基于認知負荷理論的“基本不等式”教學設計

曾萍 邵婧怡

【摘 要】 ?根據認知負荷理論，在教學設計方面，恰當的教學設計可以改變外在認知負荷和相關認知負荷.以《基本不等式》為例，分析當前教學中存在的一些“不自然”環節，據此基于認知負荷理論、結合AMA軟件及幾何畫板等信息技術優化基本不等式的教學設計，進而減輕學生的認知負荷，為教師進行教學設計提供參考.

【關鍵詞】 ?認知負荷;基本不等式;AMA軟件;教學設計

1 研究背景

基本不等式 ab ≤ a+b 2 （a≥0，b≥0）是高中數學中最重要的不等式 [1]，已有資料顯示，基本不等式大約有29 種證明方法，在高中階段有 8 種常見變式，其中人教版、蘇教版、北師大版教材分別采用弦圖、天平、代數三種引入方式 [2-4].以人教版為例，基本不等式是人教版數學必修的內容，從學生所熟悉的趙爽弦圖進行引入，由趙爽弦圖抽象得出重要不等式a2+b2≥2ab（a，b∈R），通過替換得到基本不等式，再由代數法證明基本不等式，在課外探究中附以幾何法.但在實踐教學中，上述過程存在一些“不自然”的環節：首先，由弦圖抽象出重要不等式時，等號成立的條件“當且僅當a=b時，等號成立”不易從弦圖直接看出，學生未深入理解，從而導致學生在解題中條件缺失;其次， a 、 b 替換a、b，學生是很難直接理解這種替換的，但是這恰恰是基本不等式的本質體現，即兩個正數通過基本運算所產生的大小變化 [5];最后，在教學中，基本不等式的證明方法單一，比如只講解代數法這一種證明方法，或者是在講解代數法與幾何法兩種證明方法時，并沒有講證明方法之間的關系，沒有拓展其他證明方法 [6].導致學生并沒有從多種視角理解基本不等式，僅是機械記憶.在教學中，如何設計才能使學生體驗到基本不等式發現與創造的過程，并激發學生學習基本不等式的熱情，擴展視野，理解基本不等式的本質，這一問題具有十分重要的意義.

認知負荷理論，是由澳大利亞認知心理學家斯韋勒（Sweller）提出，是指在完成任務過程中工作記憶系統需要進行加工與保持的信息總量 [7-8]，并提出由教學設計（如材料呈現方式和要求學生從事的活動）引起的工作記憶負荷稱為外在認知負荷（extraneous cognitive load）.內在負荷不能通過教學設計加以改變 .而外在負荷是可以通過改變材料呈現方式或學習者的活動來改變.

因此，這里將基于認知負荷理論設計基本不等式教學，就如何讓學生充分經歷公式提煉概括過程，領會基本不等式的實質做進一步的探究.

2 基本不等式教學設計

2017年版課標中對于不等式的內容安排，主要分為兩個部分：第一部分在必修課程中主題一預備知識部分：掌握描述不等關系的數學方法、不等式的基本性質，并要以此建立三個不等關系的模型：一元二次不等式、二元一次不等式（組）和基本不等式，及簡單應用;第二部分在選擇性必修課程中主題一函數部分：一方面，用導數研究函數的單調性和解函數的極值與最值問題，從而研究不等式的性質，另一方面，利用不等式刻畫函數性質 [5].

其中，“基本不等式”是人教版高中數學的必修內容，在此章節中，首先以2002年北京市召開的第24屆國際數學大會會標作為問題背景進行引入（見圖1），提出“你能在這個圖形中找出相等關系或不等關系嗎？”，接著通過互動抽象概括，提煉出重要不等式a2+b2≥2ab（a，b∈R）并給予幾何解釋，其次進行演繹替換得到基本不等式，然后通過代數證明、與探究部分中的幾何證明引導學生認識基本不等式，最后通過實際應用加以鞏固.從認知負荷理論視角分析，此過程存在如下問題：第一，用弦圖表示重要不等式的等號成立的條件（當且僅當a=b時，等號成立）不易直接從弦圖看出，不易理解;第二，以 a 、 b 替換a、b得出基本不等式的過程不自然;第三，基本不等式證明方法單一，未將代數與幾何相 聯系.

臺灣交通大學陳明璋教授及其團隊，基于多媒體學習認知理論和認知負荷理論，研發的Activate Mind and Attention 軟件（簡稱 AMA），有強大的激發式動態呈現功能和圖形繪制功能，彌補了PPT 的部分功能不足，這里將基于AMA軟件并結合認知負荷理論對“基本不等式”教學設計進行優化 [9].

