穩定中顯創新 平和中現素養

康小峰

【摘 要】 ?通過對高考試卷及典型試題的評析，旨在發揮高考試題潛在的應用價值，為高效、有針對性地開展2019年高考復習和備考提供參考意見.

【關鍵詞】 ?高考數學;江蘇卷評析;教學啟示;穩定平和;創新;素養

2018年高考數學江蘇卷試題嚴格遵循教育部《普通高中數學課程標準》（2017年版）的理念，符合江蘇高考《考試說明》的要求，延續了江蘇自主命題的基本風格，堅持以人為本的高考核心價值取向，突出反映了高考以學生發展為本、落實立德樹人、服務選拔、導向教學的核心立場.

試題背景公平，簡潔、平穩，填空題難度適中，解答題層次分明，注重對數學本質的理解，做到了文理兼顧，緊扣教材，既重基礎又有區分度.科學有效地考查了學生進入高校繼續學習所應具備的數學素養和潛能.與往年相比，今年特別注重基礎知識、基本方法、運算能力和創新思維，為今后高考數學的改革，發揮了積極的導向作用.

“穩定中顯創新，平和中現素養”是今年江蘇卷試題的主要特點.試題本著教材起點，高考落點的原則，給人以樸實無華又適度創新的感覺，對于一些難度較大的題目，考生若想順利求解，則需具備較高的數學核心素養，為今后的數學教學改革起到了風向標的作用.

下面以數學試題為例，從試題評析和教學啟示兩個方面闡述，與大家探討.

1 試題評析

1.1 穩定為基，彰顯特色

自2008年以來，江蘇高考數學試卷采用“14道填空題+6道解答題”的題型結構并延續至今.穩定的題型結構使考生答題時有平和的心態，從而有利于學生漸入狀態，穩定發揮.

一直以來，江蘇卷中的填空題常考集合、復數、統計初步、算法、函數圖象與性質、圓錐曲線、幾何體的體積、直線與圓的位置關系、平面向量、基本不等式、向量和數列等基礎知識的基本做法沒有改變.解答題的命題規律性更強，呈現出了考題內容相對穩定、考題順序相對固定的“八股化”特點.今年還是一樣，第15題考查空間直線與平面的位置關系，第16題考查同角三角函數關系及三角函數的恒等變換，第17題考查實際應用問題（應用題），第18題考查平面解析幾何問題，第19題考查函數與導數的綜合應用，第20題考查等差、等比數列的基本概念及綜合應用.

值得注意的是，近幾年，江蘇高考數學試題一直考查函數的零點，或直接考查零點概念，或通過數形結合等思想方法轉化為函數的零點問題，以往每年只考一題，今年更是加大考查的力度，出現了兩道，分別是第11題和第19題.

1.2 試題平和，凸顯能力

縱觀2018年江蘇高考數學試題，我們發現大部分試題給人一種平和、樸實的感覺.即便是一些中檔題入題方法也較為常規，但這并不意味著僅憑模仿和記憶就能順利的求解，因為試題在對數學基礎知識考查的同時，既突出重點，又凸顯能力.如第12、13、17題等，在設計上，看似熟悉，實則有別，要求學生具有一定的問題表征能力，轉化與化歸能力，這樣在具體求解時，才能從多種方法中，經過認真的思考分析，步入正確的路徑，避免無功而返.下面舉例 說明.

例1 （第12題）在平面直角坐標系xOy中，A為直線l：y=2x上在第一象限內的點，

B（5，0），以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若 AB · CD =0，則點A的橫坐標為[CD#3].

分析 本題在知識交匯點處命題，綜合考查直線的方程、直線與直線的位置關系、圓的性質、向量的數量積等知識，考查學生運用數學知識分析問題和解決問題的能力.

解法1 ?設A（a，2a），a>0，則C（ a+5 2 ，a）.

由 （x-5）（x-a）+（y-2a）y=0，y=2x， 得 x=1，y=2， 或 x=a，y=2a， 從而D（1，2），

又 AB · CD =（5-a，-2a）·（ -a-3 2 ，2-a）=0，解得a=3或a=-1，由a>0知，a=3，所以點A的橫坐標為3.

解法2 由題意知AB⊥CD，又C是線段AB的中點，從而∠BAD= 45°，設直線l、AB的傾斜角為θ、α，則tanθ=2，結合圖形可知α=θ+ π 4 ，由tanα=tan（θ+ π 4 ）計算得

tanα=-3，所以AB：y=-3（x-5），由 y=-3（x-5），y=2x， 解得x A=3.

