試題有瑕 探究顯瑜

李雋易

近期在解決一道與解三角形相關(guān)的?？碱}（如下）時(shí)，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)從“化角”與“化邊”兩個(gè)不同的思路進(jìn)行求解，竟然得到了截然不同的答案，這引發(fā)了班級(jí)的大討論.

分析 從解答的結(jié)果來看，解法1與解法2得到的取值范圍差異極大，不僅范圍不同，左右端也完全不相同.從解法1來看，S+8 2 cosAcosC=8 2 cos（2A- 3π 4 ）≤8 2 恒成立，解法2的解答肯定不準(zhǔn)確;從解法2來看S+8 2 cosAcosC= ac 2 2? + 24 2? ac ≥4 3 ，解法1認(rèn)為S+8 2 cosAcosC>-8也肯定將范圍縮放的太大了.那么該問題的解答是不是[4 3 ，8 2 ]呢？如果是，又該如何完善解法1與解法2呢？

3?? 討論探究

經(jīng)過教師引導(dǎo)與學(xué)生討論，發(fā)現(xiàn)解法1的本質(zhì)在于將問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于角A的函數(shù)的值域問題，其可改進(jìn)的地方在于需進(jìn)一步考察角A的取值范圍，得到更精確的定義域.而解法2的特點(diǎn)在于通過運(yùn)用基本不等式得到表達(dá)式的最小值，其可以改進(jìn)的地方有兩點(diǎn).其一，需深入探究“等號(hào)”是否真的能夠取到;其二，由于運(yùn)用基本不等式難以求得表達(dá)式的最大值，因此不妨將問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于ac的函數(shù)的值域問題.與解法1相似，問題的焦點(diǎn)集中于探尋ac的取值范圍.

基于這些認(rèn)識(shí)，學(xué)生們給出了如下改進(jìn)方案.

方案1? 因?yàn)閍2-c2=2b=8>0，所以a>c，進(jìn)而有A>C，即A> 3π 4 -A，所以A> 3π 8 .又因?yàn)?<A< 3π 4 ，所以 3π 8 <A< 3π 4 ，進(jìn)而得到S+8 2 cosAcosC∈（-8，8 2 ）.

分析該方案注意到了A>C這個(gè)條件，進(jìn)而縮小了角A的取值范圍.盡管仍然沒有解決最初提出的[4 3 ，8 2 ]的猜想，但是將這一范圍縮小到了 [4 3 ，8 2 ）.這雖是解答改進(jìn)的一小步，卻是學(xué)生觀念變化的一大步.學(xué)生發(fā)現(xiàn)原有的解法確實(shí)存在缺陷，甚至[4 3 ，8 2 ）也可能還不是最終的結(jié)果.當(dāng)“化角”的思路不順利的時(shí)候，越來越多的學(xué)生轉(zhuǎn)向考慮“化邊”來解決問題.

方案2? 為了得到ac的取值范圍，學(xué)生羅列了a，c滿足的條件，并加以研究.然而，結(jié)合第（1）問的結(jié)論，以及余弦定理，學(xué)生發(fā)現(xiàn)a，c竟然滿足方程組? a2-c2=8，a2+c2- 2 ac=16，? 這意味著a與c很可能可以求出確定的值，也就是說，ac很可能是定值而非取值范圍，進(jìn)而S+8 2 cosAcosC也應(yīng)該是一個(gè)定值.余下只需要解出a，c，即可得到S+8 2 cosAcosC的值.

分析? 該方案在探索的過程中，意外地發(fā)現(xiàn)了題目的瑕疵，S+8 2 cosAcosC很有可能是定值，而非原題的“取值范圍”.然而，在求解的過程中，學(xué)生在解方程組? a2-c2=8，a2+c2- 2 ac=16，? 時(shí)遇到了困難.教師適時(shí)回顧相似問題“已知tanθ=2，求 sin2θ+sinθcosθ”的解決過程，即通過構(gòu)造齊次式，將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題，進(jìn)而解決問題.引導(dǎo)學(xué)生把握兩個(gè)問題的結(jié)構(gòu)特征，通過類比遷移求出方程組 的解.

