穩態流下非飽和土地基承載力模型

陳茜 程大偉

摘 要：基于穩態流下吸應力剖面具有明顯非線性的特點，在僅考慮豎向穩定滲流條件下，通過補充普朗德爾假定，利用剛體平衡方法，推導普朗德爾滑動面范圍內滑動土體穩態流下非飽和土地基的極限承載力計算模型，討論地下水埋深和比流量變化對地基極限承載力的影響。結果表明：穩態流下非飽和土地基的極限承載力公式考慮了滑動土體內吸應力非線性分布特點對地基極限承載力的影響;當土體內吸應力隨深度增加呈現出先增大后減小的特點時，地基極限承載力隨地下水位埋深減小呈先減后增的變化趨勢;當滑動土體內吸應力隨比流量的增大呈現先增后減的趨勢時，地基極限承載力呈現先減小再增大的變化趨勢。

關鍵詞： 穩態流;非飽和土;地基承載力;地下水

中圖分類號：TU431

?文獻標志碼：A? 文章編號：1674-4764（2018）06-0009-06

Bearing capacity model for? foundations of unsaturated soil

under steady flow condition???

Chen Xi1， Cheng Dawei2

（1.School of Civil Engineering and Architecture， Shaanxi University of Technology， Hanzhong 723001， Shaanxi，

P. R. China; 2.School of Environmental Science and Engineering;Key Laboratory of Subsurface Hydrology and

Ecological Effect in Arid Region of Ministry of Education， Chang'an University， Xi'an 710064，? P. R. China）

?Abstract：The suction stress profile is of? obvious nonlinear characteristics under steady flow condition. This study supplemented the Prandtl assumption under the condition of considering the single vertical seepage and deduced the calculation model of bearing capacity for foundation of? unsaturated soil under steady flow condition by means of rigid body balance method in the range of Prandtl sliding surface. It also discussed the influence of change of the groundwater and ratio flow on bearing capacity. The results show that the bearing capacity formula of unsaturated soil foundation under steady flow can take into account the influence of the nonlinear distribution of the soil suction stress; when suction stress increases firstly， and then decreases with the depth， the bearing capacity decreases first， and then increases as groundwater lever is lowered.

Keywords：steady state flow; unsaturated soil; foundation bearing capacity; groundwater

?地基承載力問題是土力學的經典問題之一[1-3] ，可用極限平衡法和極限分析法進行分析。作為典型公式的普朗德爾無重介質地基極限承載力公式，在建立地基極限承載力和滑動面的基本物理概念和分析途徑上具有重要作用。

巖土工程中所遇土體多為非飽和土，降雨或地下水位抬升往往引起土體內含水量和吸應力的變化[4-7] ，從而對非飽和土地基承載力產生影響。近年來，學者們通過試驗研究和理論分析對非飽和土地基極限承載力開展了大量研究。張常光等[8-9] 在對現有非飽和土抗剪強度進行拓展的基礎上研究了基質吸力均勻分布和線性分布下地基極限承載力和地基臨界荷載。李艷等[10] 以三剪統一強度準則及非飽和土雙應力狀態變量抗剪強度公式為基礎，推導了非飽和土條形地基太沙基極限承載力的計算公式。馬少坤等[11] 利用增量加載的有限元法，對比分析不同飽和度對剛性和柔性地基承載力的影響。孟長江等[12] 以Fredlund和包承綱非飽和土強度公式為基礎，分析了考慮常吸力條件下的非飽和土地基承載力。侯建軍等[13] 通過平板載荷試驗和靜力觸探，分析浸水前后黃土地基承載力損失規律。已有研究往往忽視了非飽和土中吸應力剖面非線性特點對地基承載力的影響，或者缺少關于吸應力剖面非線性特點對地基極限承載力影響的機理分析。

筆者擬在對普朗德爾基本假定進行補充的基礎上，推導穩態流下能夠考慮吸應力剖面影響的地基極限承載力公式，分析不同地下水位埋深和比流量對地基極限承載力的影響。

1 基本假設與模型

普朗德爾對飽和土地基利用極限平衡理論求解地基極限承載力時，采用3個假定進行簡化計算：地基為無重介質、基礎底面是完全光滑面、基礎埋深小于基礎寬度的淺基礎;將基底平面當成地基表面;滑動面只延伸到該假定地基表面。根據特征線法求解偏微分方程組，獲得了相應的地基極限承載力。當荷載達到極限荷載 p ?u時，地基內出現連續滑動面，滑動土體可分為Ⅰ區朗肯主動區、Ⅱ區過渡區和Ⅲ區朗肯被動區。滑動面的邊界線由Ⅰ區與水平面成± 45 °+ ?φ 2? ?滑動線，Ⅲ區與水平面成 ± 45 ° - φ 2? ?滑動線和連接Ⅰ區、Ⅲ區的對數螺旋線組成，如圖1所示。

