向量的模就是點(diǎn)到點(diǎn)距離

張秋紅 楊品方

教材上說：向量 AB 的大小稱為向量的長(zhǎng)度（或稱為模），記作 ?AB ?.教材上涉及向量的模的問題無非三種：由特殊的平面圖形中獲得線段的長(zhǎng)度關(guān)系;直接給出向量的模，利用公式計(jì)算向量的數(shù)量積a·b=|a||b|cosθ;由向量的坐標(biāo)（x，y）利用公式 x2+y2 計(jì)算向量的模.而在實(shí)際的作業(yè)練習(xí)測(cè)試中，直接套用如上三種模型的習(xí)題可謂是少之又少，師生們發(fā)出感慨，數(shù)學(xué)真難，向量的模真難.其實(shí)啊，向量有方向，就是形的表示;向量有大小，就是量的表示.向量就是一個(gè)工具，聯(lián)系了數(shù)和形，解題中，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合，很是方便.因?yàn)橄蛄康哪＃鋵?shí)就是起點(diǎn)和終點(diǎn)的距離，就是兩點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)點(diǎn)距而已.筆者在解題中發(fā)現(xiàn)，向量的模即點(diǎn)點(diǎn)距，也無非是如下幾種題型：

解 延長(zhǎng)CA到D，使得AD=1，所以 CD =2 CA ，于是2λ CA +（1-λ） CB =λ CD +（1-λ） CB ， 由于系數(shù)λ，1-λ的和為1，所以和向量 CE 的終點(diǎn)E落在直線BD上， f（λ）= |2λ CA +（1-λ） CB |=| CE |， 由題中數(shù)據(jù)可得，定點(diǎn)C到直線BD上動(dòng)點(diǎn)的距離的最小值為 2 ，于是f（λ）的最小值是 2 .

例3 在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2，CD=1，∠DAB= 60°，P為腰AD所在直線上的任意一點(diǎn)，則| PB + PC |的最小值為 .

解 | PB + PC |= 2| PM |，而向量 PM 的起點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，在腰AD上，終點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，于是 ?PM ?就是線段BC的中點(diǎn)M到腰AD上動(dòng)點(diǎn)P的最小值，作MH⊥AD于H， ?PM ?的最小值就是MH.取線段AD的中點(diǎn)N，在直角△MNH中，中位線MN= 3 2 ，∠MNH= 60°，所以MH= 3 3? 4 ，于是| PB + PC |的最小值為 3 3? 4 .

小結(jié)：起點(diǎn)終點(diǎn)一個(gè)是定點(diǎn)另一個(gè)在定直線上運(yùn)動(dòng)的向量的模，計(jì)算它的最小值，就是計(jì)算該點(diǎn)到該直線的距離.

2.2 動(dòng)點(diǎn)在定圓上運(yùn)動(dòng)

例4 設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，BC=4，點(diǎn)A在直線BC外， | AB + AC |=

| AB - AC |，則| AM |=[CD#3].

解 由條件可知， AB ， AC 互相垂直，點(diǎn)A在以線段BC為直徑的圓M上，向量 AM 的模就是半徑，恒為2.

例5 如圖5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+y2-6x+5=0，點(diǎn)A，B在圓C上，且AB=2 3 ，則| OA + OB |的最大值是[CD#3].

解 記弦AB的中點(diǎn)為M，所以 OA + OB = 2 OM ，只要求出 ?OM ?的最大值就可以了.O是定點(diǎn)，考慮動(dòng)點(diǎn)M.圓C是以（3，0）為圓心，2為半徑的圓.在直角△BCM中，BM= 3 ，BC=2，所以CM=1，所以點(diǎn)M在以（3，0）為圓心，1為半徑的圓（圖中虛線所示）上運(yùn)動(dòng).于是動(dòng)點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離最大值為4.所以| OA + OB |=2| OM |≤8.例6 已知a·b=4，|a-b|=3，則 a 的最大值是[CD#3]. ?[JZ] 圖6

