基于相關熵的擴頻周期估計方法

金 艷, 孫玖玲, 姬紅兵

(西安電子科技大學電子工程學院, 陜西 西安 710071)

0 引 言

直接序列擴頻(direct sequence spread spectrum, DSSS)信號采用擴頻序列將信號頻譜展寬,以滿足傳送帶寬遠遠大于發送信息所需帶寬的條件,降低了發射端信號的功率譜密度,使得信號能夠在低信噪比情況下傳播,因而直擴信號有很好的抗干擾性和抗截獲性,廣泛應用于軍事通信、衛星通信和衛星導航等系統中。在非合作通信中,直擴通信的這些優點給信號的檢測和參數估計帶來了新的挑戰。準確估計出接收信號的載頻、碼元速率、擴頻周期及擴頻序列等參數是完成信號的解調、解擴處理以及實現原始信號的捕獲的前提。

其中,擴頻周期的精確估計能夠更好地完成后續擴頻碼的估計工作,因此實現擴頻周期估計是非常重要的一步。針對擴頻周期估計問題,文獻[1]根據偽隨機碼良好的相關性和周期特性提出了相關檢測法,由接收信號相關函數的峰值間隔即可估計出擴頻周期;文獻[2]基于自相關提出了波動相關法,選擇合適的滑動窗對接收數據無重疊分段,由各段數據自相關二階矩累加平均的峰值間隔可估計擴頻周期。在國內研究中,文獻[3]提出了基于四階統計量的2-D切片法,高階統計量可以很好地抑制高斯噪聲,能達到較低信噪比容限,但其計算量較大;文獻[4]提出的倒譜法,對輸入信號的功率譜進行對數運算后再求其功率譜,在信噪比大于-12 dB的情況下能得到準確估計;文獻[5-7]提出二次譜處理方法,即對信號的功率譜作二次功率譜處理,在周期處得到譜峰;文獻[8]提出用四階累積量與二次譜相結合的方法,利用接收信號的四階累積量一維切片代替信號的相關函數做二次功率譜檢測,對高斯白噪聲有更好的抑制效果,但依然存在計算量大的問題。

文獻[9]提出了相關熵理論,相關熵可以看成是基于Parzen核估計Renyi二次熵的一種退化表示,廣泛應用于信道的盲均衡、時延估計等[10]領域。同時其又能夠反映兩個隨機變量的相似度,因此相關熵也可用于估計由信號傳輸遠近的不同而引起的信號時延。本文首先由相關熵定義,結合直擴信號模型分析了其隱含的周期性,據此提出一種估計擴頻周期的相關熵法,然后針對信息碼對擴頻周期估計的影響,引入延時相乘處理,得到一種改進方法。仿真實驗驗證了基于相關熵的算法可在低信噪比下準確估計出擴頻周期。

1 基于相關熵函數的擴頻周期估計

1.1 信號模型

1.1.1 短碼直擴信號

假設以擴頻碼速率Rc對信號采樣得到離散時間短碼直擴信號模型為

(1)

式中,A表示信號幅度;τ為傳輸時延對應的離散采樣值;n表示采樣時刻序號;b(k)、c(k)分別表示信息碼和擴頻碼,取值均為1或-1;v(k)表示均值為零、方差為σ2的加性高斯白噪聲;由于擴頻碼速率為Rc,則Tc=1/Rc為擴頻碼時寬;假設擴頻周期T0等于L倍擴頻碼元寬度,即T0=LTc。此時，短碼的每一位信息碼對應一周期擴頻碼。

1.1.2 長碼直擴信號

對接收的長碼直擴信號以擴頻碼速率Rc采樣后可表示為

(2)

式中,A、n、L、c(n)、v(n)定義與短碼直擴信號相同；b(n)表示離散的信息碼波形,信息碼元速率可以表示為Rb,信息碼元寬度Tb=1/Rb,則b(n)可以表示為

(3)

(4)

定義擴頻調制比M=L/G,表示每周期擴頻碼對應調制的碼元個數,當G1時為長碼直擴信號,而G=L或M=1時為短碼直擴信號。根據M是否為整數,又可將長碼分為周期長碼和非周期長碼，每周期擴頻碼調制多個信息碼。

1.2 相關熵及其性質

相關熵是一種廣義的相關函數,對于隨機過程{Xt,t∈T},T為時間集合,則其相關熵可定義[11]為

Vσ(t1,t2)=E[kσ(Xt1,Xt2)]

(5)

