基于改進型PASTd雙基地MIMO雷達角度跟蹤算法

張正言, 張劍云

(國防科技大學電子對抗學院, 安徽 合肥 230037)

0 引 言

隨著戰場環境的日益復雜,傳統雷達性能難以充分發揮,越來越難以適應戰爭需求。因此近年來越來越多的新體制雷達被提出,多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)雷達是新體制雷達中的典型代表,引起了眾多研究機構和學者的重點關注,公開發表了大量的研究成果。MIMO雷達有多個發射和多個接收雷達,發射雷達發射相互正交的信號,經目標反射后到達接收雷達,經過匹配濾波器后得到了多個路徑的信號。MIMO雷達充分利用了多個傳感器的優勢,與經典的相控陣雷達不同,MIMO雷達能夠明顯地提高目標檢測、定位、跟蹤等性能[1-5]。雙基地MIMO雷達在MIMO雷達體制中工程實現性最強,因此本文針對雙基地MIMO雷達展開研究。雙基地MIMO雷達是通過估計目標的發射角度(direction of departure, DOD)和接收角度(direction of arrival, DOA)來確定目標位置,因此有大量關于雙基地MIMO雷達收發角度估計的算法[6-13]。

上述算法都是針對靜止目標收發角度的估計,需要大量的快拍數據,并且復雜度較高,當目標運動時,每個快拍數據對應的目標角度不同,因此上述算法性能急劇下降甚至失效。實際戰場環境中,目標往往不是靜止的,運動目標相鄰時刻角度是相關的,相應的接收數據對應的角度不同,因此角度估計算法無法解決跟蹤問題,成為制約雙基地MIMO雷達實際應用的關鍵問題。目前公開發表跟蹤方面的文獻多是關于統計MIMO雷達的,而雙基地MIMO雷達跟蹤問題研究還較少,仍然沒有得到很好的解決。

關于MIMO雷達跟蹤方面的公開發表的文獻較少,文獻[14]中給出的單基地MIMO雷達跟蹤算法,算法復雜度較低,但是代價是跟蹤性能的降低。文獻[15]將Kalman引入到緊縮投影近似子空間跟蹤(projection approximation subspace tracking deflation, PASTd)算法,用Kalman濾波技術實現數據相關,并且算法收斂速度快。上述文獻都是關于單基地MIMO雷達目標跟蹤問題。

雙基地MIMO雷達與單基地MIMO雷達不同,由收發基地組成,對應的接收角和發射角不相等,因此聯合導向矢量更加復雜,上述文獻算法無法解決雙基地MIMO雷達目標跟蹤問題。文獻[16]針對地面干擾源定位問題,建立了新的信號模型,利用分數階模糊函數峰值點搜索實現速度估計,結合投影近似子空間跟蹤(projection approximation subspace tracking, PAST)算法實現對飛機運動狀態的實時估計,但是算法不具有一般性。文獻[17]推導了相鄰時刻協方差矩陣差公式,從中提取與角度差的關系式,進而實現目標角度跟蹤。該算法計算量小,但跟蹤性能差。文獻[18]提出了基于自適應非對稱聯合對角化(adaptive asymmetric joint diagonalization, AAJD)目標角度跟蹤算法。算法不需要額外的關聯算法,但是求解角度時利用了上一時刻的估計角度,降低了算法的性能。

文獻[19]將陣列信號中的PASTd算法引入到雙基地MIMO雷達,成功解決了雙基地MIMO雷達目標跟蹤問題。該算法跟蹤性能優于文獻[17]和文獻[18],但需要額外的數據相關運算,并且不能跟蹤相同收發角的目標。

因此本文針對文獻[19]存在的問題,提出了相鄰時刻收發角度自動關聯算法,同時實現了收發角度自動配對,利用估計出的目標收發角度,得到收發導向矢量,作為下一時刻跟蹤尋優算法的初始矢量,因此能夠成功跟蹤相同接收角或發射角的目標。

