近區低旁瓣的OFDM MIMO雷達波形設計

柏 婷, 任修坤, 鄭娜娥

(信息工程大學導航與空天目標工程學院, 河南 鄭州 450001)

0 引 言

隨著雷達距離分辨力的不斷提高,臨近目標的分辨問題已經成為雷達系統的重要研究內容。衡量臨近目標分辨能力優劣的主要因素是距離分辨力和距離旁瓣的大小。隨著雷達工作環境的日益復雜,強雜波、干擾、多路徑等因素會使傳統波形匹配濾波后產生較高的距離旁瓣,導致了臨近目標分辨中弱目標淹沒和不同目標主旁瓣混疊的問題[1]。因此,設計低旁瓣的雷達發射波形成為了亟待解決的問題。

多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)雷達具有波形分集優勢,在波形設計方面自由度大,與傳統雷達相比能獲得較高分辨率和參數識別能力[2-3],在臨近目標分辨方面潛力巨大。MIMO雷達一般采用相互正交的發射波形來抑制目標回波之間的干擾,將正交頻分復用(orthogonal frequency division multiplexing, OFDM)技術運用到MIMO雷達中[4],可以直接解決正交波形的設計問題,同時實現波形分集和頻率分集。另外,OFDM信號還具有高分辨性能和波形設計靈活的特點[5]。因此,研究如何抑制OFDM MIMO雷達的距離旁瓣為解決臨近目標分辨問題提供了新的思路。

針對OFDM MIMO雷達的距離旁瓣抑制問題,文獻[6]直接采用發射波形的自相關和互相關函數的加權組合作為目標函數,運用遺傳算法(genetic algorithm, GA)實現旁瓣抑制。文獻[7]在設計低旁瓣波形時深入分析了FD-LFM MIMO雷達的模糊函數,針對3種高旁瓣類型及其出現原因,綜合采用加窗和失配處理進行旁瓣抑制,但該方法會損失信噪比;在文獻[6]的基礎上,文獻[8]重點研究了OFDM LFM信號空域合成后的旁瓣抑制問題,建立了空時優化模型,結合GA和序列二次規劃法(sequential quadratic programming, SQP)進行優化,得到了較好的旁瓣特性,但該算法往往需要多次迭代,計算效率較低。

上述方法都是對全部距離旁瓣進行抑制,但在分辨臨近目標時,不同目標回波序列到達時間的最大差值,都遠小于發射序列的持續時間[9]。因此,感興趣的距離單元不再是所有距離旁瓣,而更關注近區距離旁瓣。近區旁瓣抑制問題在MIMO雷達中的研究較少,文獻[10]考慮了傳統雷達的特定區間旁瓣抑制問題,運用非線性最小化的子空間信賴域方法進行優化,但該算法在波形序列較長時可能無法實現。文獻[11]創造性地提出了適用于MIMO雷達的WeCAN算法,以最小化加權積分旁瓣水平為準則,在恒模約束條件下利用快速傅里葉變換進行迭代,實現了特定區間的旁瓣抑制,抑制性能良好,該方法的不足在于運算量巨大。

針對上述問題,本文提出了一種基于近區距離旁瓣抑制的OFDM MIMO雷達波形設計方法。首先,構造一組基于相位編碼調制(phase coded modulation,PCM)的OFDM MIMO雷達發射波形集,綜合考慮各天線發射波形的積分旁瓣水平(integrated sidelobe level,ISL),利用極小化極大(min-max)思想優化近區ISL最大的天線發射波形,以發射波形恒模為約束,最小化該天線波形的ISL來構造目標函數;然后,利用發射波形與相位的對應關系,將相位參量作為優化對象,借此把目標函數轉化為無約束優化問題;最后,推導了目標函數梯度解析式,并利用BFGS算法求解該優化問題。仿真結果驗證了本文方法的有效性。

1 信號模型

圖1 OFDM MIMO雷達發射示意圖Fig.1 Transmission schematic of OFDM MIMO radar

第m根天線上的編碼信號為

(1)

綜上,待設計的編碼矩陣為

S=[s1,s2,…,sM]∈CN×M

(2)

式中

sm=[sm(1)sm(2) …sm(N)]T

(3)

