從2018年浙江省數(shù)學高考管窺數(shù)學本質(zhì)與運算

俞昕

【摘 要】 ?2018年是浙江省新高考第二年，文理合卷背景下更注重數(shù)學本質(zhì)與運算.技巧不是最重要的，掌握本質(zhì)才是學習數(shù)學的秘訣，在掌握本質(zhì)的基礎(chǔ)上還要具有精準快的運算能力.2018年浙江卷充分體現(xiàn)數(shù)學本質(zhì)與運算的重要性，引發(fā)一線教師的反思，對今后的教學具有一定的指導作用.

【關(guān)鍵詞】 ?新高考;文理合卷;數(shù)學本質(zhì);數(shù)學運算

2018年高考落下帷幕，筆者在完整做過浙江省數(shù)學卷之后深有感觸：新課改數(shù)學文理合卷背景下的數(shù)學教學更應(yīng)注重數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，尤其是注重數(shù)學本質(zhì)與數(shù)學運算.下面筆者就粗淺的談?wù)?018年浙江卷對今后數(shù)學教學的啟示.

1 “廣趣深”的數(shù)學本質(zhì)需細水長流

今年高考結(jié)束后無論是教師還是學生又是一陣嘩然“高三第二學期復(fù)習白教（學）了”，引起嘩然的主要原因在于今年的試卷突破了前兩年固定的模式，解答題第20題由函數(shù)導數(shù)題變?yōu)閿?shù)列題，而第22題由數(shù)列不等式題變?yōu)楹瘮?shù)導數(shù)題.平時幾乎所有各市地的模考卷都是模仿前兩年的高考卷模式，學生和教師都已經(jīng)完全適應(yīng)了這樣的模式，突然的改變讓學生和教師都措手不及，學生心理上掀起了些許波瀾.作為考生高考已經(jīng)過去了，但是作為教師應(yīng)該靜下心來反思為什么會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象，主要原因是我們在高三第二學期二輪復(fù)習中太多的側(cè)重于固態(tài)模式訓練，而忽略了“廣趣深”的數(shù)學本質(zhì)的細水長流.

1.1 剖析原題

選擇題的最后三題和填空題的最后一題作為拉開區(qū)分度的小題并沒有體現(xiàn)特別的技巧性，而是以常規(guī)題型為載體，充分圍繞著基本的數(shù)學核心概念、核心思想方法以及核心運算，淋漓盡致地展現(xiàn)了數(shù)學本質(zhì).

第8題：已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段AB上的點（不含端點），設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則（? ）.

A.θ1≤θ2≤θ3?? B. θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2?? D. θ2≤θ3≤θ1

第8題將三種重要的空間角：線線角、線面角、面面角整合在正四棱錐當中.回歸到最本質(zhì)的三種空間角的定義，首先考查學生能否運用定義作出空間角，然后對于線面角和線線角以及線面角和面面角的比較均可以通過構(gòu)造“鱉臑”解決，而對于線線角和面面角的比較可以類似的通過構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)值的比較來解決.此題將傳統(tǒng)立體幾何中最經(jīng)典最本質(zhì)的精華聚集在一起，考點明確直接，只要我們平時注重立體幾何的傳統(tǒng)法教學，對于考生來講應(yīng)該不難解決.

第9題：已知a，b，e是平面向量，e是單位向量，若非零向量a與e的夾角為 π 3 ，向量b滿足

b 2-4e·b+3=0，則|a-b|的最小值是（? ）.

A. 3 -1? B.? 3 +1? C. 2? D. 2- 3

第9題對于學生來講可以說是“小清新”，雖然是新題但學生似曾相識，常規(guī)的條件中蘊含著最本質(zhì)的向量關(guān)系“垂直”.只要學生能夠挖掘出向量b-3e和b-e垂直，那么問題就迎刃而解了.

第10題：已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1>1，則（? ）.

A.a1<a3，a2<a4?? B. a1>a3，a2<a4

C.a1<a3，a2>a4?? D. a1>a3，a2>a4

第10題將數(shù)列、函數(shù)和不等式知識相結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學知識的統(tǒng)一性與聯(lián)貫性.條件

a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）可以聯(lián)想到構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx-x+1，通過證明經(jīng)典的對數(shù)

不等式lnx≤x-1得到a4≤-1，且q<0，然后運用等比數(shù)列和對數(shù)的知識分析可以得到-1<q<0.

仔細分析可以發(fā)現(xiàn)第10題作為選擇壓軸題非常巧妙地考查了學生數(shù)列、函數(shù)和不等式中的基本思想方法，沒有側(cè)重于技巧，而是側(cè)重于數(shù)學本質(zhì)的思想方法.第17題：已知點P（0，1），橢圓 ?x 2 4 +y 2=m（m>1）上兩點A，B滿足 AP =2 PB ，則當m=?時，點B橫坐標的絕對值最大.