1 信號模型

本文用雙基地MIMO雷達觀察空中運動目標,目標與基地距離較遠,符合點目標模型。雙基地MIMO雷達有M個發射陣元和N個接收陣元組成,收發陣元平均分布,間隔相同且為波長λ的一半。雙基地MIMO雷達的配置如圖1所示。

圖1 雙基地MIMO雷達收發陣元配置Fig.1 Bistatic MIMO radar transceiver element configuration

假設第m個發射陣元的發射窄帶正交信號為sm(t)·exp(j2πfct),sm(t)為基帶信號,fc為載波的頻率。m個發射陣元發射的信號輻射到P個目標,散射后到達接收陣元的信號為

(1)

(2)

式中,εiexp(jωit)與εi的統計特性相同,ε=[ε1exp(jω1t),…,εPexp(jωPt)]T仍滿足SwerlingⅡ模型;n(t)均值為零,協方差矩陣為σ2IMN。

進一步簡化式(2)得

(3)

對式(3)進行取直操作

x(t)=At(φ)⊙Ar(θ)vec(diag(ε))+n(t)=

W(φ,θ)ε+n(t)

(4)

式中,W(φ,θ)=[at(φt,1)?ar(θt,1),at(φt,2)?ar(θt,2),…,at(φt,P)?ar(θt,P)]為MN×P維的收發方向矢量；⊙和?分別代表Khatri-Rao積和Kronecker積。

2 算法描述

PASTd算法通過求解目標函數最小值求出估計特征矢量,結合旋轉不變子空間(estimation of signal parameters via invariance techniques, ESPRIT)算法估計出目標收發角度。PASTd算法的計算復雜度低,估計精度能滿足跟蹤要求。但是算法不能實現角度自動關聯,且當目標發射角或接收角相同時,算法將失效。

改進PASTd算法在原算法的基礎上,通過PASTd算法的求優過程,估計出目標的特征矢量,然后增加目標角度的關聯算法,關聯算法同時實現了同一目標收發角度的自動配對。通過目標角度自動關聯配對算法估計出此時的目標角度,利用得到的目標收發角度,代入收發導向矢量公式,得到準確的收發導向矢量,替代求優過程估計出的特征矢量,作為下一時刻求優過程的初始矢量。

因此,改進PASTd算法將跟蹤過程分為兩步,第一步通過目標函數尋優算法估計出目標特征矢量,第二步利用得到的特征矢量結合自動關聯配對算法,實現對目標角度的估計,配對及關聯運算,然后求出收發導向矢量,值得注意的是求出的收發導向矢量比第一步估計出的特征矢量更接近真實方向矢量,并且滿足收發導向矢量的標準形式,因此用來更新特征矢量,作為下一時刻跟蹤算法的初始矢量。

文獻[20]指出PASTd算法的基礎是投影降維,每一次循環迭代相當于對一個目標的收發導向矢量進行更新,從而完成跟蹤過程。本文中的改進PASTd算法t時刻的初始矢量是通過t-1時刻算法步驟2得到的,即特征矢量的每一列對應于一個目標,因此經過PASTd算法求出的特征矢量的每一列也對應于一個目標。

2.1 特征矢量的估計

改進PASTd算法的最小目標函數與PASTd算法的最小目標函數相同[20],其表達式為

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

y(t)=WH(t-1)x(t)

(10)

y(t)=W-1(t-1)x(t)

(11)

(12)

(13)

然后給出估計誤差

e(t)=x(t)-W(t-1)y(t)

(14)

由遞歸最小二乘法可得特征矢量的更新，即

(15)

2.2 目標收發角度的估計、配對及相關算法

(16)

此時,存在一個唯一的非奇異矩陣T(t),使得

(17)

(18)

式(18)等式兩邊同時乘以y(t)得

(19)

為了表達方便,令α=yH(t)PH(t-1)y(t),簡化式(19)得

(20)

進一步化簡得

(21)

(22)

化簡得

(23)

對比式(23)兩邊可以得出

(24)

Us(t)T(t)=Us(t-1)T(t-1)

(25)

PASTd算法假設相鄰時刻角度變化較少,即Us(t)?Us(t-1)代入式(25)得

T(t)=T(t-1)=T

(26)

