基于選擇性維修的裝備戰場搶修決策建模

曹文斌, 賈希勝, 胡起偉, 蘇續軍

(1. 軍械工程學院裝備指揮與管理系, 河北 石家莊 050003; 2. 軍械工程學院火炮工程系, 河北 石家莊 050003)

0 引 言

戰場搶修由戰場損傷評估(battlefield damage assessment,BDA)和戰場損傷修復(battlefield damage repair,BDR)兩部分組成,其中,BDA是BDR的前提和基礎[1]。戰場損傷評估的實質是對損傷裝備進行戰場搶修技術決策的過程[2],一直受到研究人員的廣泛關注[3-7]。裝備戰場搶修決策是戰場損傷評估的重要內容,解決的是修什么(搶修項目)、怎么修(搶修方法)和由誰修(搶修任務分工)的問題,即決策的目標是確定裝備戰場搶修方案。目前,部隊實施裝備戰場搶修決策主要依賴于專家經驗,雖然有些單位開發了戰場損傷評估專家系統[8-10],但面對復雜的裝備戰場損傷情況,如何根據作戰任務和戰場搶修時限要求,科學選擇確定裝備修復項目,進而生成裝備搶修方案,現有的評估系統還缺乏有效的輔助決策模型支持。

選擇性維修是指在維修資源(如維修時間、費用、器材、人員等)約束下,從一系列待修項目中確定所要實施的維修項目的過程。文獻[11]于1998年首次提出選擇性維修,近年來,逐步受到國內外研究學者的普遍關注,在考慮多種維修方法[12-15]、面向多狀態系統[16-17]、考慮系統相關性[18-19]、考慮不同任務特性[20-21]及求解方法[22]等方面,研究建立了多種選擇性維修模型。選擇性維修與戰場搶修有很多相似之處,如:都是面向任務對裝備(設備)進行維修(搶修)決策,決策過程都要考慮多資源約束,都不要求恢復裝備(設備)的完好狀態,而有選擇性地確定維修項目等。然而,現有的選擇性維修模型主要應用于民用設備領域,多以費用最小為目標或以費用為約束進行維修決策,缺乏時間、人員等資源有限情況下戰場搶修決策方面的相關研究。鑒于此,本文將選擇性維修理論引入裝備戰場搶修決策,借鑒選擇性維修理論的思路與方法,結合戰場搶修的特點,考慮搶修人員、搶修時間、備件等資源有限的復雜情況,以單體裝備戰場搶修決策為例,研究建立面向隨機任務的裝備戰場搶修決策模型,從而為選擇確定裝備修復項目、生成裝備搶修方案提供輔助決策模型支持。

1 問題描述

戰場搶修決策涉及因素眾多、問題復雜,為了有針對性地開展建模研究,進行如下假設:

(1) 假設裝備發生戰損后,搶修人員對受損裝備成功實施了損傷檢測、定位、分析和判斷,判明了裝備的損傷部位和程度。按照指揮員的要求,必須在任務間隔tb內恢復裝備的基本功能,使其滿足下一階段作戰任務使用要求;

(2) 假設裝備有多個基本功能部件受損,每個部件有多種搶修方法,包括標準修理方法和應急修復方法,各種搶修方法對裝備基本功能的恢復程度不同;

(3) 假設戰場情況下用于裝備修理所需時間、備件、人員等資源有限,需要對裝備搶修措施、搶修任務分工等進行優化;

(4) 假設搶修人員的能力完全一致,且不能多人同時搶修同一部件。

考慮上述情況,假設某裝備由n個基本功能部件組成,在執行任務1過程中,由于裝備戰損,導致任務失敗,其任務周期如圖1所示。為了恢復其執行作戰任務的能力,必須在任務2到達之前的任務間隔期內對其進行搶修。每個部件可采用多種搶修方法,不同的搶修方法的資源消耗及搶修效果均不同。預計任務2會在tb時刻后到達,任務持續時間td為服從某一分布的隨機變量。決策者需要根據有限的搶修時間、搶修人員和搶修器材,給出合理的搶修方案,包括搶修部件、搶修方法及搶修任務分工,使得任務2到來之前恢復戰損裝備的功能狀態,且搶修后的裝備在任務2的可靠度最大。