文獻[14]基于普朗德爾假定及普朗德爾所確定 的滑動面形式，利用剛體平衡方法獲得了與普朗德爾地基極限承載力相同的解答。具體做法是，將地基中滑動土體沿Ⅰ區和Ⅲ區中線切開，如圖2所示，取土體 OCEGO 作為隔離體，利用靜力平衡，即對極點 A 的合力矩為零進行求解。其中， OA 邊為待求極限承載力 p ?u ， AG 邊為側荷載 q ， OC 邊為朗肯主動土壓力 p ?a ， GE 邊為朗肯被動土壓力 p ?p ，對于飽和土土壓力沿深度方向均勻分布（圖2中虛線所示）， CE 邊為粘聚力 c 及正壓力與摩擦力的合力為 R 。穩態流下非飽和土主動土壓力分布具有明顯的非線性分布特點[15] ，如圖2中實線所示。

為了便于將普朗德爾地基極限承載力公式拓展到穩態流下非飽和土地基承載力計算情形，作如下補充假定和修正假定：

1）地基土滑動面符合普朗德爾所確定的滑動面形式，可用剛體平衡方法求解。

2）對于非飽和土地基， AC 邊與水平面成± 45 ° + φ′ 2 ??，AE邊與水平面成± 45 ° - φ′ 2? ， CE 邊為對數螺旋線

r=r 0 e ψ tan ?φ′ ?（1）

式中： r 為對數螺旋線任意點到極點 A 的距離; r ?0為對數螺旋線初始半徑;ψ為射線 r 與 r 0 夾角;φ′為有效內摩擦角。

3）僅考慮豎向穩定滲流的影響，則 OC 邊為朗肯主動土壓力 p ?a -u ?a ?、 GE 邊為朗肯被動土壓力? p ?p -u ?a ?分別為[15]

p ?a -u ?a ?=p ?u K ?a -2c′ K ?a ?-

χ（u ?a -u ?w ）（1-K ?a ） （2）

p ?p -u ?a ?=qK ?p +2c′ K ?p ?+

χ（u ?a -u ?w ）（K ?p -1） （3）

式中：u ?a為孔隙氣壓力;K ?a為朗肯主動土壓力系數，K ?a = tan 2? π 4 - φ′ 2? ;c′為有效黏聚力;K ?p 為朗肯被動土壓力系數，K ?p = tan 2? π 4 + φ′ 2? ;χ（u ?a - u ?w ）為吸應力。

穩態滲流條件下吸應力χ（u ?a -u ?w ）的解析分布函數[15] 為

χ（u ?a -u ?w ）=-

1 α? ?ln ??1+ q k ?s ???e -αγ ?w z - q k ?s ????1+ - ln ??1+ q k ?s ???e -αγ ?w z - q k ?s ???n （n-1）[]n ???（4）

式中：α和 n 是Van Genuchten模型擬合參數; q 為比流量即降雨量或蒸發率; k ?s 為飽和滲透系數; γ ?w 為水的重度; z 為到地下水位處的距離。

4）滑動面 CE 邊為有效粘聚力c′及正壓力與摩擦力的合力R′，R′指向 A 點。

由于隔離體處于靜力平衡狀態，各邊界面上的作用力對極點 A 取矩，應滿足∑M A=0 （5）

其中，幾何關系為

OA 邊長度

OA ?= b 2? （6）

OC 邊長度

OC ?= b 2 ?tan ?45 ° + φ′ 2?? （7）

對數螺旋線初始半徑

r 0= b 2 cos ?45 ° + φ′ 2??? （8）

對數螺旋線終止半徑

r 1=r 0 e? π ?2 ?tan ?φ′ = b e π 2 ?tan ?φ′ ?2 cos ?45 ° + φ′ 2??? （9）

GE邊長度

GE ?=r 1 sin ?45 ° - φ′ 2? =

b e π 2 ?tan ?φ′ ?sin ?45 ° - φ′ 2?? 2 cos ?45 ° + φ′ 2?? = b 2 ?e π 2 ?tan ?φ′ ?（10）