該題是傳統的常見題，所考查的內容是直線與圓中的基礎知識與基本思想方法，同時，以此為背景的試題在近年的模考與高考試卷中均有出現.此題既注重基礎，又突出能力，不同的審題視角決定不同的思維切入點，得到不同的解題思路，不同能力層次的學生解決這個問題的方法速度是有很大差異的，法一設點聯立方程組求解思維量小但運算量大，稍有不慎則前功盡棄;法二結合平面幾何知識只要善于直觀想象便可求出直線AB的斜率，簡約高效，但這一系列的工作，均需要較高的數學能力來支撐.因此，本題能起到很好的區分效果.

1.3 主干突出，經典重現

多年來，江蘇高考數學試卷一直在高中數學的主干知識、經典題目和經典方法上不斷挖掘.今年也有多處體現.全卷對三角函數（第7，16，17題）、立體幾何（第10，15題）、解析幾何（第8，12，18題）、函數與導數（第9，11，13，19題）、數列（第14，20題）等主要內容的考查占有相當大的比重.同時，在考查知識點的同時也考查了重要的數學思想.如，數形結合思想滲透在第11，12，18，19題中;函數與方程思想滲透在第11，14，17，19，20題中;分類討論思想滲透在第9，11，14，20題中.

另外，試卷在突出主干知識的同時，也有意識地向經典致敬.

如第10題：如圖1所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為[CD#3].

2003年江蘇高考數學試卷第7題：棱長為a的正方體中，連接相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為[CD#3].

這兩題堪稱是同一題，考查了以正方體為載體的空間幾何體的體積，是一道經典的求八面體體積的試題，是出題者有意為之，還是純屬巧合，我們不得而知，但至少向我們傳遞了這樣的信號：對于以往的高考試題，值得我們好好研究和體會，不能認為考過的題不會再考了，沒有研究的價值.

再如第18題：如圖2，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C過點（ 3 ， 1 2 ），焦點F 1（- 3 ，0），F 2（ 3 ，0），圓O的直徑為F 1F 2.

（1） 求橢圓C及圓O的方程;

（2） 設直線l與圓O相切于第一象限內的點P.

①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標;

②直線l與橢圓C交于A，B兩點.若△OAB的面積為 2 6? 7 ，求直線l的方程.

本題主要考查直線方程、圓的方程、圓的幾何性質、橢圓方程、橢圓的幾何性質、直線與圓及橢圓的位置關系等知識，重點考查學生分析問題能力和運算求解能力.第⑴問非常基礎，考查的是基本量運算，大部分同學順利求解不成問題.對于第⑵問的兩小問，解題思路很清晰，但運算很復雜，尤其是求直線l的方程，其實質就是求其斜率k和縱截距m，如何求k和m？根據題設中的“直線l與圓O相切于第一象限內的點P和△OAB的面積為 2 6? 7 ”，此時需要找到k和m的數量關系，再代入面積等式.對于k和m的關系可將直線與圓方程聯立或利用圓的幾何性質求解，對于弦AB的長可以運用弦長公式加以解決.這些都考查了解析幾何問題的經典處理方法：聯立方程組、韋達定理…….很多同學都知道怎么做，但就是算不下去，這固然與解析幾何試題自身參數多計算復雜有關，但筆者更認為這是學生代數式處理能力的缺失，對于那些平時做解析幾何問題時只求思路不求結果、學習浮躁不夠踏實的學生來說，是一場嚴峻的考驗.

1.4 難點集中，素養引領

全卷的難點主要集中在第14題、第19題和第20題.第14題主要考查等差數列和等比數列的前n項和，需要考生掌握按照大小重新排列構成新數列的方法，難點在于如何求出新數列{a n}的前n項和，對考生的邏輯推理能力和運算求解能力的要求都較高.在考場有限的時間內若此題采用一般方法求解則顯然難度較大，如果考生善于進行數學抽象，做出合理的猜想，就有可能找到簡潔、易于操作的列舉法，再結合一定的邏輯推理和適當的數學運算便可迅速求解.但這一系列的工作，都需要較高的數學素養來支撐.

與2017年第20題函數載體不一樣，第19題采用的是多項式函數與超越函數相結合的形式，函數的構成更加豐滿和多元化，該題以導數為背景，立意新穎、設問簡潔巧妙、研究味道足.雖然三問函數不同，但均圍繞“S”點條件展開，且梯度明顯，第⑴問入口淺，第⑵問讓學生跳一跳可以摘到桃子并且為第⑶問做好鋪墊，第⑶問其實是多變量的存在性恒成立問題，此類問題或轉化為函數的最值問題，或轉化為函數值域的包含問題或者方程有解問題，有效地考查了學生的數學抽象、直觀想象等核心素養. 第⑶問難度較大且具有較好地區分度，可以有效地甄別出學生的能力，充分體現了高考的選拔性.

