大穩定 小創新

安學保

【摘 要】 ?研究2018年全國新課標Ⅰ卷23道試題，該試卷堅持大穩定小創新、深度融合數學思想，全面考查數學能力、注重創新意識和應用意識的考查，由此對中學數學教學和高三復習提出合理化的建議.

【關鍵詞】 ?2018年高考;新課標Ⅰ卷;試卷分析;復習建議

2018年山東省高考數學恢復使用全國課標Ⅰ卷.今年的新課標Ⅰ卷依然延續了往年試題的風格，進一步以“立德樹人、服務選才、引導教學”作為高考的核心功能，加強“必備知識、關鍵能力、學科素養、核心價值”四個層次的考查，體現“基礎性、綜合性、應用性、創新性”四個方面的要求.命題嚴格遵循《2018年普通高等學校招生全國統一考試大綱（課程標準實驗版）》（以下簡稱《考試大綱》）和《2018年普通高等學校招生全國統一考試（課程標準實驗版）全國卷考試說明》（以下簡稱《考試說明》）.整份試卷以知識為載體，以思維為核心，考查學生的數學核心素養，充分體現了數學學科特點.試題難度安排適當，題設立意新穎，文、理科兩份試卷難、中、易的比例分配恰當.試卷具有很高的信度、效度和區分度.達到了考基礎、考能力、考素質、考素養的考試目標.今年的全國新課標Ⅰ卷數學試題主要呈現如下幾個特點：

1 堅持大穩定，追求小創新

每年的高考試題都在穩定中追求創新，今年新課標Ⅰ卷也不例外.試卷全面考查基礎知識，重點考查核心知識，重視對數學思想及數學本質的考查，強調通性通法，淡化數學技巧.但同時也鼓勵考生發散思維、不拘一格.

復數運算、集合運算、函數、平面向量、概率統計、線性規劃、三角函數、文科的解三角形、理科的數列、圓錐曲線等基礎知識在選擇填空題中均進行了有效的考查，這部分試題有利于穩定考生的情緒;解答題中，理科的解三角形、文科的數列、立體幾何、概率統計、直線與圓錐曲線、函數與導數及選做題等高中的主干內容也進行了重點考查，充分體現了試卷對高中數學知識考查的基礎性、全面性和綜合性.

試題對數形結合思想、分類討論思想、轉化與化歸思想、函數與方程思想、特殊與一般的思想及常用的數學基本方法均有考查，很多問題具有典型性、示范性，能體現數學核心素養，百考不厭、常考常新，如理科21題的函數與導數問題的單調性討論及不等式的證明.

試題注重題型的設計創新，綜合考查數學學科素養，試題設問新穎.理科填空題第10題以古希臘數學家研究的幾何圖形為情境，設計了幾何概型的概率計算問題;填空題的第16題，考查利用導數研究三角函數的最值問題，體現導數工具在研究函數最值問題中的一般性應用;解答題的第20題還重點對概率統計知識及利用導數求函數最值進行有機的 結合.

2 深度融合數學思想、全面考查數學能力

數學思想和方法是數學的高度凝結，是數學的核心，對數學的理解和學習都要圍繞著對數學思想和方法的認識展開，對數學思想和方法的認識是學習數學的主要目的，中學數學教學要體現數學思想和方法的教學，高考試題作為對中學數學教學的檢驗，必須體現這樣的目的，必須充分體現數學思想和方法的考查，要達到這個目的，通過設計知識交匯處的題目，每個試題要在知識的涵蓋下，深度融合數學的思想和方法，達到看不到思想，卻處處體現思想的目的，充分考查考生掌握的數學知識是否全面，應用數學方法是否全面、靈活，能否快速準確找到解決問題的數學思維方式和數學方法.這一點在 2018年的新課標Ⅰ卷中得到了充分體現.