圖1 任務周期Fig.1 A mission period

2 戰場搶修決策建模

2.1 搶修方法建模

2.1.1 搶修方法概述

戰場情況下,裝備搶修方法很多,一般情況下,在有備件時,會采用備件進行換件搶修;否則,可以采用切換、剪除、拆換、替代、原件修復、制配、重構等7種搶修工作類型[1]對損傷裝備進行修復。在搶修方法選擇時,搶修人員會優先選擇資源消耗少、搶修效果好的搶修方法。但是,通常搶修效果好的方法消耗資源較多,且戰場情況下的搶修資源往往有限,因此,對于多部件系統來說,必須通過建立定量化的數學模型,才能科學地分配有限的搶修資源,使搶修后的裝備狀態最優。建模過程中,最重要的一步是對每個部件的搶修方法、資源消耗及搶修效果三者之間的關系進行建模,現有的不完善維修理論為解決該問題提供了有效途徑。描述不完善維修的模型很多[23],這里采用同時考慮工齡和故障率的綜合模型,可以描述為

λk(Akr+td)=ak×hk(bk×Ak+td)

(1)

式中,hk(·)表示搶修前部件k的故障率;λk(·)為搶修后部件k的故障率;td表示任務2的執行時間;ak(ak≥1)為故障率調整因子;bk(0≤bk≤1)為工齡減少因子;Ak為搶修前部件k的工齡;Akr為搶修后部件k的虛擬工齡。這種綜合模型假設搶修后部件工齡減少,故障率增加,比較適合戰場搶修。因為戰場搶修多采用應急性的修理方法,雖然可以在短時間內改善部件的功能狀態,但是其故障率往往較高。

針對每個部件,搶修人員可以有兩種基本的搶修選擇:不搶修和搶修。根據搶修效果,可以進一步將搶修分為:換件、最小搶修和介于換件和最小搶修之間的中間狀態的搶修,即不完善搶修。如果選擇不搶修,則部件的狀態保持不變;換件是用新部件替換舊部件;最小搶修屬于修復性搶修,是采用最簡單的搶修方法,使損傷部件快速恢復到能工作的狀態,其工齡和故障率均假設不變;而不完善搶修可以是修復性的也可以是預防性的,能改善部件功能狀態,降低部件的有效工齡但同時提高故障率的斜率。不同搶修方法的效果對比如表1所示。

表1 不同搶修方法的效果對比

注:01。

2.1.2 基于時間的搶修方法建模

戰場情況下,時間是突出的約束資源,因此根據文獻[13]中的模型,采用基于時間的不完善維修模型對不同的戰場搶修方法建模。標準的修理過程由拆卸部件、修復部件和安裝調試部件3個基本步驟組成,則每一種搶修方法所用時間都可以通過這3個步驟所需的時間計算得到。部件k的搶修時間可表示為

(2)

則Yk與lk的值所對應的搶修方法的對應關系如表2所示。

表2 lk的含義

(3)

式中,mk為與部件工齡有關的常數,用于描述部件的“年輕程度”。mk越大,部件越年輕,通常用部件的工齡(Ak)和平均剩余壽命(mean residual life,MRL)表示[7],表達式為

(4)

與工齡減少因子相似,故障率增加因子也取決于投入的可變搶修時間和部件工齡。故障率增加因子模型為

(5)

式中,ζk為常數,決定故障率增加因子的上限值,ζk越大,故障率增加因子的上限值越小。ζk的值可以通過部件歷史數據得到[7]。

2.2 搶修人員需求建模

對于這類考慮任務順序的搶修來說,搶修人員的實際需求量由搶修部件的數量決定。假設現有的搶修人員數量為q,搶修部件的數量為ω。若用Vk表示是否對部件k進行維修,則

搶修部件的數量可表示為

(6)

當ω

(7)

2.3 搶修時間需求建模

裝備搶修時間由搶修部件數量和搶修人員數量共同決定,這里分3種情況討論,即q=1,q>1且q=ω和q>1且q≠ω。

(1) 第1種情況:q=1

當只有一個搶修人員(q=1)時,該搶修人員必須承擔所有的搶修工作,總搶修時間為所有搶修工作時間之和。對于搶修方案L=(l1,l2,…,lk,…,ln),部件k的搶修時間為

(8)

裝備搶修時間為

(9)

(2) 第2種情況:q>1且q=ω

當搶修部件數量與搶修人員數量相等時,裝備搶修時間為所有部件搶修時間的最大值,即

k=1,2,…,n;q>1且q=ω

(10)