第20題的數列題從難度上看是名副其實的壓軸題，第⑵問其本質是以q為常量、n為自變量的不等式恒成立問題，但其解題方法是常規的，不等式恒成立問題可利用分離參數轉化為函數的最值問題，函數的最值問題可以用函數的單調性加以解決，而數列是特殊的函數，因此，可以用數列相鄰項的大小來判斷或通過構造函數來判斷.特別是在分參后，對兩個不同函數單調性判斷方法的選擇上要求很高，這要求考生須具備較高的數學思維品質.本題考查了轉化與化歸、分類討論等數學思想方法，較好地考查了數學抽象、邏輯推理和數學運算等數學核心 素養.

2 教學啟示

2.1 重視基礎，回歸基本概念

今年江蘇高考數學卷有意識地加強了對基礎知識、基本技能和基本思想方法的考查，不偏不倚，方方正正.這給我們高考復習提供了一個信息：高三數學復習要切實引導學生重視基礎，加強對數學基本概念的理解.概念是數學的基石，只有準確理解概念才能掌握基礎知識、形成基本技能、領會思想方法.比如考后有學生問我第15題中的平行六面體是什么，一個概念問題導致題意表征出錯，實在可惜.正如章建躍博士所言：“解題錯誤主要源于概念把握不準.”很多學生所謂的粗心錯誤其實就是概念理解不到位所造成的.另外，通過今年試卷的第7、8兩題還可以發現，掌握概念的衍生結論也就是我們常說的二級結論不僅可以節省時間還可以提高運算的準確度.因此我們認為，只有教師真正理解了數學的概念，才能更好地指導學生重視基礎，回歸到對數學基本概念的學習.

2.2 重視過程，積累活動經驗

《普通高中數學課程標準》（2017年版）明確指出：高中數學教學提倡學生獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式;評價既要關注學生學習的結果，更要重視學生學習的過程.這要求我們一線教師高三復習時不能只顧自己在課堂上唱獨角戲：思維上牽引限制，講解上示范包辦，要將課堂還給學生，讓他們動手、思考、交流，通過刺激各種感官，讓他們在數學活動中了解知識的形成和發展過程，在解題過程中培養自己的思維監控能力，積累基本活動經驗.否則，帶來的后果就是學生只會做“見過的”題，或者對于諸如解析問題解題思路是清楚的，目標是明確的，卻往往陷于“復雜”的運算當中不能自拔.今年的第18題就是一個很好的例證，考后一些學生告訴我他連第⑵問的第①小題都沒拿下來，可見其平時的解析幾何題有多少是能獨立算到底的.因此，課堂中我們要舍得花時間，讓學生在解決問題的過程中，獨立地審題、獨立地做題，當學生出現問題時，不要急于拋出答案，而要適時引導和點撥，然后讓學生充分的交流和深刻的感悟.只有這樣才能將平時積累的基本活動經驗內化為解題時的自覺行為.

2.3 重視創新，提升核心素養

在國家倡導“大眾創新、萬眾創新”的背景下，“創新”已成為教育界關注的熱點. 作為高考科目的數學理應承擔起這樣的責任，所以，數學試題會有一定難度并保持合理的區分度，江蘇高考也是如此，如今年數學試卷的第14題、19題和20題.所以，我們教師在復習教學中要為學生多創設自主探究與發現的機會，通過有意義有價值的開放型問題的引導，激發他們的潛能，鼓勵他們提出更多、更好的想法，對合理之處予以表揚，不妥之處及時提出意見與建議，讓其真正經歷思維的探究過程.例如，在例題教學中，當學生呈現出不同的解法之后，教師便可追問學生：還有別的想法嗎？你覺得這幾個方法的異同點是什么？還能進一步優化嗎？下次遇到此類問題你準備從何處入手？通過一系列問題，培養學生質疑的好習慣，優化他們的創新心理.總之，學生的創新精神不是一朝一夕能夠養成的，它是在潛移默化中形成的，也許這些需要時間，或以犧牲課堂時間為代價.但我們相信，只有這樣才能培養學生的創新精神和發散性思維，發展其無限的潛力，并最終達到提升其核心素養的目的.