矩陣的廣義逆的求法及應用

劉浩翔

摘 要：矩形的廣義逆被廣泛應用于不同的學科領域，在理論和實踐中都起著十分關鍵的作用。矩陣的廣義逆在科學理論基礎上得到發展，應用最多的范圍有：數值代數、微積分、電網絡分析、最優化以及測量學等方面。本文例舉了廣義逆矩陣在光學自動設計、OPDM系統等實際領域的應用。主要對矩形廣義逆的定義和其性質進行分析，并從不同方面介紹廣義逆的應用。

關鍵詞：矩陣 廣義逆 求法 應用

中圖分類號：O15 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）11（a）-0224-02

矩陣廣義逆是一個具有很高應用價值的數學理論基礎，它是數學科學的一個分支理論。在處理一些有限維空間形式以及數量關系時，研究者們通常會采用廣義逆矩陣達到精確處理的目的。隨著信息時代的腳步越來越快，人們大量使用計算機處理技術問題，這也為矩陣廣義逆理論的發展和應用提供了機遇。矩陣廣義逆目前應用于系統辨識，控制論，規劃論，測量，計量學和統計學等多方面。

1 矩陣廣義逆的定義

（1）A是任意重復的矩陣，如果存在一個Y能夠滿足一個Moore—Penroce方程，且該方程滿足以下條件：AYA=A，YAY=Y，（AY）=YA，（YA）Y=A。

此時，我們把Y稱為A的一個Moore-Penroce廣義逆，也可以簡稱為A的加號逆，記為Y=A。

如果這個Y不能滿足以上所有條件，而只能夠滿足其中部分條件，就把它記作A的某幾條廣義逆。當該Y能夠滿足條件AYA=A時，我們把它稱作A的{1}廣義逆，也可以簡稱為A的減號逆；當該Y能夠同時滿足條件AYA=A和YAY=Y時，我們就把Y稱作A的{1，2}廣義逆，即Y=A{1，2}∈A{1，2}。

（2）我們把A設為一個m行n列的矩陣，如果Bij的級數等于Aij，就有A+B=（Aij+Bij）rxr。

（3）設A為一個m行n列的矩陣，如果/A/≠0，我們稱A為廣義非奇異矩陣，相反地，如果/A/=0，我們就說A是一個廣義奇異矩陣。

2 矩陣廣義逆的應用

矩陣廣義逆應解方程組的解題需要而出現，最早可以追溯到上世紀初，科學家學者在對于積分運算時研究得到積分算子的廣義逆，而后不斷有學者將其推廣和發展，在發展過程中，廣義逆矩陣的應用范圍也逐步擴展，到今天為止，廣義逆矩陣以廣泛應用于許多領域。

2.1 廣義逆矩陣應用于估計OPDM系統信道

OPDM系統是一種同時兼具時域和頻域兩種信號的多載波系統，時域和頻域這兩種信號在數學領域都可以用序列符號來表示，所以對于這種序列形式的處理，我們可以把它看成是對于數學矩陣的運算，也正是因為OPDM系統的這個特點，在處理OPDM系統問題時，可以使用矩陣廣義逆的相關理論基礎來進行研究和解答。在解決OPDM系統問題時，應用了矩形廣義逆的一個重要的理論作為基礎：時域的卷積可以用矩陣向量的乘積來表示，而此時的時域序列就成為了矩陣乘積，我們就可以通過對矩陣廣義逆的分析來進行對實際問題的解決。在對矩陣向量的推導過程中有以下公式：HT=H1TH2，通過上文我們得出的理論基礎與該公式相結合可以達到實際解決該問題的目的。矩陣廣義逆在OPDM系統中的應用，不僅方便了OPDM的運行，也為人們對信道和信號等領域的研究和新理論應用的研究開拓了新的方面，合理使用廣義逆對多領域有著很重要的輔助意義。

