空間桁架結構優化設計

戴一范++張淑杰++周陽

摘要： 為獲得空間桁架結構的合理構型，以某空間設備支撐結構為例，分析結構材料在設計空間的分布形式和桁架結構的傳力路徑。在已知載荷約束和設計空間大小的條件下，基于連續體拓撲優化方法，以靜態多工況剛度和動態固有頻率為多目標函數進行優化分析。依據設計要求確定計算模型的結點數和結點位置，獲得滿足要求的空間桁架結構并進行優化設計。優化結果比原模型質量減少36.7%，一階模態提高3.6%。

關鍵詞： 桁架結構； 拓撲優化； 多目標； 構型

中圖分類號： V19文獻標志碼： B

Optimization design of space truss structure

DAI Yifan1， ZHANG Shujie1， ZHOU Yang2

（1. School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics， Tongji University， Shanghai 200092， China；

2. Shanghai Yuesheng Information Technology Co.， Ltd.， Shanghai 201100， China）

Abstract： In order to obtain the reasonable configuration of space truss structure， the distribution form of structural material and the transmission path of truss structure are analyzed by taking the supporting structure of space equipment as an example. On the basis of continuum topology optimization method， under the condition that the load constraint and design space size are known， the static multicondition stiffness and dynamic natural frequency are optimized and analyzed as multiobjective functions. According to the design requirements， the node number and node positions of the calculation model are determined， the space truss structure is obtained， and the optimum design is achieved. The final optimization result is that the mass of the original model is reduced by 36.7% compared with the original models， and the first mode is improved by 3.6%.

Key words： truss structure； topology optimization； multiple objective； configuration

收稿日期： 2017[KG*9〗05[KG*9〗17修回日期： 2017[KG*9〗06[KG*9〗28

作者簡介： 戴一范（1989—），男，廣西平南人，碩士研究生，研究方向為航天器結構優化設計，（Email）08daiyifan@tongji.edu.cn0引言

桁架結構優化設計常用的基結構法[12]以虛擬的初始基結構入手，通過改變桿件結點位置、拓撲連接情況和截面尺寸實現桁架結構的拓撲和布局優化，其最優解是基結構的一個子集，因此合理的結構形式是整個結構優化的基礎。AZID等[3]基于遺傳算法，提出桁架基結構的自動形成機制，避免傳統的基結構法中存在的缺陷；姜冬菊等[4]智能生成形式多樣、合理的基結構代替傳統優化模型中單一基結構。此類問題的研究大多是針對二維平面桁架的。在特定的載荷和約束條件下，對于三維空間桁架，很難采用定量的方法來描述其結構形式，因此該類研究較少。

本文在已知三維設計空間大小和約束載荷的條件下，基于連續體拓撲優化方法建立優化模型，以多工況下靜態剛度和動態固有頻率為目標函數，獲得結構材料在設計空間的分布形式和傳力路徑，構造空間桁架的結構構型，并以此為基礎進行詳細設計。

1優化理論

1.1連續體拓撲優化

連續體拓撲優化主要針對平面、板殼、實體等結構，在滿足一定的邊界載荷條件下，尋找結構材料在設計空間的分布形式，并確定結構內有無孔洞以及孔洞的數量和位置等拓撲形式，使結構能將外載荷傳遞到支座。[5]

目前，連續體拓撲優化方法主要有均勻化方法、變密度法和變厚度法[6]等。其中，變密度法作為常用的優化方法，已經被大多數國外先進結構優化設計軟件采用，并取得良好的效果。變密度法采用固體各向同性材料懲罰（solid isotropic material with penalization，SIMP）模型方法，將有限元模型設計空間的每個單元的密度作為設計變量。引入一種假想的密度可變的材料，其相對密度（偽密度）與彈性模量之間的關系也是假定的，以每個單元的偽密度為設計變量，將結構拓撲優化問題轉化為材料最優分布設計問題。SIMP模型通過引入懲罰因子對中間密度值進行懲罰，使中間密度向01聚集，拓撲優化設計結果能很好地逼近實體和孔洞分明的01優化結果。[7]材料插值模型的懲罰函數定義為Ei（x）=xpE0，0≤xmin≤x<1（1）式中：Ei（x）為第i個單元的密度；E0為單元滿材料時的彈性模量；x為材料的相當密度；p為懲罰因子。