AG 邊長度

AG ?=r 1 cos ?45 ° - φ′ 2? = b e π 2 ?tan ?φ′ ?cos ?45 ° - φ′ 2?? 2 cos ?45 ° + φ′ 2?? =

b 2 ?e π 2 ?tan ?φ′ ?tan ?45 ° + φ′ 2?? （11）

弧面 CE 邊上有效黏聚力對極點 A 產生的力矩M ?c ′ 可由式（12）求得。

M ?c ′ =∫ rc′ cos ?φ′ d s ??（12）

式中： d s= r d ψ ?cos ?φ′ ，代入式（12），可得

M ?c ′ =∫ ?π ?2 ?0c′r2 d ψ =c′r2 0 1 2 tan ?φ′ （ e π tan ?φ′ -1）=

c′? b 2 cos ?45 ° + φ′ 2??? 2 1 2 tan ?φ′ （ eπtan ?φ′ -1）=

1 8 b2c′ cot ?φ′ （ eπtan ?φ′ -1） ?cos 2 45 ° + φ′ 2??? （13）

AG 邊上側向荷載 q 對極點 A 產生的力矩M q為

M q=q AG ?2 2 = 1 8 qb2 eπtan ?φ′ ?tan 2 45°+ φ′ 2??? （14）

式中：側向荷載 q 可近似取q=γ ?d，γ ?為基礎埋深范圍內土層的平均重度。

OA 邊上地基極限承載力 p ?u 對極點 A 產生的力矩M ?pu 為

M ?pu ?=p ?u ?b2 8? （15）

OC 邊上朗肯主動土壓力 p ?a -u ?a ?對極點 A 產生的力矩 M ?pa 為

M ?pa ?=∫OC ???0 p ?a -u ?a ?l d l ?（16）

式中： l 為任意點處的力臂長度。為了便于求解穩態滲流條件下吸應力χ（u ?a -u ?w ）的解析分布函數，將式（16）轉化為對深度 z 積分，則有

M ?pa ?=∫H-d- b 2 ?tan ?45 ° + φ′ 2? ??H-d - p ?a -u ?a ?（H-d-z） d z=

b2 8? p ?u K ?a -2c′ K ?a ???tan 2 45 ° + φ′ 2? +

（1-K ?a ）∫H-d- b 2 ?tan ?45 ° + φ′ 2

H-d χ（u ?a -u ?w ）（H-d-z） d z ?（17）

式中： d 為基礎埋深; H 為地下水位埋深。

同理可得， GE 邊上朗肯被動土壓力 p ?p -u ?a ?對極點 A 產生的力矩M ?pp 為

M ?pp ?=∫GE ???0 p ?p -u ?a ?l d l=

∫H-d- b 2 ?eπ ?2 ?tan ?φ′? ?H-d - p ?p -u ?a ?（H-d-z） d z=

b2 8? qK ?p +2c′ K ?p ???e π tan ?φ′ -

（K ?p -1）∫

H-d- b 2 ?eπ ?2 ?tan ?φ′? ?H-d χ（u ?a -u ?w ）（H-d-z） d z ?（18）

式中：GE ?為 GE 邊長度。

將式（13）、（14）、（15）、（17）、（18）代入式（5）可得

M ?pu ?+M ?pa ?=M ?q +M ?pp ?+M ?c ′ ?（19）

整理并化簡，則有

p ?u =q eπtan ?φ′ ?tan 2 45 ° + φ′ 2? +

c′ cot ?φ′ ?eπtan ?φ′ ?tan 2 45 ° + φ′ 2? -1 + 4 b2 （K ?p -

1）∫

H-d

H-d- b 2 ?eπ ?2 ?tan ?φ′

χ（u ?a -u ?w ）（H-d-z） d z + 4 b2 （1-

K ?a ）∫H-d

H-d- b 2 ?tan ?45 ° + φ′ 2? ?χ（u ?a -u ?w ）（H-d-z） d z ?（20）

對比穩態滲流條件下非飽和土地基極限承載力式（20）與飽和土普朗德爾地基極限承載力公式可以發現，由于飽和土吸應力χ（u ?a -u ?w ）為0，式（20）能退化到與飽和土普朗德爾地基極限承載力公式完全相同的形式，表明建議的穩態滲流條件下非飽和土地基極限承載力具有合理性。

