編擬數(shù)學(xué)試題的兩個(gè)科學(xué)性原則

張國(guó)治 吳夢(mèng)璇

數(shù)學(xué)試題的編擬是教師創(chuàng)造性教學(xué)活動(dòng)的基本功.筆者認(rèn)為首先應(yīng)遵循科學(xué)性原則，所謂科學(xué)性原則指有關(guān)數(shù)學(xué)概念必須是被定義的，有關(guān)的記號(hào)必須是被闡明的，條件必須是充分的、不矛盾的，條件必須是獨(dú)立的、最少的，敘述必須是清楚的，要求必須是可行的 [1].本文僅談?wù)勅晥D還原幾何體時(shí)試題編制中應(yīng)該注意的兩個(gè)科學(xué)性原則.不當(dāng)之處敬請(qǐng)批評(píng)指正.

1 試題條件的充分性

試題條件的充分性指試題編擬過(guò)程中題目的條件對(duì)于推出結(jié)論是充分的，而有些條件不充分的題目，之所以存在，是由于解題時(shí)有心理上的“潛在假設(shè)”，或邏輯上的“以偏概全” [2].

例1（1） （2010年福建高考題文科第3題）若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖1所示，其 側(cè)面積 等于

（2）（2010年福建高考題理科第12題）若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖1所示，則其 表面積 等于[CD#3].

解析 高考標(biāo)準(zhǔn)答案分別是選D和6+ 2[KF（]3[KF）].此題命題者在編擬試題時(shí)有心理上的“潛在假設(shè)”，即認(rèn)為是直三棱柱，但題設(shè)條件是不能確定一定是直三棱柱.事實(shí)上，只給出主視圖為矩形的三棱柱并不唯一，其左視圖可能是平行四邊形，未必一定是矩形;同樣底面是正三角形的三棱柱其俯視圖未必一定是正三角形.即符合題意的三棱柱可能是斜三棱柱（無(wú)數(shù)個(gè)），這樣其側(cè)面積或者表面積不是一個(gè)確定的常數(shù).故此題的答案并不唯一.

試題的修正

（1）若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖1所示，則其 體積 等于[CD#3].

或給出俯視圖或者側(cè)視圖修正如下：

（2）若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖1所示，其俯視圖正三角形.則其 表面積 等于.

例2 （2012年福建高考題理科第4題）一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可能是（? ）.

A.球??? B.三棱錐

C.正方體? D.圓柱

解析 高考標(biāo)準(zhǔn)答案是選D.

題目編制者設(shè)置選項(xiàng)時(shí)認(rèn)為：球的三視圖均為圓，且大小均等;三條側(cè)棱兩兩垂直且相等的適當(dāng)高度的正三棱錐，其一側(cè)面放到平面上，其三視圖均為三角形且形狀都相同;正方體的三視圖可以是三個(gè)大小均等的正方形;圓柱的三視圖中必有一個(gè)為圓，其他兩個(gè)為矩形.故選D.事實(shí)上，此題命題者在編擬試題時(shí)有心理上的“潛在假設(shè)”，即認(rèn)為圓柱按水平或豎直放置時(shí)，圓柱的三視圖中必有一個(gè)為圓，其他兩個(gè)為矩形，顯然不相等.但若適當(dāng)改變放置角度，情況也許會(huì)有不同，如若將圓柱“嵌套”于正方體中，使得圓柱旋轉(zhuǎn)軸所在直線與正方體的一條對(duì)角線重合（如圖2）.這時(shí)，不難得到圓柱三視圖形狀都相同、大小均相等.

因此，此題為一錯(cuò)題，答案的設(shè)置上欠嚴(yán)謹(jǐn).

2 ??試題答案的確定性

試題答案的確定性是指試題編擬過(guò)程中數(shù)學(xué)試題答案是可知的、確定的，不會(huì)出現(xiàn)模棱兩可的情況.

例3 （“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽.全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題·培訓(xùn)題·解答（高中）[M].氣象出版社2016（10）P36第29題） [3]

一個(gè)幾何體的三視圖如圖3所示，其體積是（? ）.

解析 該資料提供的答案是C.如圖4，此幾何體是正四面體如圖5，其四個(gè)頂點(diǎn)分別是正方體的頂點(diǎn).所以其體積為

1×1×1-4× 1 3 × 1 2 ×1×1×1= 1 3 ，故選C.

