不一定成立后，繼續設置探究問題：很明顯cos（α-β）的值與α和β都有關，結合cos（ 90°-β）=sinβ=sin 90°sinβ，第二次猜想cos（α-β）=sinαsinβ;取α= 60°，β= 30°，知cos（ 60°- 30°）=cos 30°=? 3? 2 ，

sin 60°sin 30°=? 3? 2 × 1 2 ，在驗明猜想不正確的同時是否發現? 3? 2 × 1 2 是? 3? 2 的一半，進而有? 3? 2 = 1 2 ×? 3? 2 +? 3? 2 × 1 2 ，即cos（ 60°- 30°）=cos 60°cos 30°+sin 60°sin 30°，于是第三次猜想cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，此式對稱和諧，一般情況正確的可能性很大，然后取特殊角驗證，或用幾何畫板對任意角的情形進行直觀體驗，獲得學生的認可.

這種辦法在立體幾何初步中對線面平行和垂直的判定中多次運用，這里照辦應當沒有什么不妥.借助歸納推理可以培養學生預測結果和探究的能力，對培養創新人才，對學生適應社會能力都非常有利.合情推理也是《課標》倡導的方法，它從具體到一般，符合人們認識問題或事物，總是先認識某種特殊情形，然后過渡到對一般問題或事物的認識的習慣.方案2 幾何證法

除了以上思路2和思路3的方法外，最早的古埃及天文學家托勒密在三角函數弦表中的方法（如圖7），及公元3世紀亞力山大數學家帕普斯《數學匯編》中給出的證法（如圖8，OC=OE=1，CE切半圓O于點H）等 [2]，雖還需任意角的推廣，但都是很經典的方法.

不難發現，托勒密、帕普斯和人教A版（如圖9）的方法，只是形式上不同本質上并無差別.此方案通過適當的數學史和我國數學家的介紹拓寬了學生的視野，也加深了學生對數學研究的親近感，促進了數學文化的發展.

方案3 坐標法

如圖2所示的對稱構造法，由三角形全等得， P 1P 3 = P 2P 4 ，進而利用兩點間的距離公式推得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，最后用-β替換β得到差角公式.此法推導思路的產生是一個難點，且并沒有直接得到cos（α-）=cosαcosβ+sinαsinβ，另外對P 1、O、P 3及P 2、O、P 4在一條直線上時，還需特別說明.

相比之下，運用如圖3的旋轉構造，即人教B版中“探究”的方法，則更顯優越.

方案4 向量法

引進新的數學工具或知識是簡捷求解有關問題的途徑 [3].應用數量積推導余弦的差角公式無論是構造兩個角的差，還是得到兩個角的三角函數值都是容易實現的，難點在當α、β是任意角時公式的證明.可設向量 OP 1 與 OP 2 的夾角為θ，則當0≤α-β≤π時，α-β=θ;當π<α-β≤2π時，α-β=2π-θ.所以，不論α，β為何值，總存在m，n∈[WTHZ]Z，使α-β=2mπ+θ，或α-β=2nπ-θ.利用誘導公式，都有cos（α-β）=cosθ.

該方案通過向量的數量積的定義和坐標運算兩種形式求向量的數量積，將二者結合起來，這樣做既體現數量積的“形”“數”關系，又充分體現了向量在處理三角函數問題中的工具作用，并且還通過向量數量積的幾何意義為兩角差的余弦公式提供了幾何背景.遺憾的是對任意角時α-β與兩向量的夾角之間關系的探討較難，而沖淡了此法的優越性.

此外，學過余弦定理之后還可以用余弦定理推導，等等.總之，不論是歸納法、幾何法、解析法，還是向量法都是以數學對象的直觀表象透視其精確的數量關系，不同的推導方法體現出不同的數學特點，不同的巧妙構思得到相同的結果，都有助于培養學生的數學推理能力，也進一步體驗了數學的博大精深.

4 從應用公式的技巧上看數學文化的滲透

各版本在例題、練習和習題的配備上大同小異，概括起來有四類：

第一類，運用公式證明“ π 2 -α、π-α、 3π 2 -α”的誘導公式.它不僅是公式的直接運用，關鍵是讓學生體會這些誘導公式都是兩角差余弦公式的特例.

第二類，公式的正用.從求特殊角 15°、 75°的三角函數值，到條件求值 （已知兩角的正弦或余弦值，求兩角差的余弦值），雖是公式的簡單應用，但體現了數學語言的魅力，α、β可以是任意角，當然可以表示特殊角、體現了一般到特殊的思想.

第三類，公式的逆用.各版本不僅都有直觀結構型如“求sin 95°sin 35°+cos 95°cos 35°的值”的題目，也有需要湊配才能運用公式化簡或求最值的型如“f（x）= 3 cosx+sinx”的問題.這些對公式運用來說屬逆向思考，但對培養學生化歸轉化及開拓創新能力非常有益.

第四類，推導方法的運用.因為學生所學的知識可能會很快忘掉，但所學到的解決問題的方法卻會使學生受益終生.所以蘇教版布置探究拓展題：試用向量法直接推導兩角和的余弦公式.希望以此來突出向量的強大威力和培養類比方法解決問題的能力，值得提倡.

因為公式給出的是一種新的運算，對于這種新運算不僅要正用、還有逆用，甚至變用，關鍵是本節乃兩角和與差單元的第一課，所以本節的教學宜慢不宜快，要慢出內含、慢出意識、慢出素養、慢出效率 [4]，北師版那種全部給出兩角和與差的正余弦公式再應用的編寫方式，似乎欠妥.這就相當于懷里抱了一堆自己不甚了解的工具，干活時還要在工具堆里選用，這對于剛接觸這件事情的學生來說，相比先學好一個公式然后類比學習其它公式應當更符合學生的認知規律.

5 結束語

綜上可以看出，教材中處處存在數學文化，教學中處處可以滲透數學文化.我們教師在教學中缺乏對數學文化的滲透，其主要原因是對數學文化了解不深，不知或不會將其融入教學.如本課的教學還可以融入：公式的對稱美，公式的特征分析是攻克公式記憶的有效武器，總結為“酷酷+帥帥”;探究新知精神，要引導學生“大膽猜想，小心求證”，猜想可以，但不能想當然，要培養學生科學嚴謹的探究精神;養成反思的習慣，追尋公式推導的本質，不外乎是在熟練運用三角函數的定義的基礎上，對同一個量“算兩次”的技能;提煉思想方法，從貫穿始終的數形結合思想、特殊與一般的思想，到公式推導的分類與整合思想，及公式運用的模型化思想和轉化思想，無一不是數學知識的精髓.只有讓數學文化始終侵潤課堂，學生在數學的學習過程中才會充分體會到數學的本質，才能感受到數學是有趣的，數學是美麗的、是有用的，從而真正提升學生的數學素養.

參考文獻

[1] 何衛中.知識載體 能力立意[J].中學數學教學參考（上旬），2011（7）.

[2] 俞昕.從變換的角度賞析“兩角差的余弦公式”之推導[J].中學數學雜志，2015（3）.

[3] ?沈文選著.走進教育數學[M].北京：科學出版社，2016.11.

[4] 劉正章.致力教材的實用性 追求教學的高效率[J].中小學數學（高中版），2017（11）.