典型松散體邊坡滾石運動距離的運動學分析

張亞輝, 張孟喜,陳 強,王 東,羅康軍

滾石運動是指物源區的石塊由于受到某種擾動,由靜止開始,通過下滑、碰撞彈跳、滾動等運動方式到達坡底,最后在平緩的地帶靜止下來的動力學過程[1-3].滾石災害多發生于山區,具有破壞性強的特點,較大的滾石會堵塞甚至砸壞公路.因此,對于邊坡上部物源區滾石較為豐富的公路路段需要進行合理繞避來防止滾石災害,繞避距離便成了問題的關鍵.

對于滾石的運動軌跡和距離,國外學者進行了較為豐富的研究,如羅依尼維里教授提出的落石運動軌跡預測公式[4]和根據牛頓碰撞理論建立的計算公式[5],Dorren[6]提出了達角模型(reach angle model)、影錐角模型(shallow angle model)等.國內對滾石運動的研究起步較晚.劉丹等[7]通過落石的模型試驗,討論了落石的質量、形狀和下滑高度等對落石水平運動距離的影響.俸錦福等[8]利用分段循環算法得到了滾動、拋物運動和坡面碰撞共3個運動階段的運動速度計算公式.楊海清等[9]基于接觸力學和運動學理論,將落石近似成橢圓形,提出了一種新的滾石運動軌跡預測公式.程強等[10]在實測汶川地震近400條崩塌滾石剖面的基礎上,通過統計分析研究了滾石運動特征和危害范圍參數.崔圣華等[11]通過現場試驗,得到了總體平直、角度局部變化的直線型斜坡滾石速度估算公式,進而估算了滾石的運動速度和沖擊能量.黃潤秋等[12]通過現場試驗分析了坡面特征對滾石停留位置、運動時間以及不同形狀的滾石運動特征的影響.

目前,國內外滾石運動軌跡和距離的研究大多局限于影響因素的現場試驗分析和經驗公式,而對滾石運動距離精確計算以及影響因素分析等問題研究較少.因此,本工作從運動學的角度,結合震后公路松散體邊坡滾石運動的過程和特點,通過理論分析建立了合理的數學模型,推導出考慮滾石自轉影響的運動距離計算公式,并對影響因素進行了定量的分析,同時結合某邊坡工程現場試驗,構建了Rocfall動態數值模型,驗證了計算公式的準確性和可行性.研究成果對山區道路繞避距離的確定具有指導意義.

1 滾石運動距離

1.1 計算圖式

圖1為汶川地震后都汶公路沿線的典型坡面,該坡面可分為3段:陡坡段、緩坡段和平直段.陡坡段基本上都是基巖裸露,坡角一般較大;緩坡段,由上部崩塌而堆積的松散堆積體構成,坡度一般較為平緩,恢復系數比較小.現場調查顯示,這種坡型所占的比例較大.因此,本工作主要討論滾石在該坡型上的運動.實際情況下,滾石可以從坡面上任一點脫落,但考慮到最不安全的情形,認為滾石在最高點由于受到某種擾動,從靜止開始沿①段滾下,到達②段發生碰撞彈跳,產生自轉角速度,之后沿坡面滾動,到達坡底,再次發生碰撞彈跳,當豎向速度小于某一值時開始滾動,直至靜止.

圖1 汶川地震后都汶公路沿線的典型坡面Fig.1 Typical slope along Duwen Road after Wen Chuan earthquake

另外,陡坡段中可能存在緩坡段,但是坡角一般較小,滾石滾下到達該緩坡段底端的速度較小,可以忽略不計.

對于其他不能簡化為圖1所示坡型的邊坡,本工作不作考慮.

1.2 影響因素

滾石的最終運動距離,取決于滾石到達坡底的速度以及平直段的恢復系數.因此要確定滾石運動距離,只需考慮滾石到達坡底速度的影響因素.由運動學原理可知,滾石在坡面上運動一般是加速運動的,則到達坡底的速度與滾石在坡面上運動的時間、加速度有關系.坡高越大,滾石在坡面上運動的時間越長;坡角越大,滾石運動的加速度越大;坡面越光滑,滾石所受到的摩擦力越小,加速度越大.綜上可得,滾石運動距離與坡高、坡角、坡面恢復系數以及坡面狀態有關.

