行和、列和均為素數的九宮格問題探究

龔新平

在平時教學和高考復習中時常會出現一些關于素數的問題，而在各類數學競賽和自主招生考試中，素數問題更是經常出現的熱點題型，有的還頗具難度.以下是對文[1]中提供的2016年全國高中數學聯賽江西賽區預賽試卷出現的一個關于行和與列和均為素數的九宮格問題展開的系列探究，最終得出滿足條件的所有填法總數，在此以期和大家一起分享.

問題 將前九個正整數1，2，3，4，5，6，7，8，9分別填寫于一張3×3方格表的九個格子中，使得每行三數的和與每列三數的和均為素數，請將你的填法填入圖1的方格中.

1 ?探究每行每列三數奇偶性

由于每行三數和為大于2的素數，所以三數和必為奇數素數，從而每行要么三數均為奇數，要么一個奇數兩個偶數，同理每列也是三數均為奇數，或者一個奇數兩個偶數.由于共四個偶數五個奇數，所以必有某一行且同時有某一列的數全都是奇數.

2 ?探究最大數的奇偶性組合

考慮與最大數9同行或同列另外兩個數的可能性組合，由三數和必為奇數，故這兩個數的奇偶性一定相同：若兩數均為奇數，則只有（9+1+3），（9+1+7），（9+3+5），（9+3+7）四種情形對應三數和為素數;若兩數均為偶數，則只有（9+2+6），（9+2+8），（9+4+6），（9+6+8）四種情形對應三數和為素數.

3 ?探究互換行（列）及轉置情形

由于對符合條件的某種填法，任意互換兩行或者任意互換兩列，所得九宮格中每行與每列數的和仍為素數，也滿足條件;另外，對符合條件的某種填法，同時將第i（i=1，2，3）行轉置為第i列，所得九宮格中每行與每列數的和仍為素數，同樣滿足條件.故我們只需考慮第一行第一列為9且第一行全是奇數的情形，并且考慮第一行或第一次考慮某一列時也先不分前后順序或上下順序，然后將得到的每種填法對應的矩陣任意互換兩行或任意互換兩列，最后再寫出前面矩陣對應的轉置矩陣，這樣得到的所有矩陣就對應著滿足條件的所有填法.

4 ?探究2，8不同行不同列情形

若2與8既不同行也不同列，為了方便不妨記第i行第j列的數為aij，以下分兩種情形討論：

（1）若2、8與9均不同列：如圖2，則由步驟三中分析的互換行或互換列及轉置對應性，現不妨令a32=6，則a23=4，由此a12≠1，a12≠7，a31≠1，a31≠7，故a13=1或a13=7，從而a12≠5，即必有a12=3，進而必有a31=5，所以a21=1或a21=7，但此時第一列中的三數和為15或21，均不是素數，產生矛盾.

6 ?探求滿足條件所有填法總數

由前面步驟中的分析，可以得到（2×2）×4=16種不同的基本填法;然后將得到的每一種基本填法對應的3×3階矩陣任意互換兩行或互換兩列，可以得到A2 3·A2 3=36種不同的矩陣對應的填法，從而總共可得到16×36=576種不同的九宮格填法，然后再加上前面得到的576種填法對應3×3階矩陣相應的轉置矩陣，所有的576×2=1152種矩陣就對應著滿足條件的所有填法，故最終可以得到滿足條件的所有填法總數為16×36×2=1152種.

參考文獻

[1] 《2016年全國高中數學聯賽江西賽區預賽》[J].中等數學，2017（5）.