W(t-1)是t-1時刻改進PASTd算法第二步得到的收發導向矢量,則W(t-1)與Us(t-1)僅僅是經過列變換,經過t時刻跟蹤算法得到W(t),不改變列的順序,W(t)與W(t-1)兩個矩陣每一列都對應一個相同的目標。由此可知T=QE,Q為比例因子矩陣,E為列交換矩陣。

證畢

值得注意的是當t=1時,命題一不成立,因此本文算法在t=1直接利用ESPRIT算法估計角度,確定估計目標角度的順序。

下面給出目標收發角度自動關聯配對算法。

Ift==1

對Ψr進行特征值分解:Ψr=TΦrT-1

取Φr的對角線元素組成ωr

取Φt的對角線元素組成ωt

Else

令Tr每一行的最大值為1,其余元素為零,得到了Er

令Tt每一行的最大值為1,其余元素為0,得到Et

End

2.3 特征矢量的更新

根據第2.2節的算法得到包含角度信息的矩陣ωr和ωt,利用公式

求出θ(t),φ(t)。將其代入收發導向矢量公式得

at(φt,i)=[1,ejπsin φt,i…,ejπ(M-1)sin φt,i]

(27)

ar(θt,i)=[1,ejπsin θt,i,…,ejπ(N-1)sin θt,i]

(28)

W(t)=[at(φt,1)?ar(θt,1),…,at(φt,P)?ar(θt,P)]

(29)

表1 改進PASTd算法流程

3 實驗仿真及結果分析

雙基地MIMO雷達收發陣元間距為波長的一半,采用高斯白噪聲。發射信號的載波頻率為1 GHz,脈沖重復頻率為10 kHz,脈沖寬度為10 ms,發射信號為哈達碼脈沖信號。

定義

RMSE(θ)=

實驗1驗證算法有效性

首先對比PASTd算法和改進PASTd算法定位固定目標,驗證算法的有效性及優勢。假設空中有4個感興趣的點目標,目標為靜止目標,收發陣元數M=N=3,信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)SNR=10 dB 時,遺忘因子λ=0.95。4個目標的位置為(θ1,φ1)=(30°,-40°),(θ2,φ2)=(40°,20°),(θ3,φ3)=(-50°,30°)和(θ4,φ4)=(-20°,-10°),所有目標的收發角度都不相同,仿真定位結果如圖2所示。4個目標的位置為(θ1,φ1)=(30°,-40°),(θ2,φ2)=(40°,20°),(θ3,φ3)=(-50°,20°)和(θ4,φ4)=(-50°,-20°),目標三的收發角分別與目標二發射角、接收角相同,定位結果如圖3所示。

圖2 算法定位收發角度不同目標結果Fig.2 Positioning results of target of different Transceiver angle

圖3 算法定位收發角度相同目標結果Fig.3 Positioning results of target of same Transceiver angle

從圖2可以看出，PASTd算法與改進PASTd算法最后的估計角度與真實角度相同,說明兩種算法的有效性,當目標收發角度都不同時能夠成功定位目標。但是改進PASTd算法估計軌跡近似成直線,收斂速度較快,而PASTd算法估計軌跡分散,收斂速度慢,這是因為改進PASTd算法增加步驟2,更新了估計的特征矢量并作為下一時刻的初始矢量。從圖3仿真結果可以看出，改進PASTd算法仍然有效,而PASTd算法已經失效,不能成功定位相同角度的目標,驗證了理論的有效性。

設空中有5個運動點目標,目標為非勻速運動并且相互獨立,其中的兩個目標的發射角在脈沖數為319時重合,收發陣元數為M=N=4,SNR=10 dB,跟蹤脈沖數為K=500,遺忘因子λ=0.85,AAJDd算法跟蹤結果如圖4所示,改進AAJDd算法跟蹤結果如圖5所示。

圖4 PASTd算法目標跟蹤結果Fig.4 Target tracking results based on PASTd algorithm

圖5 改進PASTd算法目標跟蹤結果Fig.5 Target tracking results based on improved PASTd algorithm