解 考慮到兩個(gè)向量終點(diǎn)連線段長(zhǎng)為定值3，不妨令a= SA ，b= SB ，則| AB |=3.如圖6，建立直角坐標(biāo)系，記A（- 3 2 ，0），B（ 3 2 ，0），S（x，y）， a·b= SA · SB = （- 3 2 -x，-y）·（ 3 2 -x，-y）=x2+y2- 9 4 =4，x2+y2= 25 4 ，所以點(diǎn)S在以原點(diǎn)為圓心， 5 2 為半徑的圓上，于是 a = | SA |≤ | SO |+| OA |= 5 2 + 3 2 =4.

小結(jié)：起點(diǎn)終點(diǎn)一個(gè)是定點(diǎn)另一個(gè)在定圓上運(yùn)動(dòng)的向量的模，計(jì)算它的最大（小）值，就是計(jì)算該點(diǎn)到該圓圓心的距離再加（減）圓的半徑（的絕對(duì)值）.

2.3 動(dòng)點(diǎn)在定橢圓（或其他曲線區(qū)域）上運(yùn)動(dòng)

例7 已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在橢圓 x2 4 + y2 3 =1上運(yùn)動(dòng)，另有定點(diǎn)F（-1，0），則 ?FP ?的取值范圍是[CD#3].

解 由解析幾何，點(diǎn)F（-1，0）是橢圓的左焦點(diǎn)，a-c≤ ?FP ?≤a+c，所以 ?FP ?∈[1，3].

小結(jié)：點(diǎn)F恰好是橢圓的焦點(diǎn)，可以用橢圓的幾何性質(zhì)來獲得答案，如果不是焦點(diǎn)，那么可以在曲線上取點(diǎn)（x，y），進(jìn)而求函數(shù)的最值.

3 向量的起點(diǎn)終點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn)

例8 已知| AB |=8，| AC |=5，則 ?BC ?的取值范圍是[CD#3].

解 如圖7，點(diǎn)B，C分別在以A為圓心，8和5為半徑的同心圓上移動(dòng)，所以BC之間的最大距離為半徑之和13，最小距離為半徑之差3，所以 ?BC ?的取值范圍是[3，13].

當(dāng)然，如圖8，也可以視向量 AB 為固定，點(diǎn)C在以A為圓心，5為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，這樣，向量 BC 的起點(diǎn)是定點(diǎn)，終點(diǎn)在動(dòng)圓上. ?BC ?≤| BA |+| AC |= | BC 1 |=

8+5=13，| BC |≥| BA |-| AC |= | BC 2 |=8-5=3.這就是問題2.2了.

例9 由直線l：y=x+1上的點(diǎn)P向圓C： （x-3）2+y2=1引切線PA、PB，A、B是切點(diǎn)，則 ?PA ?的最小值為解 向量 PA 的起點(diǎn)和終點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn)，在直角△PAC中， ?PA ?= | PC |2- |CA |2 = | PC |2-1 ，只要求出 ?PC ?的最小值就可以了.如前，終點(diǎn)C是定點(diǎn)（3，0），起點(diǎn)P在直線l：y=x+1上滑動(dòng)，所以 ?PC ?的最小值就是點(diǎn)（3，0）到直線l的距離d，d= |3+1|? 2? =2 2 ，所以 ?PA ?的最小值為 7 .

小結(jié)：起點(diǎn)終點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn)的向量的模，就要研究?jī)蓜?dòng)點(diǎn)的軌跡曲線上兩點(diǎn)的距離變化特點(diǎn)，通常也是轉(zhuǎn)化到定點(diǎn)（圓心）到直線的距離.

數(shù)學(xué)家華羅庚老先生說過，“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”.向量就是一個(gè)工具，聯(lián)系了數(shù)和形，解題過程中，畫出圖形，能起到意想不到的效果.