2 計算與分析

穩態流下非飽和土的吸應力垂直分布規律主要受比流量 q 、地下水位埋深 H 、滲透系數 k ?s ?、Van Genuchten模型擬合參數α ?v和 n 等因素控制。算例中取基礎寬度 b 為2 m，基礎埋深 d 為1.5 m，土的干重度γ ?d為14.7 kN/m3，有效內摩擦角φ′為20°，有效黏聚力c′為10 kPa，殘余含水量θ ?r為0.03，飽 和含水量θ ?s為0.2，飽和滲透系數 k ?s 為5×10-8 ?m/s， Van Genuchten模型擬合參數α ?v為0.04 kPa-1 和 n 為3，用于計算分析不同比流量 q 和地下水位埋深 H 對地基極限承載力的影響。

首先計算分析不同地下水位埋深 H 對地基極限承載力的影響。取比流量 q 為-5×10-9 ?m/s，負號表示入滲，地下水位埋深分別為3.6、4.6、5.6、7.6、8.6、9.6、10.0 m，則相應的地基極限承載力與地下水埋深關系如圖3所示。

圖3所示的地基極限承載力與地下水埋深關系表明，穩態流下非飽和土地基極限承載力隨地下水位埋深的減小呈先遞減再增大的變化趨勢。這主要是因為，在比流量 q 相同的穩態流情況下，地下水位的變化實質上使得滑動土體處于不同的吸應力剖面區段，而穩態流下吸應力剖面具有明顯的非線性特征。當地下水位埋深為10 m時，對于無粘性土、粉土以及粉質黏土，吸應力隨深度增加呈現出先增大至某個峰值然后減小的特點[15] ，可依次分為吸應力增大區段、吸應力峰值附近區段和吸應力減小區段。算例中地下水位埋深為10 m時吸應力剖面如圖4所示，圖中10 m處為地表。地下水位埋深減小，會使得滑動土體依次處于吸應力增大區段、吸應力峰值附近區段和吸應力減小區段，從而導致地基極限承載力隨地下水位埋深的減小呈先遞減再增大的變化趨勢。

在計算分析不同比流量 q 對地基極限承載力的影響時，取地下水位埋深為5.6 m，比流量 q 分別為-5×10-12 、-5×10-11 、-5×10-10 、-1×10-9 、-5× 10-9 、-1×10-8 、-2×10-8 ?m/s，則相應的地基極限承載力與比流量關系如圖5所示。

圖5所示的地基極限承載力與比流量關系表明，穩態流下非飽和土地基極限承載力隨比流量的增大呈先減小再增大的變化趨勢。這主要是由于比流量增大引起滑動土體所在范圍的吸應力呈現出非線性變化規律造成的。在算例中，不同比流量 q 條件下的吸應力剖面如圖6所示，地表位于5.6 m處，滑動土體的Ⅰ區在2.7～4.1 m區間，Ⅲ區在2.3～4.1 m區間。由圖6可見，在這兩個區間內吸應力均隨比流量的增大呈現出先增大后減小的趨勢，從而導致地基極限承載力隨比流量的增大呈先減小再增大的變化趨勢。

3 結論

基于普朗德爾確定的滑動面形式，通過對普朗德爾假定進行補充，利用剛體平衡方法推導了穩態流下非飽和土地基的極限承載力，并討論了地下水埋深和比流量變化對地基極限承載力的影響。

1）在僅考慮豎向穩定滲流條件下，引入非飽和土朗肯土壓力公式，利用靜力平衡條件，推導非飽和土地基的極限承載力公式;與普朗德爾公式相比，該公式考慮了滑動土體內吸應力對地基極限承載力的影響。

2）穩態流下吸應力剖面的非線性特征是導致非飽和土地基極限承載力隨地下水位埋深表現出非線性變化規律的重要因素;當土吸應力隨深度增加呈現出先增大后減小的特點時，相應的地基極限承載力表現出隨地下水位埋深的減小呈先遞減再增大的變化趨勢。

3）比流量增大引起滑動土體所在范圍的吸應力非線性變化的特點導致非飽和土地基極限承載力隨比流量變化亦表現出非線性變化趨勢;當滑動土體內吸應力隨比流量的增大呈現出先增大后減小的趨勢時，地基極限承載力隨比流量的增大呈先減小再增大的變化趨勢。

參考文獻：

[1] ???陳祖煜.土力學經典問題的極限分析上、下限解[J].巖土工程學報，2002，24（1）：1-11.