第17題可以說是一道常規(guī)的解析幾何解答題，聯(lián)立方程的思想、向量坐標化思想、函數(shù)最值思想都是高中數(shù)學中的常規(guī)思想方法，落實了這些基本的思想方法，就只要運算過關(guān)即可.1.2 反思教學

反思我們高三第二學期第二輪復(fù)習的教學，確實存在事倍功半的現(xiàn)象.首先是我們的專題教學始終是圍繞著前幾年高考的模式，基本分為：三角函數(shù)、立體幾何、函數(shù)導數(shù)、解析幾何、數(shù)列不等式五大知識模塊.尤其是根據(jù)前兩年高考命題模式，在函數(shù)不等式和數(shù)列不等式的各種放縮技巧上花費了很多的時間，各種數(shù)列不等式放縮的方法都總結(jié)得非常好，教師和學生也進行深入學習.善于對高考試題進行反思與總結(jié)是好現(xiàn)象，但是如果演變?yōu)榧儜?yīng)試教育那就得不償失，就會造成今年高考結(jié)束后教師和學生多多少少都會叫苦“高三一個學期白學了”.所以高三的二輪復(fù)習教學還是應(yīng)該腳踏實地、扎扎實實的結(jié)合考綱，把數(shù)學最本質(zhì)的、最重要的東西挖掘出來，不偏不倚地讓學生對所有數(shù)學知識進行全面探究與深入學習.

其次是高三二輪復(fù)習中進行的模考有些過于模式化、難度偏大、技巧性較強、梯度不夠明顯.文理合卷的初衷應(yīng)該是兼顧文理學生，全面發(fā)展學生的核心素養(yǎng)，充分體現(xiàn)梯度.夯實基礎(chǔ)是首要條件，所以高考的選擇填空前幾題一馬平川，主要就是考查高中數(shù)學中最基礎(chǔ)最本質(zhì)的內(nèi)容，只要學生基本功扎實就可以迎刃而解;注重數(shù)學知識的橫縱向聯(lián)系以及數(shù)學思想方法的充分滲透是高考中最主要的考查點，所謂的中等難度以上題目和壓軸題無疑就是從多個角度充分展現(xiàn)數(shù)學的統(tǒng)一性與連貫性.

基于以上兩點，筆者覺得高三第二學期二輪復(fù)習具有很大的挑戰(zhàn)性和研究價值.在一輪復(fù)習已經(jīng)全面覆蓋知識點的基礎(chǔ)上，二輪復(fù)習可以嘗試“以點帶面”，以學生為主，深入挖掘數(shù)學概念，發(fā)散學生數(shù)學思維，培養(yǎng)學生核心素養(yǎng).比如以今年高考的壓軸題為例：已知函數(shù)f（x）= x -lnx，（1）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）處導數(shù)相等，證明：f（x1）+f（x2）>8-8ln2;（2）若a≤3-4ln2，證明：對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f（x）有唯一公共點.此題是以導數(shù)概念為背景的一道綜合題，其中第（2）小題蘊含著二階導數(shù)反映的函數(shù)凹凸性，雖然函數(shù)的凹凸性并不在考綱范圍內(nèi)，但是如果我們從導數(shù)的概念出發(fā)：導函數(shù)的正負刻畫原函數(shù)的單調(diào)性，

那么二階導數(shù)的正負則是刻畫二階導數(shù)的原函數(shù)（一階導數(shù)）的單調(diào)性.如果一階導數(shù)為正，二階導數(shù)也為正，則原函數(shù)遞增速率越來越快;如果一階導數(shù)為 ?[JZ] 圖1

正，二階導數(shù)為負，則原函數(shù)遞增速率越來越慢.通過求導計算得到f′（4）=0和f″（16）=0可以畫出原函數(shù)f（x）的圖像（如圖1所示），站在形的角度深挖知識點就會豁然開朗.2 “精準快”的數(shù)學運算需滴水穿石

2018年浙江省高中數(shù)學拔尖學生培養(yǎng)研討會上李勝宏教授強調(diào)：運算不強的選手走不遠.結(jié)合今年浙江省數(shù)學高考，李教授的話引起了我的反思：如今學生的運算能力比較薄弱，主要反映在解析幾何問題上.而高考對運算的要求一向都比較高，就目前的形式看，要求有增無減.

2.1 剖析原題

今年高考中的解析幾何問題實際上與2011年浙江省高考解析幾何試題類似.

2011年：如圖2，已知拋物線C 1：x2=y，圓C 2：x2+（y-4）2=1的圓心為點M.

（Ⅰ）求點M到拋物線C 1的準線的距離;

（Ⅱ）已知點P是拋物線C 1上一點（異于原點），過點P作圓C 1的兩條切線，交拋物線C 1于A，B兩點，

若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程.

2018年：如圖3，已知點P是y軸左側(cè)（不含y軸）一點，拋物線C：y 2=4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上.