(2) 相關熵函數是一個對稱函數,Vσ(τ)=Vσ(-τ);

(3) 假設隨機過程X和Y滿足關系|Xt1-Xt2|>|Yt1-Yt2|,則Vσ(τX)

(6)

1.3 擴頻周期估計

1.3.1 短碼情況

m=1,2,…

(7)

Vest(m)=E[kσ(d(n)-d(n+m))]=

(8)

(9)

(10)

式中,P表示1倍周期長度L個擴頻碼元中有P個滿足d(n)=d(n+m),另外的L-P個滿足d(n)=-d(n+m)。所以,當N/2包含n0(n0≥2)個完整擴頻周期時,有

(11)

式中,n1表示N/2個信息碼元對應的n0個周期里有n1個信息碼取值符號相同,同理n2表示符號相反個數,則滿足n1+n2=n0;Q表示N個碼元中有Q個滿足d(n)=d(n+m)。

當n1≤n2時,有

(12)

當n1>n2時,有

(13)

1.3.2 長碼情況

對式(2),若記

由以上理論分析可得出基于相關熵的直擴信號周期估計方法的步驟如下:

步驟1對采樣后的信號進行相關熵計算,得到V(m);

步驟3整合得到的兩組坐標,根據周期性對這些坐標做進一步修正調整,由相鄰兩坐標之間間隔即可求得擴頻周期。

2 延時相乘相關熵法的擴頻周期估計

2.1 信息碼對相關熵法的影響

2.2 延遲相乘相關熵

為了減弱信息碼的影響,本文提出延遲相乘相關熵算法。取y(n)與延遲一個碼元的y(n+1)相乘得到新的序列y′(n)。m序列具有移位相加性,即m序列和它的移位序列模二相加后所得序列的本原多項式與m序列本原多項式相同,只是初始相位不同。因此,經延時相乘后序列的擴頻周期不會改變[12]。而信息碼寬遠大于擴頻碼元寬度,故延時相乘后信息碼對擴頻碼的影響可忽略不計。

以短碼直擴信號為例,即

y(n)×y(n+1)=

(14)

假設噪聲與信息碼和擴頻碼均不相關,忽略n=kL(k=1,2,…)對應的少數點,可得

3 仿真實驗及分析

3.1 相關熵核長參數σ的選取

仿真實驗擴頻碼采用m序列,擴頻碼周期L=63的短碼直擴信號,采樣速率為擴頻碼元速率。數據總長N=27L,SNR=-5 dB情況下,在σ取{0.01,0.1,1,5,10,20,50,100}時分別進行300次蒙特卡羅實驗。

σ取值對相關熵值的影響可由相關熵定義式分析得到,σ越大,熵值越大;σ越小,熵值越小。圖1(a)給出了擴頻周期估計結果的相對誤差隨σ取值變化情況,圖1(b)為對應局部放大圖。由仿真結果可知σ≥1時都能較準確估計出擴頻碼周期。

圖1 估計結果與σ取值的關系Fig.1 Relationship between the estimation result and the value of σ

3.2 延時相乘相關熵仿真

圖2是在擴頻碼采用m序列,擴頻碼周期L=63的短碼直擴信號,采樣速率為擴頻碼元速率,σ=10,不加噪聲情況下進行300次蒙特卡羅實驗的結果。可以看出,在擴頻周期的整數倍處相關熵峰值的取值情況與第2節理論分析一致。

圖2 不加噪聲短碼直擴信號的相關熵Fig.2 Correntropy of short-code DSSS signal without noise

圖3給出了在與圖2對應實驗同等條件下,僅有擴頻碼的相關熵,可以看出不受信息碼影響時擴頻碼相關熵在周期整數倍處有峰值,且峰值均大于非周期整數倍處取值。對比圖2、圖3及前面的分析可知,信息碼的存在使得擴頻碼相關熵的取值在一定程度上減小了,并使其在擴頻碼整數倍處的取值出現小于均值(如式(12)所示)和大于均值(如式(13)所示)兩種情況。

圖3 不加噪聲擴頻碼的相關熵Fig.3 Correntropy of spreading codes without noise

在與圖2對應實驗同等條件下,對新得到的序列作相關熵,得到結果如圖4所示。與圖2、圖3對比可知,直擴信號經延時相乘處理后能有效消除信息碼的影響。同時,峰值間隔沒有發生改變,驗證了延時相乘處理不會改變擴頻周期。