解答錯(cuò)了，錯(cuò)在哪里？

上述題目及解答似乎無(wú)懈可擊，但卻犯了一個(gè)致命的錯(cuò)誤即解答并非等價(jià)轉(zhuǎn)化，解答者在解答時(shí)有心理上的“潛在假設(shè)”.實(shí)際上本題轉(zhuǎn)化并不等價(jià)，即不同幾何體的三視圖可以相同，但某個(gè)幾何體一旦被確定以后，其對(duì)應(yīng)的三視圖必是唯一的，反之，同一三視圖可能對(duì)應(yīng)多個(gè)幾何體 [4].

正確解答：（具體操作策略詳見(jiàn)文[4]）

Step1畫 ?根據(jù)三視圖畫出對(duì)應(yīng)的正方體（如圖4）;

Step2垂 ?根據(jù)正視圖中各線條的交點(diǎn)在正方體的后“面”找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，然后從后向前垂直拉伸;根據(jù)俯視圖中各線條的交點(diǎn)在正方體的下“面”找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，然后從下向上垂直拉伸;根據(jù)側(cè)視圖中各線條的交點(diǎn)在正方體的右“面”找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，然后從右向左垂直拉伸（如圖4）;

Step3選 ?由圖可知，點(diǎn)A，B，C，D，A′，B′，C′，D′為“可疑點(diǎn)”（如圖4）， 題設(shè)中正視圖、側(cè)視圖、俯視圖內(nèi)框中有虛線和實(shí)線，故必分別出現(xiàn)在正方體的后面和前面、右面和左面、下面和上面.因此連結(jié)CD′，AB′;AD′，B′C;AC，B′D′（如圖4），這樣點(diǎn)A，B′，C，D′處均有6條線段，而A，B，C′，D處均有3條線段，這樣頂點(diǎn)A，B，C′，D可以被剔除;

Step4連 ?若全部剔除，將其余“最優(yōu)點(diǎn)”A，B′，C，D′連線并隱去所有的輔助線條即可得到還原的幾何體（如圖5）;若剔除A，B，C′，D中的三個(gè)，而只保留其中一個(gè)，將其余“最優(yōu)點(diǎn)”連線并隱去所有的輔助線條即可得到還原的幾何體（如圖6、如圖7、如圖8、如圖9）;

Step5驗(yàn) ?驗(yàn)證圖3、圖4、圖5、圖6、圖7所示的幾何體均符合題意.

所以，若幾何體是圖5中的四面體，其體積為1×1×1-4× 1 3 × 1 2 ×1×1×1= 1 3 ，故選C.

若幾何體是圖6、圖7、圖8、圖9中的六面體，則其體積為1×1×1-3× 1 3 × 1 2 ×1×1×1= 1 2 .

試題修正1

一個(gè)四面體的三視圖如圖3所示，其體積是（? ）.

A.1? B. 2 3?? C. 1 3?? D. 5 12 試題修正2

一個(gè)幾何體的三視圖如圖3所示，其體積為[CD#4].

答案： 1 3 或 1 2 .

例4 一個(gè)正方體被截后，剩余部分的三視圖如圖10所示，則截取部分體積與剩余部分的體積的比值為 [4][CD#3].

解析 （具體操作策略詳見(jiàn)文[4]）

Step1 根據(jù)三視圖畫出對(duì)應(yīng)的正方體;

Step2 根據(jù)正視圖中各線條的交點(diǎn)在正方體的后“面”找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，然后從后向前垂直拉伸;根據(jù)俯視圖中各線條的交點(diǎn)在正方體的下“面”找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，然后從下向上垂直拉伸;根據(jù)側(cè)視圖中各線條的交點(diǎn)在正方體的右“面”找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，然后從右向左垂直拉伸.（小技巧：此題的三視圖交點(diǎn)形式與正方體三視圖交點(diǎn)形式一致，于是可以直接描黑Step1中的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)，無(wú)需再通過(guò)拉伸找點(diǎn)，以節(jié)省時(shí)間）;

Step3 由圖可知，點(diǎn)A、B、C、D、A′、B′、C′、D′為“可疑點(diǎn)”（如圖11）， 由于題設(shè)中正視圖、側(cè)視圖、俯視圖內(nèi)框中有實(shí)線，故必出現(xiàn)在正方體的前面、左面、上面.因此連結(jié)AB′、AD′、B′D′（如圖12），這樣點(diǎn)

A、B′、D′處均有5條線段，而點(diǎn)A′處只有3條線段，即正方體中從頂點(diǎn)A′出發(fā)的三條棱上的點(diǎn)A、B′、D′為“最優(yōu)點(diǎn)”，故頂點(diǎn)A′可以被剔除;

Step4 將“最優(yōu)點(diǎn)”A、B、C、D、B′、C′、D′連線并隱去所有的輔助線條即可得到還原的幾何體（如圖13）.