2 近區距離旁瓣抑制的波形設計

2.1 建立目標函數

(4)

式(4)保證了任意兩子載頻之間的正交性,故OFDM信號通過頻域正交便可實現MIMO雷達各天線發射信號正交,每根天線上的發射信號在接收端都可依賴正交性分離開,所以不再需要優化天線信號之間的互相關函數來提高其正交性,則本文優化的目標是感興趣距離單元的旁瓣特性。在此,引出發射信號的距離模糊函數定義:

(5)

m=1,2,…,M；k=0,1,…,N-1

(6)

用每根天線發射信號的ISL表征自相關旁瓣的大小,ISL表示為

(7)

對于MIMO雷達的距離旁瓣抑制問題,文獻[11]中采用所有天線ISL之和作為目標函數進行優化求解,但是這種構造方式無法保證每根天線的自相關旁瓣都最小。針對此問題,本文運用min-max思想,最小化如下準則:

max(ISLm)

(8)

s.t. |sm(n)|=1,m=1,2,…,M;n=1,2,…,N

(9)

式中

(10)

考慮到OFDM信號進行了相位編碼調制,sm(n)=ejφm(n)(m=1,2，…,M;n=1,2，…,N),其中,φm(n)為相位參數,Φm=[φm(1)φm(2) …φm(N)]是第m根天線的相位參數向量。將其代入式(9),將相位參數φm(n)作為優化變量,則上述問題可以轉化為無約束優化問題。綜上,本文建立優化模型如下:

(11)

式中

(12)

2.2 基于BFGS算法的優化方法

上述優化模型屬于二次優化問題,本文采用基于擬牛頓算法的優化算法。Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS)算法是目前最有效的擬牛頓算法之一,其基本思想是,在牛頓算法中用Hesse矩陣的近似矩陣來取代Hesse矩陣[13],以確保收斂速度,并提高計算效率。同時,考慮到不同環境下待優化的相位編碼序列長度不同,本文在待優化序列長度較短時,采用BFGS算法,保證良好的旁瓣抑制效果;序列長度較長時,采用有限域BFGS(limited-memory BFGS, LBFGS)算法,限定其內存大小,消除序列長度增長導致的算法復雜度增大的影響,保證其算法效率,適應實際環境。下面推導式(12)的梯度表達式:

(13)

其中

(14)

(15)

式中,⊙表示矩陣的Hadamard積。

綜上所述,本文針對近區旁瓣抑制的波形設計算法步驟如下:

步驟1根據實際情況設定抑制單元范圍[1,P],給定終止誤差0≤ε≤1;

步驟3根據式(7)計算每根天線的ISL,由式(11)、式(12)求出目標函數f(Φ0);

步驟4由式(13)～式(15)求出目標函數的梯度g0;

步驟5判斷待優化序列長度N,若N<1 500,則采用BFGS算法,若N>1 500,采用LBFGS算法;

步驟6若當前序列滿足停止條件,重復步驟3～步驟6,直到所有天線均滿足停止條件;否則,重復步驟5直至當前天線信號編碼相位滿足停止條件;

步驟7將得到的碼元序列代入式(1),求出發射波形序列。

其中,步驟5的優化算法具體流程見圖2。

圖2 步驟5算法流程圖Fig.2 Flow chart of step 5

2.3 算法性能分析

值得指出的是,本文算法的主要計算量為迭代操作,在每次迭代中計算式(11)的算法復雜度約為O((2N-P)(P-1)/2),計算式(13)的算法復雜度約為O(2PN),BFGS算法中更新Hesse矩陣近似陣Bk的復雜度約為O(N2),因此本文算法總的復雜度約為O(M((2N-P)(P-1)/2+2PN+N2))。文獻[8]采用GA和SQP算法,GA算法的運算復雜度與種群大小、遺傳代數等有關,故在此不通過理論分析計算其算法復雜度,著重在仿真中比較其運行時間。對比文獻[11],優化過程需要2MN次2N點的FFT運算和2N次M×N維矩陣的奇異值分解(singular value decomposition, SVD),則其算法復雜度約為O(MN2log22N+N4)。故與現有算法相比,本文算法復雜度較低,可較好地滿足系統需求。