（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD;

（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

在第（1）問的證明中，既可以由幾何方法利用面面垂直的判定定理由線面垂直證明面面垂直，或過P直接做面ABFD的垂線，證明垂線在面PEF內，還可以做出二面角的平面角繼而證明該平面角是直角;當然也可以通過建立空間直角坐標系，用向量法證明其中的線線垂直或是面面垂直.

第（2）問線面角的求法，除了常用的向量法，當然還可以使用幾何方法求解.

立體幾何是考查學生空間想象能力，運算求解能力和邏輯推理能力的重要載體，本題借助平面圖形的折疊，考查了空間幾何圖形中的面面垂直，以及直線與平面所成的角.解決本題，不可或缺的當然還有數形結合的思想.本題平均得分6.89分.

解析幾何是考查數形結合思想的重要載體，2018年的新課標Ⅰ卷，理科和文科分別選擇橢圓和拋物線為曲線背景，理科與文科采用相同的設問，問題題設簡明扼要，設問清晰.

通過問題的分層設計，由淺入深，考查直線和圓錐曲線的幾何性質，給不同基礎的學生提供了思想的空間和展示才華的平臺.其中理科將該題的位置調到19題，難度較往年略低，考查通性通法和常規的運算技巧，但同時堅持能力立意.

【理19】設橢圓C： x2 2 +y2=1的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為 2，0 .

（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程;

（2）設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

第（1）問解答較容易，第（2）問中考生答題方法大體有以下幾個角度：

①把證角度相等問題，轉化為角的正切值相等，繼而轉化為斜率互為相反數（或斜率和為零）;

②把證角度相等問題，轉化為證角平分線上的點到角兩邊距離相等;

③把證角度相等問題，利用余弦定理或向量的夾角公式轉化為證角的余弦值相等;

④利用三角形內角平分線定理的逆定理，證明線段成比例;

⑤證明兩直線在y軸上的截距相等.

本題理科平均得分6.03分，文科平均得分2.66分.導致學生失分的幾個主要方面為：

①受高三復習思維慣性的影響，直接放棄了第二問;

②無法正確地將幾何問題進行解析;

③利用直線方程或是曲線方程進行消元時目標不明確;

④消元和整理化簡的過程不完整，或是化簡出現錯誤，無法得出正確結論.

解析幾何考查學生運算求解能力、分類討論思想的同時側重考查學生的轉化和化歸的能力，給學生提供了從不同角度去分析問題和解決問題的可能，突出考查了用解析方法解決幾何問題的能力，使學生體會到幾何問題“解析化”途徑的研究探索和選擇.平面解析幾何重點考查學生的直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理和數學抽象等數學學科素養，在高考的命題中是兼顧著數學壓軸題和考查基本活動經驗的首選載體.

3 注重創新意識和應用意識的考查

數學的應用與創新是中學數學教學的一個非常重要的方面，數學的應用應該包括兩個方面，首先是如何將所學的數學知識應用于實際問題的求解，用數學知識解決實際問題是數學應用的一個重要方面.另一方面，如何在已有的數學知識基礎上推陳出新，建立更新的數學結果，也是數學的一個非常重要的應用方面，后者我們常常稱之為創新，2018年的高考數學試題中，有相當數量的試題是考查考生的應用意識和創新意識的.

文理選擇題第3題，以新農村建設為背景，考查統計學中的識圖，試題貼近生產生活實際，具有濃厚的時代氣息，體現數學的應用價值.理科20題以產品質量檢查為背景，設計的問題具有很強的現實意義，如何根據數學期望進行科學合理的決策，不僅考查考生對概率統計知識的理解，更是考查概率統計知識在數學和生活中的應用，使考生體會到數學知識與現實生活的息息相關.

【理20】某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為p（0<p<1），且各件產品是否為不合格品相互獨立.

（1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點p 0.