(3) 第3種情況:當q>1且q≠ω

改進的任務分配算法步驟如下。

步驟2將前q項任務依次分配給q個搶修人員,在任務集合Task中剔除已分配的任務,更新任務集合Task;

步驟3計算每個人員的任務完成時間tc,找到tc最小所對應的搶修人員cmin,將任務集合Task中時間最大的任務分配給cmin。更新任務集合Task,并判斷是否為空,若為空,則執行步驟4,否則執行步驟3;

步驟4取任務完成時間最大和最小的搶修人員,分別為cmax和cmin,其完成時間分別為tmax和tmin,分配的任務所對應的時間集合分別為Tmax和Tmin;

步驟5統計搶修人員cmax和cmin所承擔的搶修任務數量,分別記為γmax和γmin,搶修任務時間集合分別為Tmax和Tmin。判斷是否存在tmax,x∈Tmax(x∈{1,2,…,γmax}),tmin,y∈Tmin(y∈{1,2,…,γmin}),使得

步驟6計算各搶修人員的任務完成時間,并查找任務完成時間最小的搶修人員cmin,計算其任務完成時間tmin,判斷該時刻已完成的任務,并將對應的修復任務和安裝調試任務加入到任務集合Task中;

步驟7對任務集合Task中的任務按時間由大到小的順序排列,并將時間最大的任務分配給人員cmin,當同時存在修復任務和安裝調試任務時,優先分配搶修任務,同時在任務集合中Task剔除該任務。判斷任務集合Task是否為空,若為空，則執行步驟8,否則執行步驟6;

步驟9若將{tmax,x1…tmax,x2}和{tmin,y1…tmin,y2}對應的任務互換,判斷任務互換后是否滿足任務之間的優先級約束關系(kdfklfka,k=1,2,…,n),若滿足則互換,并執行步驟8,否則執行步驟10;

q>1且q≠ω,c=1,2,…,q

(11)

對于搶修方案L=(l1,l2,…,lk,…,ln),裝備搶修時間為

(12)

為了闡述該算法的計算過程,舉例進行說明。假設需要搶修4個部件,標號為1～4,每個部件的拆卸時間等于安裝調試時間,分別為0.8 h,0.4 h,0.3 h,0.5 h,各部件的搶修時間為1.5 h,1.5 h,2.5 h,3.5 h,搶修人員有2個。根據任務分配算法,初次任務分配的結果如圖2所示。此時,tmax=6.6 h,tre=6.4 h,存在tmax-tre=6.6-6.4>0.4-0.3,且滿足任務約束關系,因此,可將搶修任務3d和2d互換,調整后的搶修任務分配方案如圖3所示。調整后,裝備搶修時間為6.5 h,小于調整前的6.6 h。

圖2 初次任務分配甘特圖Fig.2 Gantt chart of the original maintenance tasks scheduling

圖3 調整后的搶修任務分配甘特圖Fig.3 Gantt chart of maintenance tasks scheduling after adjustment

2.4 搶修決策建模

假設對裝備實施搶修L=(l1,l2,…,lk,…,ln)后,部件k在任務2開始前的狀態用Xk表示為

可以得出:Xk=1-(1-Yk)(1-Vk)。根據式(1)、式(3)～式(5),部件的可靠度為

(13)

裝備的任務可靠度為

R(L)=φ(rk(lk)),k=1,2,…,n

(14)

式中,φ(·)為裝備結構函數。當任務持續時間td為服從隨機分布f(td)時,裝備的任務可靠度為

(15)

假設裝備共包含m種部件,第η種部件的數量為nη,則裝備部件數量為

(16)

若用Wη κ表示是否更換第η種部件中部件κ,(κ=1,2,…,nη),則

第η種備件的需求量為

(17)

戰場搶修決策模型可歸納為

maxR(L,td)

(18)

s.t.t≤tb

(19)

q*≤q

(20)

Bη≤Blη,η=1,2,…,m

(21)

Xk=1-(1-Yk)(1-Vk),k=1,2,…,n

(22)

Xk≥Yk,k=1,2,…,n

(23)

(24)

式中,不等式(19)表示搶修時間不能大于給定的任務間隔時間;不等式(20)表示搶修人員實際需求量不能大于現有的人員數量;不等式(21)表示換件數量不能大于現有的備件數量Blη;不等式(22)、不等式(23)和不等式(24)表示維修前后部件狀態約束。