滾石運動的計算圖式如圖2所示,其中粗實線為滾石運動的軌跡.圖2中:h1,h2分別為陡坡段和緩坡的坡高;θ1,θ2分別為陡坡段和緩坡段的坡角;?1,?2,?3分別為等效坡面休止角.等效坡面休止角是滾石能夠從坡頂靜止下滑的最小角度,取值與滾石形狀、運動狀態和坡面的粗糙程度等有關.對于同一邊坡,近似于球形的滾石的?值比其他形狀要小;對于相同的滾石,在光滑坡面上的?值大于粗糙坡面;滾動時的?值比滑動時小得多.RNi,RTi(i=2,3)為坡面各坡段的法向、切向恢復系數,值為該方向上碰撞后速度與碰撞前速度的比值.由于恢復系數在碰撞彈跳過程中才有意義,因此①段的恢復系數對于滾石運動距離幾乎沒有影響.坡面恢復系數的取值參考表1.S為滾石的最終運動距離,即滾石最終靜止位置到C點的距離.

圖2 滾石運動軌跡的計算圖式Fig.2 Calculation chart of rockfall trajectory

表1 不同坡面的法向、切向恢復系數Table 1 Coeきcients of restitution in normal and tangential directions of diあerent slopes

1.3 基本假定

從現場的觀測和試驗分析的結果可知,滾石在坡面上的運動是先在陡坡段滾動,然后在變坡點碰撞彈跳,接著在緩坡段滾動,之后又彈跳碰撞,最后滑動.但為了便于理論分析,做如下假設.

(1)計算過程中忽略滾石之間的相互影響,且運動過程中忽略空氣阻力.

(2)考慮滾石平動時,將滾石簡化為一個質點;考慮滾石轉動時,將滾石簡化為一剛性的均質球體.

(3)滾石的碰撞屬于剛體碰撞,碰撞過程中動能的損失通過恢復系數來考慮,且各坡段的恢復系數為恒定值.

1.4 計算過程

為了便于分析滾石運動的整個過程,按照坡段把全過程分為陡坡段、緩坡段和平直段進行分析.

1.4.1 陡坡段

根據現場觀測,陡坡段的坡角大多數小于60°,最大的也不超過65°.由文獻[13]可知,邊坡坡角小于60°時,滾石表現為滾動.滾石由A點靜止開始沿坡面滾下,摩擦系數μ可以看作為tan ?.由于?在取值時已考慮滾動的影響,故不再考慮自轉.于是,由V2B=2aS,可得

1.4.2 緩坡段

滾石自轉對于最終運動距離的影響不能忽略,因此在緩坡段需要考慮滾石的自轉.首先引入摩擦函數F1和尺度函數F2,F1和F2的表達式分別為

式中,w為滾石的自轉角速度,CF1=6.096 m/s,CF2=76.200 m/s為經驗常數.

再令VB2T2=F1×F2×VB2T1.若不考慮自轉影響,則無需引入F1和F2,而只考慮碰撞能量損失.

滾石以速度VB在B點發生碰撞,然后開始自轉,并產生角速度.緩坡段滾石運動的計算圖式和軌跡如圖3所示.

滾石與緩坡面第一次碰撞前,有

第一次碰撞后,則由能量守恒定律可得

圖3 緩坡段滾石運動軌跡的計算圖式Fig.3 Calculation chart of rockfall trajectory on transition slope

將VBN2和VBT2分解至沿坡向和垂直于坡向,可得

滾石在緩坡面碰撞后做拋物運動,由于一般情況下滾石不會直接到達坡面的平直段,故

滾石在緩坡面第二次碰撞前,有

將VBX2和VBY2分解至沿坡向和垂直于坡向,可得

第二次碰撞后,則有

式中,F1,F2對應于第二次碰撞時的狀態,即將VBN3,VBT3以及第二次碰撞前的角速度ω代入式(1)求得的結果.

由文獻[14]可知,當落石與坡面碰撞后的法向速度為0而切向速度不為0時,落石會沿坡面滾動.由于緩坡段一般是松散堆積體,法向恢復系數RN較小,碰撞后切向速度比法向速度大得多,滾石的運動變為沿切向的滾動,于是有

1.4.3 平直段

滾石以速度VC在C點發生碰撞,之后連續碰撞彈跳,當豎向速度減小到一定程度時,可認為滾石沿坡面運動.由表1可知,平直段坡面的法向恢復系數RN約為0.3,當碰撞兩次之后,法向速度約為最初的10%,是一個比較小的值.按照3次碰撞、2次彈跳的情況來考慮,滾石運動的計算圖式和運動軌跡如圖4所示.

圖4 平直段滾石運動軌跡計算圖式Fig.4 Calculation chart of rockfall trajectory on straight section

滾石在平直段坡面第一次碰撞前,有

將VCT1,VCN1,ωC,RN3,RT3代入式(2)可以得出F1,F2.