2.1 創設趙爽弦圖情境，提煉數學模型

基本不等式的提煉方法，是由趙爽弦圖抽象出重要不等式，進而替換得到基本不等式的過程.具體課件設計如下：

環節1：由趙爽弦圖抽象出重要不等式a2+b2≥2ab（a、b∈R）.

第1步：畫出一直角三角形，直角邊分別為a、b（如圖2①）.

第2步：把此直角三角形利用AMA軟件中Clone（復制）功能，得到四個直角三角形（如圖2②），并對復制的三角形進行步驟化移動、翻轉，得到趙爽弦圖，為了避免字母對視覺的干擾，把字母去掉，僅保留一個直接三角形的三邊長（如圖2③），其邊長分別為a、b、 a2+b2 .

第3步：把移動后大正方形中的四個三角形用陰影標記，并在交點處用英文符號加以標記（如圖2④）.

第4步：教師引導學生得出大正方形面積a2+b2，四個直角三角形面積2ab，并且a2+b2>2ab.

第5步：將G、F、H、E收縮為一個點（如圖2⑤），進一步展示取等號的條件，即a=b時 a 2+ b 2=2ab，從而得出結論： a 2+ b 2≥2ab（當且僅當a=b時取等號）此為重要不等式.

設計意圖：由趙爽弦圖抽象出重要不等式，這一引入以學生的“最近發展區”為起點（學生在初中接觸過趙爽弦圖，即用趙爽弦圖證明勾股定理等），考慮新舊知識的聯系，增加相關認知負荷，促進學生接受新知，同時讓學生感受到“由形到數”的數學思想，同時在圖形的形成過程中，采用步驟化呈現的方式，以一個直角三角形復制形成四個直角三角形，便于學生在記得原來圖形大小與形狀的基礎上，對圖形信息進一步加工處理，即四個直角三角形是全等三角形，便于后面的計算，減少學生對圖形進一步加工處理的外在認知負荷;在第三步中使用陰影顏色對圖形進行標記，有層次地突顯教學內容主體，即四個小三角形的面積，能有效地引起學生的注意，提高學生學習效率;在第五步中，改變過去教學中直接敘述等號成立條件的方式，通過在原圖形上進行動態的拉縮，可以更加清晰地突出邊與邊之間的關系，并且減少視覺對圖形位置改變的處理，減少注意力的分散.

環節2：替換提煉基本不等式

問題1：通過趙爽弦圖，我們層層遞進，得到了重要不等式a2+b2≥2ab（a、b∈R），你能否用文字語言敘述一下這個不等式所反映出的規律？

引導學生注意是兩個非負數的和與一個乘積的大小關系，進而得出兩個非負數的和不小于它們平方根的乘積.

問題2：用簡練的a、b表示上述兩個非負數，可以得出什么關系式？

從而引導學生，當a≥0，b≥0時通過替換得到不等式a+b≥2 ab ，對此不等式進行簡單變形，就得到了要學習的基本不等式： ab ≤ a+b 2 （a≥0，b≥0） .

問題3：為什么稱 ab ≤ a+b 2 （a≥0，b≥0）為基本不等式呢？

從“數及其運算”的角度看， a+b 2 為兩個正數的平均數， ab 為兩個非負數的幾何平均數，兩個正數通過四種運算（加法、乘法、除法和開方），催生出它們的算術平均數與幾何平均數的內在規律.因而，基本不等式涉及到代數與幾何中的“基本量”，這一形式與重要的數學概念和性質相關.不僅體現出基礎知識的聯系，而且表述形式相當簡潔.

設計意圖：通過遞進式的課堂提問，就一個問題由淺到深的探討，根據問題效應表明，每一步給出足夠而又不超載的信息幫助學生逐步解決問題， “讓問題處于學生思維水平的最近發展區”，添設思維階梯，可以降低學生對新舊問題的整合，降低外在認知負荷，并深化學生對基本不等式的進一步思考.

2.2 拓展幾何與函數證明方法，體驗邏輯思維

教材中給出了詳細的代數證明法的步驟，但是對于幾何法是作為探究給出，未給予詳細介紹，在實踐教學中，不少教師將其一提而過，在此拓展多種視角幫助學生理解基本不等式.

幾何視角：直角三角形斜邊上的高不大于中線的模型.

