數字和乘以99變換下的黑洞數及猜想
2018-01-08 03:48:40王凱成
中學數學雜志(高中版) 2018年5期
王凱成
可以證明不定方程1000a+100b+10c+d=99（a+b+c+d）有唯一解：a=1、b=7、c=8、d=2.即有1782=（1+7+8+2）×99，猜想：1782是數字和乘以99變換下的黑洞數.
命題1? 設A是一個正整數，把A的所有數字的和乘以99，得到B.我們把從A到B的過程叫作A的f變換，記作f（A）=B.對B繼續(xù)作f變換，得到f（B）=C;對C繼續(xù)作f變換，……，那么，A經過有限次f變換后最終為1782.
命題2? 設A是一個正整數，把A的所有數字的和乘以999，得到B.我們把從A到B的過程叫作A的f變換，記作f（A）=B.對B繼續(xù)作f變換，得到f（B）=C;對C繼續(xù)作f變換，……，那么，A經過有限次f變換后最終為26973.（①對A≤29999一一驗證：轉化為驗證9k×999（k=1、2、3、4）即可.②對A>29999推證：A-f（A）≥1029）
命題3? 設A是一個正整數，把A的所有數字的和乘以9999，得到B.我們把從A到B的過程叫作A的f變換，記作f（A）=B.對B繼續(xù)作f變換，得到f（B）=C;對C繼續(xù)作f變換，……，那么，A經過有限次f變換后最終為359964.（①對A≤399999一一驗證：轉化為驗證9k×9999（k=1、2、3、4、5）即可.②對A>399999推證：A-f（A）≥10039）
類比命題1、2、3提出猜想：設A是一個正整數，把A的所有數字的和乘以10 n+1-1（n是正整數），得到B.我們把從A到B的過程叫作A的f變換，記作f（A）=B.對B繼續(xù)作f變換，得到f（B）=C;對C繼續(xù)作f變換，……，那么，A經過有限次f變換后最終為9（n+1）×（10 n+1-1）.