（2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p 0作為p的值.已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

（ⅰ）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX;

（ⅱ）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？

解 （1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（p），則

f（p）=C220p2 （1-p） 18，所以f′（p）=2C220p （1-p） 17（1-10p），

令f′（p）=0，得p=0.1，

當p∈（0，0.1）時，f′（p）>0，

當p∈（0.1，1）時，f′（p）<0，

所以f（p）的最大值點p 0=0.1.

（2）（ⅰ）由（1）知p=0.1，

令Y表示余下的180件產品中的不合格品數，依題意知Y～B（180，0.1），

X=20×2+25Y，即X=40+25Y，

所以EX=E（40+25Y）=40+25EY=490.

（ⅱ）如果對余下的產品作檢驗，由這一箱產品所需要的檢驗費為400元，因為EX>400，

所以應該對余下的產品進行檢驗.

對于剛剛恢復使用全國卷的山東考生對該題表現出了明顯的不適應，再加上本題安排在解答題20題壓軸題的位置，理科考生的平均得分只有2.13分，甚至低于21題的平均得分3.12分.同時也說明，提升學生的應用意識和創新意識應該是我們數學教學一直努力的目標.

4 對中學數學教學與學習及高三復習的啟示

今年的高考命題為今后的課程改革和高考改革提供哪些重要的信息成為人們關注的焦點. 高考命題的導向在很大程度上決定著中學推行新課改的力度和發展新課改的深度.因此，今年的高考試題和考生答卷情況備受關注.為了更好地進行深化課程改革，更全面地推進中學素質教育，需要認真研究和分析學生在高考答題中出現的問題，以反思我們在中學教學過程中的問題，促進中學數學的教學與學習.

4.1 注重基本知識和技能的學習，加強對數學本質的研究

高考的最終目的是為高校輸送合格的人才，考生要能夠順利完成未來高校的學習， 必須具備一定的數學知識和數學素養， 所有這些都應該是高考試題中重點體現的， 而這些知識和思想又恰恰是我們中學數學中強調的基本知識和基本技能.中學的課程無論怎么改革，都不會丟掉“四基”：基本數學知識、基本數學技能、基本數學思想方法和基本的數學活動經驗.高考無論如何變化，對基本知識和基本技能的考核永遠是不會變的，這是不能有任何含糊的原則.從今年乃至近幾年甚至自高考以來我們看到，不重視“四基”的考生，期望取得高分是很難的.

高三復習應重點抓住以下幾個方面的復習：一是和“圖”有關的內容.如：統計圖、函數的圖象性質及變換、空間線面位置關系、直線與圓錐曲線的位置關系、數形結合的思想方法等;二是與“函數”有關的內容，如函數的性質及圍繞研究函數性質的相關知識和方法（導數、數列、解析幾何等）、函數與方程的思想方法、特殊與一般的思想方法、變換的思想方法;三是數據的收集、整理、分析和應用，如統計與概率、線性規劃等相關的應用問題，體現必然與或然的數學思想.

4.2 要重視培養學生的數學運算、數據分析等能力

數學運算和數據分析作為高中數學核心素養中的兩條，可以體現出學生數學學習的基本功，近幾年全國卷高考試題一直重視考查學生這兩方面的能力，而且還有愈演愈烈的趨勢.最直觀的感覺就是今年高考的每一道試題無論難易程度如何，學生都得動筆認真算一算才能得到答案，很少有用眼睛觀察或稍微演算一下就能得到正確結果的，這要求我們老師在平常教學中要注重培養學生的運算能力，要加大運算的訓練量，要有提升學生運算能力的方法和措施，以應對高考中的大量運算問題.

全國新課標Ⅰ卷非常重視考查學生的數據分析能力，不難推測試題命制將繼續以統計和統計案例為載體，考查學生分析問題和解決問題的能力，提升學生的數據處理能力及數據分析素養，因此在高三復習課中要重視培養和提升學生的數據分析能力，要借助統計案例知識創造平臺引導學生進行數據分析，并提升應用數據進行科學、合理決策的 能力.