第一次碰撞后,則有

滾石在平直段坡面的第一段彈跳距離為

之后由于滾石的速度和角速度較小,自轉對于彈跳距離的影響較小,可以忽略不計,因此只考慮碰撞的動能損失.

滾石在平直段坡面第二次碰撞后,有

第二段彈跳距離為

滾石在平直段坡面第三次碰撞后,有

之后滾石沿平直段坡面運動直至停止,運動距離為

綜上可得,滾石的最終運動距離為

若以S′表示滾石停止點到下落點的距離,則

1.5 對比驗證

選取文獻[3]中球形滾石的4組現場試驗(S9,S10,S11,S12),試驗場地剖面如圖5所示.坡面長度約為62.8 m;AB段坡角約為40°,垂直高度約為20.0 m;BD段坡角約為35°,垂直高度約為18.1 m;AC段坡面主要為石灰渣,膠結良好;CD段坡面主要為花崗巖石材碎渣,較松散.選取質量為11 kg的近似于球形的石塊,到達坡面D點的速度為18.93 m/s,平臺段的摩擦系數為0.48,最終滾動距離為11 m.據此,利用Rocfall軟件建立邊坡模型,模型的參數取值如表2所示.

圖5 Rocfall建立模型及軌跡Fig.5 Rocfall model and motion trail

表2 邊坡模型參數的取值Table 2 Value of every parameter in program Rocfall

需要說明的是:RN2,RT2是根據表1選取的值,?1,?2取值是在合理的取值范圍內使滾石到達坡底的速度最接近于所測得的速率所確定的,其余的數據均為文獻[3]中所給出的數值,?3是滾動摩擦系數所還原的角度值.另外,由于本工作研究的是單個滾石在固定的位置靜止下滑的情況,因此在Rocfall軟件中RN和RT的取值將標準差定為0,且得到的軌跡可以看做是單一的.

Rocfall是一款用于分析滾石運動軌跡及防治措施的軟件,能夠計算出滾石在運動過程中,各個位置的速度、動能、彈跳高度等的取值和分布,同時也能得到滾石最終靜止的位置.

通過公式計算、Rocfall軟件和現場實測三種方式分別得到的滾石運動距離如表3所示.

表3 三種方式求得滾石運動距離的比較結果對比Table 3 Comparison on the result of three methods for calculating distance of rockfall m

由表3可以看出,Rocfall軟件模擬的結果比現場試驗數據大,這是由于模擬并未考慮實際情況下中坡面凹凸不平的情況.公式的計算結果比現場試驗結果要小,這是由于計算圖式只考慮滾石在緩坡段和平直段的2次彈跳,與實際情況不符,其中不考慮自轉的情況下,數據與實際相差較大,說明自轉對于滾石運動距離的影響較大.綜上可知,公式計算和Rocfall模擬的結果與現場試驗結果相差不大,可用于指導工程實踐,并且在公式計算中應該考慮滾石自轉的影響.

2 滾石運動距離的影響因素

滾石運動距離的影響因素包括坡高、坡角、坡面還原系數、坡面形式和滾石運動形式、大小等.下面選取5個典型的影響因素進行分析.

2.1 陡坡段坡角

陡坡段坡角對滾石運動距離的影響主要是通過改變滾石到達緩坡段的速度來實現的.坡角θ1不同時滾石的運動距離S如表4所示,二者的關系曲線如圖6所示.

表4 陡坡段坡角不同時滾石的運動距離Table 4 Distance of rockfall at diあerent slope angle of steep slope

圖6 陡坡段坡角與滾石運動距離的關系Fig.6 Curvilinear relationship between slope angle of steep slope and distance of rockfall

由圖6可以看出:曲線以45°左右為轉折點,當陡坡段坡度小于45°時,滾動距離隨陡坡段坡角增大而增大;當陡坡段坡角大于45°時,滾動距離隨陡坡段坡度增大而減小.這主要是因為滾石的運動距離與水平速度和運動時間有關,而運動時間是由豎向速度決定的.隨著坡角的增大,滾石的水平速度減小,豎向速度增加,運行時間增加.水平速度和運動時間兩個因素綜合影響,在陡坡段坡角為45°時滾石的運動距離取最大值.