3 算例分析

某裝備由4個基本功能部件組成,結構如圖4所示。

圖4 裝備結構圖Fig.4 Equipment structure

圖4中,灰色方框表示戰損部件,白色方框表示未故障部件。在執行作戰任務過程中由于敵方火力打擊導致裝備戰損,為了能夠執行作戰任務2,必須對其進行搶修。假設現有2個搶修人員,且當前已經沒有備件,即所有的部件都不能進行換件搶修。任務2預計在5 h之后到達,假設任務持續時間服從參數λd=0.25d-1的指數分布。各部件的壽命服從威布爾分布,其分布參數和搶修時間如表3所示。

表3 各部件分布參數和搶修時間

由建立的戰場搶修決策模型,得到最優搶修方法組合為L=(3,3,1,4),如表4所示,即對部件1和部件4進行不完善搶修,搶修方法編號分別為3和4,對部件2實施最小搶修,對部件3不進行搶修。裝備搶修時間為5 h,可達到的任務可靠度為0.820 5。搶修任務分配甘特圖如圖5所示,搶修人員1的任務包括:拆卸部件4和部件2,然后對部件4進行修復,最后安裝調試部件4,任務完成時間為4.9 h;搶修人員2的任務包括:拆卸部件1,對部件1和部件2進行修復,安裝調試部件1和部件2,任務完成時間為5 h。當不考慮搶修任務順序時,在任務分配時將拆卸、修復和安裝調試3個任務視為一個整體。裝備的最優搶修方法組合為L=(1,4,3,4),即不對部件1進行修復,對部件2、部件3和部件4實施不完善搶修,搶修方法編號分別為4、3和4,裝備搶修時間為4.9 h,搶修后裝備任務可靠度為0.813 1。其任務分配甘特圖如圖6所示,搶修人員1負責搶修部件4,搶修人員2負責搶修部件1和部件2。對比兩種搶修方案,可以看出,兩種情況下的得到的最優搶修方案不同;與不考慮搶修任務順序的戰場搶修決策結果相比,考慮搶修任務順序時,戰場搶修能夠獲得較高的任務可靠度。

圖5 L=(3,3,1,4)時,考慮搶修任務順序時任務分配甘特圖Fig.5 Gantt chart of maintenance tasks scheduling of scheme L=(3,3,1,4) considering task sequence

部件編號考慮搶修任務順序搶修方法lk拆卸時間/h修復時間/h安裝調試時間/hXkArk/d不考慮搶修任務順序搶修方法lk拆卸時間/h修復時間/h安裝調試時間/hXkArk/d130．81．50．8157．941000180230．41．50．4112040．42．50．4189．6131000110030．310．3166．70440．53．50．5153．6740．53．50．5153．67t/h54．9R(L)0．82050．8131

圖6 L=(1,4,3,4)時,不考慮搶修任務順序時任務分配甘特圖Fig.6 Gantt chart of maintenance tasks scheduling of scheme L=(1,4,3,4) without considering task sequence

3.1 搶修任務順序對搶修任務分配的影響

為了進一步分析搶修決策時考慮搶修任務順序的優勢,分別分析了L=(3,3,1,4)時,不考慮搶修任務順序的任務分配情況(見圖7)和L=(1,4,3,4)時,考慮搶修任務順序的任務分配情況(見圖8),分別與圖5、圖6進行對比。對比圖5和圖7可以看出,當L=(3,3,1,4)時,若考慮搶修任務順序,搶修完成時間為5 h,而不考慮搶修任務順序,搶修完成時間為5.4 h;對比圖6與圖8可以發現,當L=(1,4,3,4)時,若考慮搶修任務順序,其搶修完成時間為4.7 h,而不考慮搶修任務順序時,搶修完成時間為4.9 h。通過分析結果,可以看出,考慮搶修任務順序會縮短裝備戰場搶修時間,這對于有效應對瞬息萬變的戰場環境具有十分重要的意義。

圖7 L=(3,3,1,4)時,不考慮搶修任務順序時任務分配甘特圖Fig.7 Gantt chart of maintenance tasks scheduling of scheme L=(3,3,1,4) without considering task sequence

3.2 搶修人員數量對任務可靠度的影響

為了評估搶修人員數量對搶修決策及搶修效果的影響,計算了不同搶修人員數量下,裝備最優搶修方案組合及對應的任務可靠度,如圖9所示。

圖8 L=(1,4,3,4)時,考慮搶修任務順序時任務分配甘特Fig.8 Gantt chart of maintenance tasks scheduling of scheme L=(1,4,3,4) considering task sequence

