高中數學立體幾何教材難度的比較

陳小艷 周思波

【摘 要】 ?教材難度是衡量是否造成學生學業負擔過重的重要指標，對教材質量的評價起著至關重要的作用，在數學中更為明顯.將目前已有的刻畫數學教材難度的模型直接用于高中數學教材立體幾何部分難度的比較略顯粗糙，缺乏針對性，因此需要對現有模型進行改進.首先分析已有的課程難度模型，然后進行優化和調整，建立一套刻畫高中教材難度的量化模型，并將其應用于人教A版和北師大版立體幾何部分的比較，驗證了這一模型的可行性.

【關鍵詞】 ?綜合難度;廣度;深度;教材

1? 前言

數學教材作為重要的數學課程資源，是輔助教師教學的最好依據，也是幫助學生學習的最經濟實效的材料，因此一本好的數學教材對教師和學生必不可少.教材難度是衡量教材質量的至關重要的因素，鮑建生教授構建了一個比較數學題難度的綜合難度模型 [1]，但影響數學教材難度的因素還有課程內容的廣度、深度以及內容的組織呈現方式等.因此本研究基于這一模型，再在宋乃慶 [2]、史寧中 [3]、鄒宏運 [4]等人建立的難度模型的基礎上進行優化與調整，建立起一套適用于刻畫高中數學教材難度的量化模型，希望能為教師選擇教材提供依據，同時為教材編寫人員提供實質性的建議.

2?? 綜合難度模型的建構

2.1 教材難度測量維度

教材難度主要指教材呈現內容的難度，包括知識點、例題、習題以及探究思考題.通過對已有的課程難度模型的分析，發現影響教材難度的因素主要有：內容廣度、內容深度、內容的呈現方式、課程時間、例題難度、習題難度等.

由于本研究只考慮教材本身的絕對難度，不關注教材與學生學習之間的相互影響，因此對課程時間這一難度因素暫不做考慮.此外，與小學教材相比，高中教材呈現方式更為單一，因此內容的呈現方式對教材難度的影響較小，也暫略去.筆者將從剩下的四個難度影響因素著手，并將其分為兩個維度：內容難度和數學題難度.內容難度包括內容的廣度和內容的深度;數學題則包含例題和習題.

2.1.1 內容的廣度

內容的廣度指的是課程內容所涉及到的領域和范圍的廣泛度，可以直接統計知識點的個數.需要指出的是，為了減少誤差，這里只計算教材用特殊標記標明的知識點個數.

2.1.2 內容的深度

內容的深度是指對教材呈現的知識的要求水平，其抽象性決定了這一維度極難量化，這里我們根據范希爾的幾何思維水平來對內容的深度進行刻畫，具體如下 [5]：

水平0：直觀感受.對幾何圖形的整體感知，不要求認識到其中的組成部分，即只停留在表面、直觀.對處于這一水平的內容賦值為1;

水平1：分析水平.教材要求能夠辨認或者通過構成要素之間的關系來識別圖形，能利用這些特性解決幾何問題，但不要求解釋性質間的關系，對圖形的定義也不做要求.對這一水平的內容賦值為2;

水平2：非形式演繹.教材要求能邏輯地組織概念和圖形所具有的性質，并能進行一步的演繹推理，但不要求能由不熟悉的前提去證明結果的成立，也不要求建立定理網絡之間的內在關系.處于這一水平的內容賦值為3;

水平3：形式演繹.對公理化系統中的未定義項、定義、公理、定理作出明確區分，并能作出一系列命題以對作為“已知條件”的邏輯結論的某個命題進行證明;但這時推理的對象還只是圖形性質之間的關系，而并非不同演繹系統之間的關系.這一水平的內容賦值為4;

水平4：嚴密性.要求在不同的公理系統下嚴謹地建立公理，以分析比較不同的幾何系統，如歐式幾何與非歐幾何的比較.將這一水平的內容賦值為5.

最后再采用所有知識點的深度取值加權平均來刻畫內容的深度，也即“平均內容深度”.

2.1.3 例題和習題難度

研究數學題難度的量化模型多是在鮑建生的數學課程綜合難度模型上進行改進的，因此本研究直接采用鮑建生的數學課程綜合難度模型來刻畫例題和習題的難度.鮑建生將影響數學題的難度因素分為五個，分別是：探究、背景、運算、推理以及知識含量.然后將這些因素分為不同的水平，相應的水平賦于相應的權值，再用加權平均的方法對每個影響數學題難度的因素進行量化，具體難度因素的水平及賦值如下表：

2.2 教材難度計算方法

基于以上對影響教材難度的各個維度的分析，建立如下量化模型來刻畫教材難度.首先，使用加權平均計算教材難度：N=αC+（1-α）Q.

其中，α表示教材內容對教材難度的影響程度，滿足0<α<1.N指高中數學教材的難度，C指教材內容難度，Q則是數學題目（包括例題和習題）的難度.

由于數學課程的難度水平在很大程度上是由其包含的數學題所確定的 [1]，再根據宋乃慶等人給出的數學教材難度模型，教材難度分為內容難度、例題難度和習題難度，這三個維度的權值分別為0.3、 0.36、0.34，所以可以得到內容難度所占的權值應為0.3，即α的取值為 0.3.

其次，內容難度也可采用加權平均來進行量化，即：

C=βG+（1-β）S.