3 仿真及結果分析

本節仿真實驗考慮M=4的OFDM MIMO雷達系統,選擇文獻[8,11]作為本文的對比算法。文獻[11]中所提算法,為經典的MIMO雷達特定區間旁瓣抑制算法;文獻[8]中所提算法,是OFDM MIMO雷達全部距離旁瓣抑制的常用算法。為了定量描述旁瓣抑制水平,采用待優化區間平均旁瓣深度、品質因數(merit factor, MF)、迭代次數、耗時作為算法評價指標。其中,MF表征距離模糊函數的主瓣能量與旁瓣能量和的比值,具體定義為

(16)

仿真1檢驗算法收斂性能。算法的收斂性能是設計一個迭代算法的基本要求,而其局部收斂速度是衡量一個算法好壞的重要指標。從理論上講,BFGS算法繼承了Newton方法的快速收斂性能。圖3給出了本文算法的收斂性能測試結果,圖3(a)表示N=100,P不同時收斂性能的比較,可以看出,不同P值并不影響收斂速度,本文波形設計算法均從第10～20次迭代后就趨于穩定;圖3(b)表示P=39,N不同時收斂性能的比較,可以看出,收斂速度基本不因N的變化而變化,仍然在10～20次迭代后趨于穩定。說明本算法收斂性能良好,實驗結果和理論符合較好。

圖3 算法收斂性能Fig.3 Iteration convergence

仿真2檢驗波形設計算法的旁瓣抑制效果。假設每根天線序列長度為N=100,初始序列采用Golomb編碼序列。以距離模糊函數的0延遲為中心,對我們感興趣的距離旁瓣區間進行抑制,分別選取[1,39]、[1,65]和全部旁瓣作為抑制區間。圖4給出了抑制區間為[1,39]時的距離模糊函數,可以看出,本文設計算法的距離旁瓣極低,達到了-170.78 dB,優于文獻[11]算法的-132.50 dB。從表1的詳細對比中能夠看到,本文算法的耗時和迭代次數都要遠遠小于文獻[11]算法,算法復雜度低,與理論分析吻合。MF遠高于文獻[11]算法。圖5和圖6分別給出了抑制區間為[1,65]和全部距離旁瓣抑制的距離模糊函數圖,從圖5可以看出,當抑制區間大于全部距離單元的一半時,本文算法和文獻[11]算法的距離旁瓣抑制性能都有大幅下降,只能達到-45 dB左右,抑制性能基本平齊,但是本文算法的計算復雜度還是遠低于文獻[11]。在圖6的全部旁瓣抑制當中,本文算法的旁瓣抑制性能和文獻[11]算法基本持平,在-30 dB范圍內。但是對比文獻[8],旁瓣深度只有-24.74 dB,耗時也更長,故本文算法的旁瓣抑制性能和算法復雜度都要比文獻[8]算法的性能更好。

圖4 距離模糊函數(抑制區間為[1,39]) 圖5 距離模糊函數(抑制區間為[1,65]) 圖6 距離模糊函數(抑制區間為[1,100]) Fig.4 Range ambiguity function(the interval Fig.5 Range ambiguity function(the interval Fig.6 Range ambiguity function(the interval of suppression is [1,39]) of suppression is [1,65]) of suppression is [1,100])

抑制區間方法[1，39]本文算法文獻[11][1，65]本文算法文獻[11][1，100]本文算法文獻[11]文獻[8]耗時/s3．63183．819．31566．159．665．71165．96迭代次數11915132721447217617245741001所求區間平均旁瓣/dB-170．78-132．50-45．86-47．43-36．21-38．69-24．74MF8．56×10141．15×1011220．01272．4215．8015．531．04

仿真結果表明,需抑制距離旁瓣的范圍小于距離單元的一半時,本文設計算法可以很好地抑制旁瓣,并且算法復雜度較低,能夠達到分辨臨近目標的要求。但是當區間大于全部旁瓣的一半時,本文設計波形抑制效果有所下降,與理論分析結果吻合。所以,本算法在近區旁瓣抑制方面更有優勢。