圖9 搶修人員數量對最優搶修方法組合及任務可靠度的影響Fig.9 Effects of number of maintenance personnel on the optimal maintenance scheme and corresponding mission reliability

從圖9中可以得出:①在一定范圍內,裝備任務可靠度會隨著搶修人員數量的增加而增加,最后趨于一個常數;②搶修人員數量不同,最優搶修方案也不同;③不同搶修人員數量下,考慮搶修任務順序時的任務可靠度不小于不考慮搶修任務順序時的任務可靠度;④當搶修人員數量為1和搶修人員數量等于搶修部件數量時,考慮搶修任務順序與不考慮搶修任務順序時得到的最優搶修方案與任務可靠度都相同。因此,在實際裝備搶修過程中,如果能合理規劃搶修人員數量,并優化搶修任務分配,則可以充分利用有限的搶修資源,提高搶修效果。

3.3 不完善搶修方法對任務可靠度的影響

為了分析不完善搶修對裝備任務可靠度的影響,仍采用第3.1節的算例進行分析。假設在對部件進行搶修時,不考慮不完善搶修方法,即對所有未故障部件來說,只有不搶修和換件搶修2種選擇;而對損傷部件來說,有3種搶修方法選擇:不搶修,最小搶修和換件搶修。其他假設條件均不變。此時,由于缺少備件,可供選擇的搶修方法組合共有2種:(1,1,1,3)和(1,3,1,3),其中(1,3,1,3)為最優搶修方法組合,如表5所示。即對部件1和部件3不搶修,對部件2和部件4進行最小搶修,總搶修時間為2.3 h,任務可靠度為0.791 6,任務分配甘特圖如圖10所示。對比表4和表5,可以看出考慮多種搶修方法能夠顯著提高裝備任務可靠度。因此,研究裝備戰場搶修新技術,不斷探索裝備戰場損傷搶修方法,對于提高裝備戰時性能具有十分重要的意義。

表5 裝備最優搶修方法組合

圖10 L=(1,3,1,3)任務分配甘特圖Fig.10 Gantt chart of maintenance tasks scheduling ofscheme L=(1,3,1,3)

4 結 論

本文將選擇性維修理論引入戰場搶修決策,研究了考慮順序的搶修任務分配算法,建立了備件、搶修時間、搶修人員有限時,面向隨機任務的戰場搶修決策模型,得到了裝備戰場搶修方案。研究結果表明:選擇性維修可有效解決多資源約束條件下,面向任務的裝備戰場搶修決策問題;考慮搶修任務順序時,通過優化搶修任務分工,能夠縮短裝備戰場搶修時間,有效提高資源利用率和裝備任務可靠度;當裝備有多種搶修方法供選擇時,能夠顯著提高搶修效果。本文研究了單體裝備的戰場搶修決策問題,針對裝備群的戰場搶修決策問題,將更為復雜,還需要進一步深入探討,這也是正在研究的內容。

[1] 李建平, 石全, 甘茂治. 裝備戰場搶修理論與應用[M]. 北京: 兵器工業出版社, 2000.

LI J P, SHI Q, GAN M Z. Battlefield damage repair theory and application[M]. Beijing: Weapons Industry Press, 2000.

[2] 王廣彥, 胡起偉, 王潤生. 基于貝葉斯網絡的裝備戰場損傷評估模型[J]. 兵工學報, 2007, 28(11): 1351-1356.

WANG G Y, HU Q W, WANG R S. The assessment model of armament battlefield damage based on Bayesian network[J]. Acta Armamentarii, 2007， 28(11): 1351-1356.

[3] 王廣彥,胡起偉,劉偉.裝備戰斗損傷組合建模與仿真技術研究[J]. 兵工學報,2012,33(10): 1266-1275.

WANG G Y, HU Q W, LIU W. Study on composable modeling and simulating technology for equipment battlefield damage[J]. Acta Armamentarii, 2012, 33(10): 1266-1275.

[4] 王潤生,賈希勝,王廣彥,等.基于案例的戰場損傷評估研究[J].兵工學報,2006,27(6): 1086-1089.

WANG R S, JIA X S, WANG G Y, et al. A study of battlefield damage assessment with case-based reasoning[J]. Acta Armamentarii, 2006, 27(6): 1086-1089.

[5] 曹繼平,宋建設,古西睿,等.戰場搶修多需求點多資源二層優化調度模型[J].系統工程與電子技術,2008,30(8):1510-1613.