其中，β表示內容廣度對整個內容難度的影響程度，范圍是0<β<1.G表示內容的廣度，S表示內容的深度.對于β的具體取值，專門有文獻對其分析，許多一線教師和專家也有過探討.本研究參照的是宋乃慶等人給出的模型，由于其將內容難度分為了內容多少、內容的要求和內容呈現方式，分別取的權值是0.45、0.32、0.23.因為本研究沒有考慮內容的呈現方式，所以將內容的呈現方式所占的權值均分到內容多少以及內容的要求，分別對應本研究中的內容的廣度和內容的深度這兩個維度中，所以最終內容的廣度所占的比值是0.565，也即β=0.565.

最后是數學題難度的計算方法，量化公式為：

Q=γW+（1-γ）E.

其中，γ表示例題難度對數學題難度的影響程度，取值范圍是（0，1）.由于例題與習題難度的計算方法一致，都是采用鮑建生所建立的綜合難度模型中采用的方法，且兩者對數學題難度的影響程度接近，所以取γ=0.5.

由于例題與習題難度的計算方法一致，所以接下來只需考慮例題的計算方法即可.具體如下：

W=∑ 5 ?i=1 λ iw i.

其中λ i（i=1，2，3，4，5）分別表示為探究、背景、運算、推理、知識含量這5個難度因素對例題難度的影響系數，滿足∑ 5 ?i=1 λ i=1.考慮到5個難度因素對例題難度的影響相當，所以取λ i=0.2（i=1，2，3，4，5）.w i（i=1，2，3，4，5）依次表示探究、背景、運算、推理和知識含量五個難度因素上的取值，具體計算方法為：

w i= ∑ j nijwij n （∑ j nij=n;i=1，2，3，4，5;j=1，2，…）.

wij表示第i個難度因素的第j個水平的權重（依水平分別取1，2，3，…），nij則是一組題目中屬于第i個難度因素的第j個水平的題目的個數，和為該組題目的總數n.習題難度的計算方法類似，只需將w替換為e即可.

綜上，本研究建立的刻畫高中數學教材難度的模型為：

N=αC+（1-α）Q;C=βG+（1-β）S，Q=γW+（1-γ）E;

W=∑ 5 ?i=1 λ iw i，E=∑ 5 ?i=1 λ ie i;

w i= ∑ j nijwij n （∑ j nij=n;i=1，2，3，4，5;j=1，2，…），

e i= ∑ j nijeij n （∑ j nij=n;i=1，2，3，4，5;j=1，2，…）.

其中影響系數α，β，γ以及λ i（i=1，2，3，4，5）的取值分別為0.3，0.565，0.5，0.2.

3 ?人教A版與北師大版立體幾何的綜合難度比較

人教A版的立體幾何包括必修2中第一章的空間幾何體和第二章的點、直線、平面之間的位置關系，北師大版立體幾何部分則指必修2中第一章的立體幾何初步，本研究基于以上刻畫高中數學教材難度的模型，對人教A版與北師大這兩個教材版本中的立體幾何部分作一個對比分析.

3.1 內容難度的比較3.1.1 內容廣度的比較

人教A版的立體幾何部分包含的知識點個數是49個，北師大版包含47個，因此人教A版和北師大版的內容廣度取值分別為49和47，人教A版在立體幾何這一部分的內容廣度要稍高于北師大版.

3.1.2 內容深度的比較

人教A版和北師大版教材中立體幾何部分的知識點所要求的幾何思維水平具體分布如下表：

經過計算，人教A版和北師大版的平均內容深度取值分別為102和100，因此這兩個教材版本立體幾何部分的內容難度如下表：

3.2 數學題難度的比較

人教A版教材的立體幾何部分的數學題包含例題20個，課后練習題39個，A組習題61個，B組習題25個;而北師大版則有27個例題，46個課后練習題，57個A組習題和22個B組習題，還包括2個C組的習題.將這些題目分為例題和習題（包括練習題和習題）分別進行比較.

3.2.1 例題難度的比較

通過以上表格的分析，最終使用加權平均得到人教A版和北師大版兩版教材的習題難度分別為 1.630和1.542.

3.2.2 習題難度的比較

采用與例題難度比較類似的方法比較兩個教材版本習題難度，具體分析如下表：

最終得到人教A版和北師大版教材的習題難度分別為1.768和1.7904.

最后，對內容難度和數學題難度分別賦權值0.3和0.7，得到人教A版立體幾何部分整體的教材難度為22.8541，而北師大版則為22.2698.

4 ?討論

基于以上的研究分析，人教A版與北師大版教材在立體幾何這一部分的整體難度相當，雖然人教A版的難度高于北師大版，但差異值僅為0.6，這符合我國教育所提倡的“一標多本”的實際，也說明本文所建立的量化模型用于刻畫高中數學教材中立體幾何部分的難度是可行的.

但由于范希爾的幾何思維水平層次還未推廣到代數部分，所以文中所建立的教材難度的量化模型僅僅適用于幾何部分的比較.同時影響教材難度的因素也不僅僅局限于以上幾種，因此對于教材難度的刻畫還有待于進一步深入研究.

參考文獻

[1] 鮑建生.中英兩國初中數學期望課程綜合難度的比較[J].全球教育展望，2002（09）：48-52.

[2] 蔡慶有，鄺孔秀，宋乃慶.小學數學教材難度模型研究[J].教育學報，2013（05）：97-105.

[3] 郭民，史寧中.中英兩國高中數學教材函數部分課程難度的比較研究[J].外國中小學教育，2013（07）：55-59.

[4] 鄒宏運.國內高中數學教材圓錐曲線部分難度比較研究——以“人教版”和“北師大版”為例[A].全國數學教育研究會.全國數學教育研究會2012年國際學術年會論文集[C].全國數學教育研究會：2012：20.

[5] 鮑建生，周超主編.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.10.