2.2 矩陣廣義逆應用在光學自動設計

光學自動設計是建立在物理科學基礎上的，在光學的應用方面發展起來的一個新型物理技術設計概念。光學自動設計對光學系統有兩方面的要求：（1）光學特性；（2）成像品質。作為光學理論的衍生設計，光學設計問題從數學角度來看就是要建立和求解一個像差方程組，這個過程就是根據系統要求的像差值從像差方程組：f1（x1，.......xn）=F1 fm（x1........xm）=Fm中找出所要求的解：x1.......xn，這就是我們要求得結構參數。在實際上，找不到函數的具體形式，只有在給出了系統參數時才能夠用計算數值的方法求得所要的函數值。

在光學透鏡的自動設計過程中，研究者發現了其中存在的兩方面的問題：（1）如何處理解決病態矩陣；（2）怎樣消除和消退像差對透鏡自動設計的影響。這兩個問題使用其他數學方法都很難有效解決，這時候矩陣的廣義逆的使用就能夠對這兩方面的問題統一進行處理，無需分開下手，能夠高效解決問題。在實際處理光學自動設計問題時，我們常將廣義逆矩陣與阻尼最小二乘法以及正交化法等數學方法進行合理地結合，使問題處理事半功倍。除了這兩種結合方式，適當地使用一些數學算法，計算程序以及邏輯關系，可以使我們在處理過程中減少一些不必要的計算和轉化，能夠更加高效、科學地對光學自動設計問題進行處理。這也增強了矩陣廣義逆的實用性。

2.3 矩陣廣義逆應用在嵌入式大氣數據傳感系統中的應用

眾所周知，大氣數據傳感系統是一種對大氣數據進行綜合的、高精度的提供的信息系統。嵌入式大氣系統的使用對大氣觀測和人類生活有十分重要的意義。而一個大氣數據傳感系統由多個軟件和結構組成，對數據的運算就顯得非常重要了。矩陣的廣義逆在嵌入式大氣數據傳感系統中的應用十分必要。矩陣的廣義逆可以處理嵌入式大氣處理系統的數據算法，可以對系統算法進行合理的改進和設計，以此達到實現系統簡化，減少系統運行負擔的目的。系統處理人員將系統的靜壓、參數等方面的問題進行算法改進，這些都必須要以Moore-Penrose廣義逆矩陣作為運算和改進的基礎。使用矩陣的廣義逆還可以對大氣數據傳感系統進行收斂性分析，運算過程精簡，算法明晰。得到的數值可以通過其他軟件進行數字的檢驗，通過對大氣數據傳感系統的矩陣的廣義逆和數字檢測軟件的聯合應用，可以發現，這種算法改進具有積極意義和高實現性，一些矩陣的廣義逆的求解過程可以被省略，這種方式大大減少了實際計算量。矩陣的廣義逆的選代過程被減少，實際操作起來也可以大大節省計算時間。在相同的計算時間下，可以完成更多的任務，同樣的，在保證相同精確度計算的同時，所用的時間相對較少。這一發現也為我們將廣義逆應用在其他領域開發了新道路，即可以將廣義逆理論與其他算法和軟件相結合，以達到高速、高效的目的。

3 結語

綜上所述，廣義逆作為一種數學算法，具有很高的應用性，除了對數學矩陣的計算還可以對其他應用領域的一些系統和數值進行方程運算，廣義逆矩陣的求解過程有很多種，廣義逆的類型也不盡相同，本文列舉了其中幾個命題和推論過程，并舉例說明在一些實際應用領域對廣義逆矩陣的使用，以及廣義逆矩陣在應用中所能達到的運算目的。除了本文列舉的幾個應用領域，廣義逆矩陣還常被應用在一些方案修改、線性方程組的研究、離散型動態投入產出模型的求解、PADE的pfaftan的計算公式的推導等方面。這些方面的應用體現了廣義逆矩陣所蘊含的數學理論和科學性以及數學美的體現。

參考文獻

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