仿真3檢驗不同初始序列對旁瓣抑制效果的影響。本文選擇了不同類型的相位編碼序列進行對比[14],第一類是基于傳統線性調頻信號的相位變化的多相編碼序列;第二類是偽隨機編碼序列。分別選擇Golomb序列、Frank序列、Chu序列、P4序列、偽隨機多相編碼序列作為初始編碼序列。序列長度N=100,感興趣的抑制區間為[1,39],觀察優化結果與初始編碼序列的關系,結果見表2。

由表2可知,初始序列的相位編碼形式對旁瓣抑制效果的相對影響不大,不同初始序列優化后旁瓣深度均能達到-160 dB以下,但是絕對深度差最大達到了20 dB,MF也有較大差異,其中,Golomb序列在旁瓣深度和MF方面表現最佳。實驗結果可知,本文方法對初始序列的依賴性不大,但是在旁瓣深度要求極高的情況下還是應妥善選擇初始序列。

表2 初始序列類型對旁瓣抑制的影響

仿真4檢驗序列長度對旁瓣抑制效果的影響。選擇Golomb序列作為初始序列,序列長度分別選擇N=50,100,200,500,1 000,2 000,感興趣的抑制區間為[1,39],圖7給出了旁瓣抑制效果的對比情況。表3列出了具體衡量參數值。

圖7 序列長度對旁瓣抑制效果的影響Fig.7 Range sidelobe suppression effect of different lengths of sequence

序列長度平均旁瓣深度MF耗時/s迭代次數50-39．424376．601．5193100-189．494．44×10183．65106200-183．051．01×10188．78126500-182．559．00×101765．551571000-187．592．87×1018339．001722000-106．822．41×10102822．35400

由圖7和表3可知,當序列長度N=50時,待抑制區間長度P>(N+1)/2,平均旁瓣深度只能達到-39.42 dB,符合理論分析結論;當2P1 500時,為了提高運算效率,采用LBFGS算法進行優化,故犧牲了一部分旁瓣性能,但仍能達到-100 dB以下。結果表明,本文算法在滿足P≤(N+1)/2時,對于不同序列長度要求均能設計出極低近區旁瓣的發射波形。

仿真5檢驗優化后波形對強目標旁瓣掩蓋下的弱目標的檢測能力。雷達的搜索、跟蹤等操作通常在規定的距離窗上進行,稱為接收窗。接收窗內所有目標回波被接收并且傳輸給匹配濾波器進行脈沖壓縮[15]。假設發射信號脈沖寬度為T=1 μs,初始序列為Golomb序列,序列長度N=100,感興趣的距離單元為P=39,雷達顯示接收窗的寬度為cTP/2N=58.5 m,接收窗內目標數為2,強弱目標在接收窗內的相對距離分別為5 m和23 m,強弱目標回波功率比為20 dB。圖8給出了優化前信號的壓縮回波,可以看到,在弱目標位置處無法分辨目標有無,弱目標被強目標回波旁瓣完全掩蓋。圖9為本文算法優化后信號的壓縮回波,兩目標位置處回波峰值明顯,弱信號主瓣峰值比回波旁瓣峰值高出11.82 dB。實驗結果表明,優化前壓縮回波中強目標的旁瓣基本將臨近弱目標完全掩蓋,無法分辨。當采用本文算法進行優化后,弱目標得以凸顯,強弱目標均可被檢測。圖10為WeCAN算法優化后的波形,可以看到,強弱目標雖然可被檢測,但弱信號主瓣峰值只比左側臨近旁瓣峰值高出3.96 dB,故本文算法在強目標旁瓣掩蓋下的弱目標檢測方面具有一定優勢。

4 結 論

本文提出了一種基于近區距離旁瓣抑制的OFDM MIMO雷達波形設計方法,能夠有效解決臨近目標分辨中近區旁瓣過高的問題,同時兼顧了雷達的高分辨性能。該方法靈活應用BFGS方法求解恒模的發射波形矩陣,具有良好的近區旁瓣抑制效果和運算效率。仿真結果表明,優化后的發射波形近區距離旁瓣較低,當待設計的編碼序列較長時,會犧牲一部分旁瓣特性換取計算效率,但對旁瓣深度影響不大,能保證良好的臨近目標分辨性能;并且,本文算法對初始編碼序列形式依賴性較小,收斂速度較快,運算復雜度小,避免了功率峰均比過高的問題,在實際應用中具有一定參考價值。

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