Step5 驗(yàn)證圖13所示的幾何體符合題意.

易知

V三棱錐A-A′B′D′=[SX（]1[]6[SX）]V正方體ABCD-A′B′C′D′，所以截取部分體積與剩余部分的體積的比值為[SX（]1[]6[SX）]∶[JB（（]1-[SX（]1[]6[SX）][JB））]=[SX（]1[]5[SX）].

解答錯(cuò)了，錯(cuò)在哪里？

解答者在解答時(shí)有心理上的“潛在假設(shè)”，認(rèn)為幾何體被平面所截是被截一次所得結(jié)果.事實(shí)上，不同幾何體的三視圖可以相同，但某個(gè)幾何體一旦被確定以后，其對(duì)應(yīng)的三視圖必是唯一的，反之，同一三視圖可能對(duì)應(yīng)多個(gè)幾何體.正確的解答：

若被平面截取一次，同上述解法還原后的幾何體可能如圖13所示的幾何體;

若被平面截取兩次，注意到正方體中從頂點(diǎn)C出發(fā)的三條棱上的點(diǎn)B、D、C′為“最優(yōu)點(diǎn)”，故頂點(diǎn)C可以被剔除.將“最優(yōu)點(diǎn)”A、B、D、B′、C′、D′連線并隱去所有的輔助線條即可得到還原的幾何體（如圖14）.經(jīng)驗(yàn)證圖14所示的幾何體也是符合題意的.此時(shí)，易知

V三棱錐C′-BCD=V三棱錐A-A′B′D′=V正方體ABCD-A′B′C′D′，

V多面體ABCD-A′B′C′D′=V正方體ABCD-A′B′C′D′-2V三棱錐A-A′B′D′=

.所以截取部分體積與剩余部分的體積的比值為

若要使的答案唯一，可作如下修改：

一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖10所示，則截取部分體積與剩余部分的體積的比值為（? ）.

A.? B.C.? ?D.

數(shù)學(xué)試題的編擬是教師創(chuàng)造性教學(xué)活動(dòng)的基本功之一 [5].筆者認(rèn)為遵循科學(xué)性原則是數(shù)學(xué)試題編擬的必要前提，試題條件的充分性指試題編擬過(guò)程中題目的條件對(duì)于推出結(jié)論是充分的，而有些條件不充分的題目，之所以存在，是由于解題者在解題時(shí)有心理上的“潛在假設(shè)”，或邏輯上的“以偏概全” [6].但實(shí)際上上述題轉(zhuǎn)化并不等價(jià)，即不同幾何體的三視圖可以相同，但某個(gè)幾何體一旦被確定以后，其對(duì)應(yīng)的三視圖必是唯一的，反之，同一三視圖可能對(duì)應(yīng)多個(gè)幾何體 [4].

參考文獻(xiàn)

[1] 張國(guó)治;郭江燕;李曉云.例談編擬數(shù)學(xué)試題的科學(xué)性原則——以高考題、競(jìng)賽題中的錯(cuò)題為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2016（8）：3-6+9.

[2] 張國(guó)治.兩道競(jìng)賽題的糾錯(cuò)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2012（9）：32-33.

[3] ?“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽.全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題·培訓(xùn)題·解答（高中）[M].氣象出版社，2016（10）：36+51.

[4] 張國(guó)治，程似錦，席光煜，趙佳睿.三視圖還原幾何體的一種高效通法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2016（6）：19-24.

[5] 新青年數(shù)學(xué)教師工作室.當(dāng)代中國(guó)數(shù)學(xué)教育名言解讀[M].上海：上海教育出版社，2015.8.

[6] 張麗娟，張國(guó)治.錯(cuò)在哪里？[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2017（5）：79-80.