2.2 法向恢復系數

法向恢復系數對于滾石運動距離的影響主要是通過改變滾石與坡面碰撞后的豎向速度,從而改變滾石空中的彈跳時間來實現的.由于陡坡段和緩坡段坡角相差不大,在交接點處發生碰撞的效果不明顯,因此取平直段的恢復系數進行研究.由表1可知,坡面的法向恢復系數主要在0.25～0.45取值.法向恢復系數RN3不同時滾石的運動距離S如表5所示,二者的曲線關系如圖7所示.

表5 法向恢復系數不同時滾石的運動距離Table 5 Distance of rockfall at diあerent normal coeきcient of restitution

圖7 法向恢復系數與滾石運動距離的關系Fig.7 Curvilinear relationship between normal coeきcient of restitution and distance of rockfall

由圖7可以看出,運動距離隨平直段法向恢復系數的增大而增大.這主要是因為隨著法向恢復系數的增大,碰撞后滾石的豎向速度增大,滾石在空中運行的時間越長,因此在水平速度不變的情況下,滾石的運動距離也就越大.

2.3 切向恢復系數

切向恢復系數對于滾石運動距離的影響主要是通過改變碰撞后滾石的水平速度來實現的.由表1可知,法向恢復系數主要在0.75～0.95取值.法向恢復系數RT3不同時滾石的運動距離S如表6所示,二者的關系曲線如圖8所示.

表6 切向恢復系數不同時滾石的運動距離Table 6 Distance of rockfall at diあerent tangential coeきcient of restitution

圖8 切向恢復系數與滾石運動距離的關系Fig.8 Curvilinear relationship between tangential coeきcient of restitution and distance of rockfall

由圖8可以看出,運動距離隨平直段切向恢復系數的增大而增大.這主要是因為隨著切向恢復系數的增大,碰撞后滾石的水平速度增大,而豎向速度沒有變化,即碰撞后滾石在空中運行時間不變,因此滾石的運動距離變大.

2.4 坡面休止角

坡面休止角對于運動距離的影響主要是通過改變滾石在坡面運動的加速度,進而改變到達坡角的速度來實現的.由于滾石到達緩坡段發生彈跳碰撞,在坡面運動的距離可能較短,而滾石在陡坡段是一直沿著坡面下滑的,因此選取陡坡段的坡面休止角作為研究對象.實際情況下滾石在坡面上滑動時,坡面休止角一般為15°～40°.坡面休止角?1不同時滾石的運動距離S如表7所示,二者的曲線關系如圖9所示.

表7 坡面休止角不同時滾石的運動距離Table 7 Distance of rockfall at diあerent slope of repose

圖9 坡面休止角與滾石運動距離的關系Fig.9 Curvilinear relationship between slope of repose and distance of rockfall

由圖9可以看出,滾石的運動距離隨著坡面休止角的增大而減小.因為隨著坡面休止角的增大,滾石在坡面運動過程中受到的摩擦力越大,則滾石到達坡底的速度越小,因此滾石的最終運動距離越小.

2.5 坡高

坡高對于運動距離的影響也是通過改變滾石到達坡底的速度來實現的,但是與坡面休止角不同,坡高主要是改變滾石在坡面的運動距離和時間,進而影響滾石到達坡底的速度.同理,取陡坡段坡高作為研究對象,則坡高不同時滾石的運動距離S如表8所示,二者的曲線關系如圖10所示.

表8 不同坡高及其對應的滾石運動距離Table 8 Distance of rockfall at diあerent height of slope

圖10 坡高與滾石運動距離的曲線關系Fig.10 Curvilinear relationship between height of slope and distance of rockfall

由圖10可以看出,滾石運動距離隨著坡高的增大而增大.這主要是因為隨著坡高的增大,在坡角不變的情況下坡面長度增加,即滾石在坡面加速運行的時間變長,因此到達坡底的速度增加,從而使得滾石的運動距離增大.

3 結論

本工作推導了考慮滾石自轉的典型松散體邊坡滾石運動距離的計算公式,并對其影響因素進行分析,主要得到以下結論.

(1)針對文獻[3]中的算例,若不考慮滾石自轉的影響,計算結果與試驗測量結果相差較大,這表明滾石自轉對于運動距離的影響較大.

(2)陡坡段坡角對于滾石運動距離的影響關系曲線近似于拋物線.在坡角小于45°時,滾石的運動距離隨著坡角的增大而增大;當坡角大于45°時,滾石的運動距離隨著坡角的增大而減小.

(3)切向恢復系數、法向恢復系數和陡坡段坡高均與滾石的運動距離正相關,即滾石的運動距離隨著3種因素的增大而增大.

(4)陡坡段坡面休止角與運動距離負相關,即滾石運動距離隨著坡面休止角的增大而減小.

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