（Ⅰ）設(shè)AB中點為M，證明：PM垂直于y軸;

（Ⅱ）若P是半橢圓x2+ y2 4 =1（x<0）上的動點，求△PAB面積的取值范圍.盡管學生對試題的解答思路明確、路徑清晰、方法常規(guī)，然而對運算能力提出了較高的要求，運算是大量的，運算一定要落實，不僅要有精細迅速的運算技能，還需根據(jù)條件和目標不斷確定和調(diào)整運算方法和路徑，需在運算中堅持到底，在運算中彰顯能力，否則便會有算不到底，來不及算的遺憾，在此，學生的核心素養(yǎng)能力高下立判.

又比如2018年填空壓軸題：已知點P（0，1），橢圓 ?x 2 4 +y 2=m（m>1）上兩點A，B滿足 AP =2 PB ，則當m=[CD#3]時，點B橫坐標的絕對值最大.

此題是一道以橢圓為背景的常規(guī)解析幾何計算題，完全可以作為一道解答題處理，所以很明顯，這是在考查學生的計算能力.在這樣的位置考查學生的計算能力需要學生有強大的心理與計算的穩(wěn)定性.作為數(shù)學基本技能相信高考會延續(xù)強調(diào)運算能力的風格，所以如何培養(yǎng)與強化學生運算能力成為我們接下來數(shù)學教學需要研究的課題.2.2 反思教學

從目前初中數(shù)學教學內(nèi)容來看，由于很多計算公式與方法不列入中考范圍，所以在一定程度上造成學生計算能力的削弱，而高中數(shù)學核心素養(yǎng)中運算能力是舉足輕重的，而培養(yǎng)學生運算能力對于教師來講亦是一項常規(guī)但又富有技巧性的工作.

2.2.1 運算能力培養(yǎng)要有長遠的打算

數(shù)學運算能力的培養(yǎng)是一項長久而艱巨的任務(wù)，它不可能在短時間內(nèi)一蹴而就.如今初中學生的計算能力較弱，尤其是分式運算、無理式運算、帶字母參數(shù)的運算特別薄弱，所以在學生進入高一之后就要有意識地培養(yǎng)學生的運算能力.雖然解析幾何是在高二階段才學習的，但是高一的函數(shù)學習仍然可以作為培養(yǎng)運算能力的主要載體.比如較復(fù)雜的指數(shù)對數(shù)的運算，包括指數(shù)對數(shù)方程與不等式、帶根號的無理式運算、含多個字母參數(shù)需要分類討論的復(fù)雜運算等等.總之，高一為學生打下堅實的運算基礎(chǔ)對于高二學習解析幾何是大有裨益的.

2.2.2 運算能力的培養(yǎng)要有細致的計劃

數(shù)學運算能力的培養(yǎng)是一項復(fù)雜而細致的任務(wù).我個人認為教師應(yīng)該為學生制定詳細的計劃，比如每天需完成一定的計算任務(wù)，細水長流、滴水穿石.在備課組的周練或周考命題中，有意識地放上一兩道考查學生運算能力的試題.加強限時訓練，數(shù)學的限時訓練并不一定非要兩個小時的高考標準模式，平時的課堂教學中可以實施15分鐘或半個小時的小型限時訓練以提高學生的運算能力.尤其在學習了解析幾何之后，即使后續(xù)在學習其他數(shù)學知識的時候，也可以適當?shù)淖寣W生進行解析幾何的練習，比如在周練與周考中適當放入一兩道解析幾何問題，讓學生持續(xù)性地進行解析幾何的運算訓練.每位學生的數(shù)學思維可能存在一定的差異，但是數(shù)學運算能力卻是可以通過精心計劃、長期訓練得到不同程度的提高.

2.2.3 運算能力的培養(yǎng)要有不懈的意志

數(shù)學運算能力的培養(yǎng)是一項艱難而不懈的任務(wù).很多學生面對復(fù)雜的運算，如果沒有堅強的意志力，很容易投機取巧，或是只寫答案不寫過程，或是抄寫其他同學的答案.長此以往，有些學生平時缺乏自己的親身訓練，導致考試的時候算不完整、算不正確.長此以往，導致這些學生難以在考試的時候短時間內(nèi)運算做到“精準快”，從而失去信心.所以教師在平時的教學中一定要不厭其煩地跟學生強調(diào)運算“精準快”的重要性，不僅在課外要求學生加強運算的限時訓練，而且更重要的是堅持在課堂上不遺余力地留給學生充足的空間與時間進行即時的運算訓練，讓學生在課堂上當場進行運算訓練可以為學生創(chuàng)設(shè)一種考試時的緊張氛圍，經(jīng)過長期的訓練就能夠鍛煉出學生臨場處變不驚的淡定心態(tài)，非常有助于提高運算的“精準快”.