CHEN Z Y. Limit analysis for the classic problems of soil mechanics [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2002， 24（1）：1-11. （in Chinese）

[2] ?TANG ?Y， TAIEBAT H A， RUSSELL A R. Bearing capacity of shallow foundations in unsaturated soil considering hydraulic hysteresis and three drainage conditions [J]. International Journal of Geomechanics， 2017， 17（6）： 1-13.

[3] ?GHORBANI ?J， NAZEM M， CARTER J P. Numerical modelling of multiphase flow in unsaturated deforming porous media [J]. Computers and Geotechnics， 2016， 71： 195-206.

[4] ??付建新，譚玉葉，宋衛東.崩落法開采塌陷區上覆黃土層降雨入滲機理研究[J].中國礦業大學學報，2015，44（2）：349-352.

FU J X， TAN Y Y， SONG W D. Study on mechanism of rainfall infiltration through overlying loess formation on block caving collapse area [J]. Journal of China University of Mining & Technology， 2015， 44（2）： 349-352. （in Chinese）

[5] ?ZHANG ?Z Y， WANG W K， YEH T C J， et al. Finite analytic method based on mixed-form Richards' equation for simulating water flow in vadose zone [J]. Journal of Hydrology， 2016， 537： 146-156.

[6] ?ZHANG ?Z Y， WANG W K， CHEN L， et al. Finite analytic method for solving the unsaturated flow equation [J]. Vadose Zone Journal，2015，14（1）：1-10.

[7] ?PEDROSO ?D M， WILLIAMS D J. A novel approach for modelling soil-water characteristic curves with hysteresis [J]. Computers and Geotechnics， 2010， 37（3）： 374-380.

[8] ??張常光，范文，趙均海. 非飽和土強度統一解及地基承載力的拓展研究[J]. 中國礦業大學學報，2016，45（5）：937-943.

ZHANG C G， FAN W， ZHAO J H. Developments of unified solution of strength and bearing capacity of foundation in unsaturated soils [J]. Journal of China University of Mining & Technology， 2016， 45（5）： 937-943. （in Chinese）

[9] ??張常光，范文，趙均海，等. 線性吸力下非飽和土地基臨界荷載統一解[J]. 中南大學學報（自然科學版），2016， 47（12）： 4190-4197.

ZHANG C G， FAN W， ZHAO J H， et al. Unified solution of critical load for foundation in unsaturated soils under linear suction [J]. Journal of Central South University （Science and Technology）， 2016， 47（12）： 4190-4197. （in Chinese）

[10] ??李艷，趙均海，張常光. 非飽和土條形地基太沙基極限承載力三剪統一解[J].巖土力學，2015，36（11）：3128-3134.

LI Y， ZHAO J H， ZHANG C G. Triple-shear unified solution of terzaghi's ultimate bearing capacity for unsaturated soil foundation [J]. Rock and Soil Mechanics， 2015， 36（11）： 3128-3134. （in Chinese）

[11] ??馬少坤， 扈萍， 秦會來. 剛柔性條形基礎下非飽和土地基的承載特性[J]. 廣西大學學報（自然科學版），2010，35（4）：649-654.

MA S K， HU P， QIN H L. Bearing capacity research on unsaturated subsoil under flexible and rigid shallow foundations [J]. Journal of Guangxi University （Natural Science Edition）， 2010， 35（4）： 649-654. （in Chinese）

[12] ??孟長江. 考慮吸力的非飽和黏性土地基承載力分析[J].路基工程，2009（5）：141-142.

MENG C J. The foundation bearing capacity of unsaturated cohesive soil considered suction stress [J]. Subgrade Engineering，2009（5）：141-142.（in Chinese）

[13] ??侯建軍，劉利星，趙天宇.非飽和原狀黃土浸水前后地基承載力測試研究[J].工程勘察，2017（3）：6-12.

HOU J J， LIU L X， ZHAO T Y. Research on subgrade bearing capacity for unsaturated intact loess before and after immersion [J]. Geotechnical Investigation & Surveying， 2017（3）： 6-12. （in Chinese）

[14] ??李廣信，張丙印，于玉貞.土力學[M].北京：清華大學出版社，2014： 228-239.

LI G X， ZHANG B Y， YU Y Z. Soil mechanics [M]. Beijing： Tsinghua University Press， 2014： 228-239. （in Chinese）

[15] ?LU ?N， LIKOS W J. Unsaturated soil mechanics [M]. New York： John Wiley & Sons， 2004.