圖4 不加噪聲直擴信號延遲相乘相關熵Fig.4 Delay-multiplied correntropy of DS/SS without noise

3.3 擴頻碼周期估計仿真

在已有的擴頻周期估計方法中,目前最常用的有波動相關法[13]、倒譜估計法[14]和二次譜估計法[15],因此本文用這3種方法作為對比方法。

仿真實驗擴頻碼采用周期L=63的m序列[10],信號分別為短碼直擴信號,數據總長N1=27;擴頻調制比M2=3的周期長碼直擴信號,數據長度N2=81;擴頻調制比M3=4.5的非周期長碼直擴信號,數據總長N3=162。3種情況均取σ=10,采樣速率等于擴頻碼元速率。不同信噪比下,分別采用相關熵方法、延時相乘相關熵方法和波動相關法估計,做300次蒙特卡羅實驗。圖5～圖7分別為上述短碼、周期長碼和非周期長碼3組實驗在不同信噪比下對擴頻周期估計的相對誤差。

圖5 短碼直擴信號擴頻周期估計Fig.5 PN sequence period estimation of short-code DS/SS signal

圖6 周期長碼直擴信號擴頻周期估計Fig.6 PN sequence period estimation of periodic long-code DS/SS signal

圖7 非周期長碼直擴信號擴頻周期估計Fig.7 PN sequence period estimation of non-periodiclong-code DS/SS signal

短碼情況下,如圖5所示,對于擴頻碼周期估計,相關熵法能在SNR=-18 dB時達到97%的估計準確率,延時相乘相關熵法、倒譜估計法和二次譜估計法在信噪比不小于-13 dB 時可達到準確估計,而相關波動法只有在SNR≥-12 dB時估計準確率才能達到90%以上。相關熵法對短碼直擴信號擴頻周期估計的信噪比容限比倒譜法和二次譜法低3 dB,比波動相關法低6 dB,可見相關熵法的估計性能相對最優,而延時相乘相關熵法估計性能與倒譜和二次譜估計性能相當。

數據長度N=81L的周期長碼情況下,如圖6所示,相關熵法在SNR≥-13 dB時能達到96%以上估計準確率,二次譜估計法在SNR >-11 dB 時,估計性能不如相關熵法;倒譜法和延時相乘相關熵法信噪比均為-10 dB,波動相關法在SNR≥-10 dB 情況下才能得到準確估計,可以看出在上述實驗條件下5種方法的估計效果從信噪比容限角度分析差別不是很大,依然是相關熵法相對最佳,延時相乘相關熵法估計性能不如二次譜法,而較倒譜法和波動相關法好。

數據長度N=162的非周期長碼情況,如圖7所示,基于相關熵的兩種新方法都能在SNR≥-14 dB 時得到準確估計,倒譜估計法和二次譜估計法均可達到-9 dB 的信噪比容限,但波動相關法只有在SNR≥-9 dB 時才能得到準確估計。結果表明在非周期長碼直擴情況下,對于估計效果,基于相關熵兩種方法明顯優于常用的倒譜法、二次譜法和波動相關法。

對比圖5～圖7可以看出,對于相關熵法和延時相乘相關熵法,在短碼直擴信號情況下,前者的估計性能明顯優于后者,但在長碼情況下,前者并沒有顯著優勢。特別地,延時相乘相關熵法對非周期長碼直擴信號擴頻周期估計性能較相關熵法好。

4 結 論

針對高斯噪聲環境下直接序列擴頻信號的擴頻周期估計問題,本文首先推導出相關熵隱含的周期性,在此基礎上提出了相關熵法。然后分析了直擴信號中信息碼序列對擴頻周期估計的影響,對此提出一種能消除信息碼影響的延遲相乘相關熵估計法。論文通過數值仿真確定了相關熵定義中核長參數σ在擴頻周期估計中的最優取值范圍。最后,將本文所提出的基于相關熵的兩種方法與工程實際常用的倒譜法、二次譜法和波動相關法進行了比較。仿真結果表明基于相關熵的兩種方法在短碼和長碼情況下對擴頻周期的估計均有較好的性能。其中,在短碼和周期性長碼情況下,相關熵法估計性能明顯優于其他方法。特別地,對于短碼,相關熵法在信噪比低至-18 dB條件下都能準確估計出擴頻周期;延時相乘相關熵法估計性能與倒譜估計法相當,雖一定程度增加了計算量,但對于長碼,尤其是對非周期長碼情況下的擴頻周期估計性能優勢較為明顯。

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