導函數零點不可求問題的解答策略

葉良銓

摘 要：在全國卷中，導數幾乎是年年作為必考綜合，它是研究函數問題的一把“利劍”，但模式還是比較固定的，都是利用下一階導數的正負來研究上一階導數的增減，從而求導函數的零點是個關鍵點.所以當導函數零點不可求時就成了一道攔路虎，但也不是無法逾越，可以通過猜想驗根，虛擬設根，多次求導，局部求導，泰勒展式幾個策略來應對解決.

關鍵詞：導函數零點；虛擬設根；多次求導；局部求導；泰勒展式

導數是研究函數強有力的工具，可以研究函數的單調性，極值，最值.通過導數值的正、負來區分原函數的增、減性，進而來求極值，最值或是其它問題.可見求出導函數的零點是解決問題的關鍵，然而事與愿違，有些時候，導函數的零點不易求，更甚是有的導函數的零點是不可求的，如果此“點”得不到解決，那后繼的問題將戛然而止，導數的作用也就暗然失色，那怎么辦呢？本文就這個問題通過具體的例子談談我個人的看法.

1 觀察猜想，代入驗根

當導數零點不可求時，可猜想在特殊值處取得，如x=0，x=1……是經常被拿來猜想驗證的.

通常情況下，當導數零點不可求時，首先想到的應該是猜想可能的幾個特殊值去試驗.在含ex的復合函數中，一般取x=lnk（k>0）去驗；在含lnk的復合函數中，一般取x=ek去驗.

2 虛擬設根，謀求代換

在近幾年的高考全國卷中，導數問題都出現了求函數在給定區間上的零點，這就需要通過其導函數來分析，然而經常會遇到導函數具有零點但求解很煩瑣，更甚是根本無法求出導函數的零點.此時我們可類比解析幾何中“設而不求”思想，可以把導數的零點只設不求，如設x=x0，則有f'（x0）=0，此時我們就可以得到一個關于x0的代換式，然后尋求一種整體的代換，再結合已有的條件，從而使問題得以解決.

以上所述的幾個策略，是解決導函數零點不可求的有效途徑，成功逾越了障礙，有效擺脫了解題過程中的一些困境，時常給人一種“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的心靈愉悅.