數形結合 演繹精彩

魏定波

試題呈現

已知實數x 1、x 2、y 1、y 2滿足：x2 1+y2 1=1，x2 2+y2 2=1，x 1x 2+y 1y 2= 1 2 ，則 |x 1+y 1-1|? 2? + |x 2+y 2-1|? 2? 的最大值為[CD#4].

本題為2018年上海市高考數學試題第12題，從題面上看，考查的是以“絕對值和方程”為載體、不等式為主線的典型問題，著重考查學生分析問題、解決問題的能力，能夠檢驗學生對曲線與方程之間關系的認知程度，對轉化思想、數形結合思想等的掌握情況.

2 ?解法探究

解法1 從距離公式切入

設P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2），則點P、Q都在單位圓x2+y2=1上，由 OP · OQ =x 1x 2+y 1y 2，

得cos< OP ， OQ >= 1 2 ，即△OPQ為等邊三角形，如圖1，顯然 |x 1+y 1-1|? 2? + |x 2+y 2-1|? 2? 就是P、Q到直線l：x+y-1=0的距離之和|PP′|+ |QQ′|，設PQ的中點為M，且M在直線l上的射影為M′，原點O在直線l上的射影為O′，則|PP′|+ |QQ′|=2|MM′|≤2（|MO|+|OO′|）

=2（? 3? 2 +? 2? 2 ）= 3 + 2 .

故當M、O、M′共線，且M與O都在直線l的同側時（如圖1）， |x 1+y 1-1|? 2? + |x 2+y 2-1|? 2? 取得最大值 3 + 2 .

3 ?深入探究

3.1 求最小值

當P、Q兩點分別在直線l的兩側（包括在直線l上，如圖3），則? |x 1+y 1-1|? 2? + |x 2+y 2-1|? 2? =? 2? 2 -sinα+sin（ 120°-α）- ?2? 2

注：此題由2018年浙江省高考試題第17題改編，附原試題：已知點P（0，1），橢圓 x2 4 +y2=m（m>1）上兩點A，B滿足 AP =2 PB ，則當m= 時，點B橫坐標的絕對值最大.