第1步：在淡化顏色的正方形網格里，采用作圓的方式，構造出線段AB，長度為a+b;并在其上取一點D，使得AD=a，DB=b;再以線段AB為直徑作⊙O;過點D作線段AB的垂線，交⊙O于點C，得Rt△ABC（如圖3），連接CD、CO（如圖4）.

第2步：為了突出呈現想要比較的線段大小，采用①②將線段標出，以①代替CD，以②代替CO，得出①<②.（如圖5）

第3步，在原圖上拖動D點與O點重合，直接觀察可得出當且僅當a=b時①=②（如圖6）.

設計意圖：人的短時記憶是7±2個組塊，因而設計8×8的正方形網格，為幾何直觀提供載體，有利于學生度量線段長度 [13].線段長度在形式上采用①②代替大寫字母標記線段與數學式子標記線段的方式，避免了學生在觀察圖形的過程中需保持文字、符號相一致而引起的認知負荷量增大，并且采用步驟化呈現，從而可以減輕外在認知負荷，增大學習 效率.

函數視角：基本不等式本質上是函數凹凸性的反映.

如果函數f（x）是下凸函數，則有f（x）+f（y）≥2f（ x+y 2 ）成立.比如構造函數f（x）=ex，因為f（x）是下凸函數，所以ex+ey≥2e ?x+y 2 ，由a>0，b>0，可令a=ex，b=ey，a+b≥2 ab ， a+b 2 ≥ ab .

如圖7在圖形上任取兩點A、B，得到E（ ?xA+ xB 2 ， ?yA+ yB 2 ），觀察圖形可得出結論.

設計意圖：除教材中給予的代數視角，拓展幾何與函數視角證明基本不等式，引申拓展多個視角分析，不僅拓展視野，而且考慮學生抽象思維發展水平的差異性，學習者具有不同的心理特征，根據其最近發展區，個性化成為有用的減少認知負荷的設計方法，利于每個學生深入理解基本不等式.

3 “基本不等式”課件中體現的設計策略

3.1 考慮新舊知識聯系

根據認知負荷的相鄰性原則，即在時間或空間上呈現意義相鄰的內容，以增加相關認知負荷，提高教學效率.

在基本不等式這節課的教學中， 由趙爽弦圖抽象出重要不等式，這一引入從學生的“最近發展區”出發 [10]，因為學生在初中已經接觸過趙爽弦圖，即利用趙爽弦圖證明勾股定理等，考慮到新舊知識的聯系，增加了相關認知負荷，有助于學生對知識的同化與順應，構建知識系統.

3.2 步驟化呈現

利用課件對教學內容進行步驟化呈現，體現認知負荷的分割原則 [11]，現在教學中，教師往往直接呈現一個完整圖形，缺少步驟化，使學生不能很好地理解圖形形成過程從而不能深入理解問題.

在基本不等式課件設計中，圖形采用步驟化呈現，通過一步步地呈現圖形形成過程中變量與不變量的關系，有助于學生抽象概括得出基本不等式的本質，減少外在認知負荷.3.3 問題引導

在教學過程中注重問題的引導，用簡練的語言呈現教學內容，減少冗余，并通過聽覺與視覺的多通道原則 [12]，有效減少視覺或聽覺單一通道加工信息的認知負荷.

在提煉概括得出基本不等式這一環節上體現出此原則，遞進式的問題提問，注重語言引導與多媒體展現，減少學生外在認知負荷，啟發學生進一步思考，建構合理的知識體系.3.4 關聯信息捆綁

根據分散注意效應這一原則，如果認知任務中含有兩種或多種分散的信息源的時候，認知主體在進行加工處理時，必需將注意力分散、搜索、整合各種源的關聯信息，進而產生了較大的認知負荷，因而，基于分散注意效應原則 [11]，在進行教學設計時，盡量做到使其在空間上接近，時間上同步.

由趙爽弦圖得出重要不等式及基本不等式證明的作圖過程中，將數學表達式列于圖上，使學生同時同步關注，減少注意的分散，減少認知負荷，提高學習效率.3.5 運用符號標記

在課件設計時運用符號標記，體現容量有限假設，即工作記憶中保持、操作圖片與文字的容量是有限的，因而，在課件設計中盡量簡潔有條理，用簡練的數字代表字母標記的線段或者數學公式，并在需要強調的文字部分用鮮明的顏色，在需要強調的圖形部分，用紅色或綠色箭頭加以標記.

在基本不等式的課件設計中，圖形中需要強調的部分用陰影進行填涂，減少冗余信息的干擾，減少外在認知負荷，促進學生對信息的加工與處理，提高教學效率.

參考文獻

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