方案2的實(shí)施? 由題意，得 ?a2-c2=8，a2+c2- 2 ac=16，? 兩式相除，得 a2-c2 a2+c2- 2 ac = 1 2 ，即 ?（ a c ）2-1 ?（ a c ）2+1- 2 · a c? = 1 2 ，解得 a c =? 14 - 2? 2 ，即a=? 14 - 2? 2 c.將其代入方程組，解得c2=4（3+ 7 ），進(jìn)而ac=4 2 （2+ 7 ），故S+8 2 cosAcosC= ac 2 2? + 24 2? ac =4 7 .

方案2的發(fā)現(xiàn)和實(shí)施是學(xué)生在該問題研究中的重大突破.由于原題求解“取值范圍”，學(xué)生因目標(biāo)定位，將解決問題的方法瞄準(zhǔn)了函數(shù)法和基本不等式法，并在隨后的探究過程中將焦點(diǎn)集中于更具一般性的函數(shù)方法上.但是隨著研究的深入，學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)到題設(shè)條件與未知數(shù)的數(shù)量恰好匹配，函數(shù)的值域不再是一個(gè)區(qū)間而是一個(gè)單元素集合，進(jìn)而認(rèn)識(shí)到題目的瑕疵.這使得學(xué)生不局限于具體數(shù)學(xué)問題的模式識(shí)別，而是把握數(shù)學(xué)思想的實(shí)質(zhì)，對(duì)于方程（組）思想、函數(shù)思想有著更為本質(zhì)的理解.

在實(shí)施方案2的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)過來進(jìn)一步探究如何從“化角”的思路進(jìn)行求解.

4 ??小結(jié)反思

首先，由于“求取值范圍”本已包含“求值”的含義，因此原題并不是錯(cuò)題，只是表意上不夠精確，有些瑕疵.然而正是對(duì)這道瑕疵題的探索，使學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)到函數(shù)法在解決“求取值范圍”問題和“求值”問題上的統(tǒng)一性，將該類問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域的問題是問題解決的通法.

其次，一個(gè)數(shù)學(xué)問題的條件往往告訴我們“能做什么”，而其所求目標(biāo)往往告訴我們“需要做什么”.緊緊盯著目標(biāo)能有效指引我們解決問題的方向，然而對(duì)條件的深度解讀才決定著我們解決問題的程度.隨著對(duì)該問題探究的不斷深入，學(xué)生逐漸發(fā)現(xiàn)“能做”的越來越多，最終能夠篤信推理而不是迷信原題所說的“范圍”，逐步發(fā)展“邏輯推理”素養(yǎng).

第三，數(shù)學(xué)教與學(xué)過程中遇到的瑕疵題，以及學(xué)生們多解中的矛盾都是重要的教學(xué)資源.教師應(yīng)及時(shí)抓住教學(xué)契機(jī)，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究.主要可以從兩個(gè)方面進(jìn)行指導(dǎo).其一，把控?cái)?shù)學(xué)探究的層次與節(jié)奏.例如，在本題探究的過程中，學(xué)生歷經(jīng)從發(fā)現(xiàn)兩種解法中的矛盾到提出猜想，再到發(fā)現(xiàn)瑕疵、否定猜想;從擬定方案到實(shí)施方案，再到進(jìn)一步改進(jìn)方案;從解決問題到探索多解，再到改編問題.隨著學(xué)生認(rèn)識(shí)的層層深入，數(shù)學(xué)探究對(duì)學(xué)生思維的要求也逐漸提高.其二，當(dāng)學(xué)生遇到困難的時(shí)候，適時(shí)指導(dǎo)學(xué)生回顧曾遇到的相似問題，引導(dǎo)學(xué)生通過類比遷移，自主解決問題.例如，在方案2與方案3的實(shí)施過程中，教師適時(shí)地回顧相似問題，幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，使得數(shù)學(xué)探究得以順利進(jìn)行下去.