采用OptiStruct進行連續體拓撲優化，使用SIMP插值方法作為材料模型，用凸規劃法中的移動漸進線法作為優化算法。

1.2結構多目標拓撲優化目標函數

結構多目標拓撲優化以體積作為約束，同時考慮多工況下靜態剛度目標和動態振動頻率目標的拓撲優化。每一個工況對應一個剛度最優的拓撲結構，不同的載荷工況會得到不同的拓撲結構。[8]因此，多工況拓撲優化問題屬于多目標拓撲優化問題。本文由折中規劃法結合平均頻率法可得到多目標拓撲優化的綜合目標函數為[9]MIN F（x）=ω2mk=1wkCk（x）-Ck，minCk，max-Ck，min2+（1-ω）2Λmax-Λ（x）Λmax-Λmin212（2）式中：F（x）為綜合目標函數；ω為柔度目標函數的權重，取值為0.6；m為靜力載荷工況數，取值為4；wk為第k個工況的權值，分別取值為0.4、0.2、0.2和0.2；Ck，max和Ck，min分別為第k個工況柔度目標函數的最大值和最小值；Λ（x）為平均頻率；Λmax為固有頻率目標函數的最大值，可以通過單獨以頻率為目標進行優化獲得；Λmin為固有頻率目標函數的最小值，可采用原來模型的固有頻率。

2實例研究

為獲取某空間設備支撐桁架的結構形式，對其進行連續體拓撲優化。該桁架結構示意見圖1，其中黃色部分表示空間設備，為非設計區域；藍色部分表示支撐桁架所在的空間，即設計區域。設計區域直徑為3 m，高度為1 m。空間設備通過48個壓緊點連接到設計區域即支撐桁架上。

2.1邊界載荷條件

假設空間設備的質量為30 kg，通過48個壓緊點將自身結構質量均勻傳遞到設計區域上，代表支撐桁架所要承受的結構重力。支撐桁架通過底部的3個支撐點與底部基座相連接，設計要求其第1階固有頻率不小于60.0 Hz。設計區域的材料密度為1 500 kg/m3，彈性模量為200 GPa，泊松比為0.3。在本例中，主要考慮4種靜態載荷工況和1種動態固有頻率工況，模擬在實驗裝配及調試階段的靜力學環境，約束條件為底部3個支撐點固支，各工況描述見表1。

2.2優化模型建立

先建立結構的有限元模型，定義設計區域的材料屬性，確定載荷和邊界條件并建立相應的載荷分析工況。根據設計區域的幾何結構和空間布置要求，指定拓撲優化的設計空間。

拓撲優化模型包括設計變量、目標函數和約束條件3部分。以設計空間內每個單元的相對密度為設計變量，以式（2）為拓撲優化目標函數，以體積比（即優化結構體積與可設計結構體積的比值）為優化約束條件。具體優化問題可描述為：在5種工況下，以設計區域體積比為約束，使得結構的柔度最小（即剛度最大）并且第1階動態固有頻率最大。連續體結構拓撲優化問題的數學模型為

MINF（X）=f（x1，x2，…，xn），

X=（x1，x2，…，xn）

s.t.V（X）=ni=1xivi≤hni=1vi，i=1，…，n

Xli≤Xi≤Xui（3）

式中：X=x1，x2，…，xn為拓撲優化設計變量；xi為第i個單元的相對密度；F（X）為同時考慮剛度和頻率要求的多目標拓撲優化目標函數；V（X）為設計區域結構的總體積；h為設計區域的優化體積比；vi為第i個單元的體積。