圖4給出了PASTd算法跟蹤運動目標的結果。PASTd算法估計的最后角度與目標角度重合,說明算法成功跟蹤了目標。估計軌跡與真實軌跡基本重合,但是在K=319附近算法失效,這是因為脈沖數為319時,兩個目標的發射角相同。圖5中改進PASTd算法跟蹤軌跡與真實軌跡完全重合,說明改進PASTd算法解決了PASTd算法不能跟蹤相同發射角或接收角的目標的問題,并且PASTd算法初始角度到真實目標初始角度之間的連線為直線,能夠更快的跟蹤目標。

為了更好地比較PASTd算法與改進PASTd算法性能,給出跟蹤誤差定義:

仿真實驗的條件與上一實驗相同,仿真結果如圖6所示。

圖6 兩種算法的跟蹤性能比較Fig.6 Comparison of tracking performance of two algorithms

從圖6可以得出結論:PASTd算法和改進PASTd算法在K>50時跟蹤誤差較小,能夠成功的跟蹤目標,跟蹤誤差性能較好,說明兩種算法在K>50都成功跟蹤到了目標,算法收斂性較好。在脈沖數為319時,目標角度相同時,PASTd算法跟蹤誤差較大,算法失效,而改進PASTd算法仍能夠成功的跟蹤目標,驗證了理論的正確性。

為了進一步說明本文算法的性能,設5個目標的運動模型不變,但是脈沖數分別設為200和400,即相當于目標運動速度發生改變,其余條件與上個實驗相同,仿真結果分別如圖7和圖8所示。

圖7 脈沖數為200時本文算法跟蹤結果Fig.7 Algorithm tracing result with the number of pulses is 200

圖8 脈沖數為400時本文算法跟蹤結果Fig.8 Algorithm tracing result with the number of pulses is 400

從圖7和圖8可以看出，脈沖為200和400時本文算法都能夠成功跟蹤目標,但是算法的性能和穩健性都隨著脈沖數的減小而變差。這是因為隨著脈沖數的降低,相當于目標運動速度變大,相鄰兩個時刻角度差變大,而本文算法假設相鄰時刻目標角度變化較小,因此跟蹤性能隨著脈沖數的降低而變差,與理論分析一致。

實驗2兩種跟蹤算法RMSE隨SNR的變化關系

為了充分說明本文算法性能,將本文算法與PASTd算法的RMSE進行比較。假設空中存在角度相同的運動目標。設遺忘因子λ=0.85,收發陣元數都為5,發射脈沖數仍設為500,SNR=-5～20 dB。非穩定跟蹤下的性能比較是沒有意義的,因此選取100≤K≤500用于計算算法性能。仿真結果如圖9所示。

圖9 RMSE隨SNR的變化Fig.9 The change of RMSE along with SNR

從圖9可以看出，改進PASTd算法RMSE低于PASTd算法,而且PASTd算法跟蹤誤差較大,說明改進PASTd算法已經失效,而改進PASTd算法能夠成功跟蹤相同角度的目標。改進PASTd算法與PASTd算法的RMSE差隨著信噪比的降低逐漸增大,這是因為信噪比較低時,由于噪聲的影響,PASTd算法中估計的特征矢量誤差更大。

4 結 論

基于PASTd的雙基地MIMO雷達目標跟蹤算法不能跟蹤相同角度的目標,并且無法完成目標收發角度配對及相關運算,影響算法的實用性。本文針對PASTd算法存在的問題,提出改進PASTd算法。改進PASTd算法在PASTd算法的基礎上增加了目標角度自動關聯配對算法,在此基礎上利用得到的目標收發角度,求出的收發導向矢量,更接近真實的信號方向矢量,并且用其代替改進PASTd算法步驟一求出的特征矢量,用于下一時刻跟蹤算法的初始矢量。本文算法解決了PASTd算法的問題,同時實現目標角度自動配對與關聯運算,并且本文算法具有一般性,適用于所有基于PASTd算法的一大類跟蹤算法。

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