2.3優化結果

采用數學規劃方法，在OptiStruct中通過求解靈敏度構造顯式模型，用最小步長迭代尋優計算，在計算結果收斂的前提下，經過81次迭代得到拓撲優化分析結果。隱藏相對密度小于0.1的單元，得到單元密度分布云圖見圖2，此結構即為同時滿足多工況靜態剛度要求和第1階動態固有頻率要求的拓撲優化結構。連續體拓撲優化數學模型中各目標的迭代歷程見圖3。結構第1階動態固有頻率經過81次迭代后收斂值為98.8 Hz，設計區域的優化體積比在迭代歷程中違反約束的上限值0.05。

2.4提取分析結果

由拓撲優化結果可以得到在靜態多工況下柔度最小且第1階固有頻率最大的結構。因此，可由圖2的單元密度分布云圖確定桁架材料在設計空間的分布形式和具體的傳力路徑，并按照沿桁架材料的分布形式和力的傳遞路徑布置桿件的原則，得到桁架結構的初步骨架模型和結點位置，見圖4。

去除所有單元密度分布，并根據圖4的結果抽象后用線和點來表示桿件和結點位置，得到桁架結構初步構型見圖5。

2.5確定空間桁架的結構形式

由連續體拓撲優化結果可知，第1階固有頻率為98.8 Hz，大于60.0 Hz，此時的優化結果是一個類剛架系統，雖然可以顯示對系統剛度貢獻最大的布局形式，但設計材料在各結點位置應處于固接的連續狀態。圖5中的桿件實際上是通過鉸接來連接的，并不是真實優化結果應有的固接連續狀態，會導致桁架結構剛度和穩定性不足。

為解決上述問題，需先在圖5所示的桁架結構初步構型基礎上添加一些非固定的設計結點，再通過連接選擇以增加桿件數，將桁架的結構形式擴展成更細的拓撲結構。具體的桿件連接措施為：（1）2根相鄰桿件間的夾角不要過小或過大，以近似為等邊三角形形狀為好；（2）2個結點間連接的桿件應盡可能最短，并且不能相交；（3）每個結點所連接的桿件數目不能超過8個。

綜合考慮工程實際要求，如邊界條件和設計空間的對稱性、最小距離限制、桁架最短桿長不小于30 cm等要求，確定非固定的設計結點數為3個，結點位置通過混沌序列在設計空間內隨機生成。首先通過混沌映射中經典的Logistic映射[10]產生具有混沌特性的任意點，然后再映射到給定的設計域內。Logistic映射方程為xn+1=λxn（1-xn），0

采用混沌序列的Logistic映射隨機生成非固定的設計結點后，經過桿件的連接選擇，獲得空間桁架的結構構型，見圖6，圖中的白線表示在圖5的桁架初步結構構型基礎上新添加的桿件。

3空間桁架結構的詳細設計

在圖6桁架結構構型的基礎上進行詳細設計，以桁架結構質量最小、第1階固有頻率最大為優化目標，由折中規劃法建立優化目標函數，優化模型見圖7。

以桁架結構中9類不同桿件的內徑R（見圖8）為設計變量進行優化。各桿件內徑R的初始值和變化量見表2。采用HyperMesh中的moph控制模塊定義R，經30步迭代計算后的優化結果見表3。最終優化結果顯示，桁架結構優化后的質量比原模型大幅減小，達到36.7%；第1階固有頻率有所提升，比原模型提高3.6%，符合設計要求。

4結論

針對空間復雜桁架結構難以確定結構形式的問題，以某空間設備支撐桁架為例，基于連續體拓撲優化方法，構建滿足剛度和頻率要求的多目標拓撲優化目標函數，獲得桁架材料在設計空間的分布形式和傳力路徑。根據實際工程要求確定結點數和桿件連接，獲得滿足設計要求的一種桁架結構形式，并在此基礎上進行詳細優化設計，最終結果比原模型質量減少36.7%，第1階模態提高3.6%，符合設計要求。本文提出的研究方法可為空間復雜桁架結構的優化設計提供借鑒和指導。參考文獻：

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