CAO J P, SONG J S, GU X R, et al. Optimization dispatching model on multi-requirement points and multi-resources of battlefield maintenance[J]. Systems Engineering and Electronics, 2008, 30(8): 1510-1613.

[6] 郭軍, 宋建設, 曹繼平, 等. 戰場搶修資源重組決策方法[J]. 系統工程與電子技術, 2014, 36(2): 306-311.

GUO J, SONG J S, CAO J P, et al. Battlefield urgent maintenance resource recombination decision making[J]. Systems Engineering and Electronics, 2014, 36(2): 306-311.

[7] 王潤生,賈希勝,王衛國,等.基于貝葉斯網絡的損傷定位研究[J].兵工學報,2006,27(4):726-730.

WANG R S, JIA X S, WANG W G, et al. The damage reason location based on Bayesian networks[J]. Acta Armamentarii, 2006, 27(4): 726-730.

[8] 胡起偉,石全,王廣彥,等.面向戰損模擬的戰損等級評定原理及系統實現[J].計算機仿真,2005,22(8):12-15.

HU Q W, SHI Q, WANG G Y, et al. Fundamentals and system implementation of the battle damage level assessment applied to battle damage simulation system[J]. Computer Simulation, 2005, 22(8): 12-15.

[9] 王潤生, 賈希勝, 王潤泉. 基于案例的戰場損傷評估智能化框架研究[J]. 計算機工程, 2006, 32(7): 174-176.

WANG R S, JIA X S, WANG R Q. Study of intelligence frame based on case of battlefield damage assessment[J]. Computer Engineering, 2006, 32(7): 174-176.

[10] 黃惠南. 雷達裝備戰場損傷評估與修復專家系統研究[D]. 長沙: 國防科學技術大學, 2005.

HUANG H N. Study on expert system of radar’s battlefield damage assessment and repair[D]. Changsha: National University of Defense Technology, 2005.

[11] RICE W F, CASSADY C R, NACHLAS J A. Optimal maintenance plans under limited maintenance time[C]∥Proc.of the Industrial Engineering Research Conference, 1998.

[12] CASSADY C R, JR W P M, POHL E A. Selective maintenance for support equipment involving multiple maintenance actions[J]. European Journal of Operational Research, 2001, 129(2): 252-258.

[13] PANDY M, ZUO M J, RAMIN M R, et al. Selective maintenance for binary systems under imperfect repair[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2013, 113(1): 42-51.

[14] KHATAB A, AGHEZZAF E H. Selective maintenance optimization when quality of imperfect maintenance actions are stochastic[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2016, 150: 182-189.

[15] 朱海平,郭磊,劉繁茂,等.生產批量約束下的串并聯系統選擇性維修方法[J].計算機集成制造系統,2011,17(2):419-424.

ZHU H P, GUO L, LIU F M, et al. Selective maintenance model for series-parallel system under production lot constraint[J]. Computer Integrated Manufacturing Systems, 2011, 17(2): 419-424.

[16] LIU Y, HUANG H Z. Optimal selective maintenance for multi-state systems under imperfect maintenance[J]. IEEE Trans.on Reliability, 2010, 59(2): 356-367.

[17] PANDEY M, ZUO M J, MOGHADDASS R. Selective maintenance modeling for a multistate system with multistate components under imperfect maintenance[J]. IIE Transactions, 2013, 45(11): 1221-1234.

[18] DAO C D, ZUO M J, PANDEY M. Selective maintenance for multi-state series-parallel systems under economic dependence[J]. Reliability Engineering and System Safety,2014,121(1):240-249.

[19] MAAROUFI G, CHELBI A, REZG N. Optimal selective renewal policy for systems subject to propagated failures with global effect and failure isolation phenomena[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2013, 114(6): 61-70.

[20] MAILLART L M, CASSADY C R, RAINWATER C, et al. Selective maintenance decision-making over extended planning horizons[J].IEEE Trans.on Reliability,2009,58(3):462-469.

[21] SCHNEIDER K, CASSADY C R. Evaluation and comparison of alternative fleet-level selective maintenance models[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2015, 134: 178-187.

[22] 徐慶征, 郭樂勐. 串并聯系統選擇性維修問題的方法研究[J]. 機械設計與制造, 2016(1): 61-65.

XU Q Z, GUO L M. Method for solving the selective maintenance problem for series-parallel system[J]. Machinery Design & Manufacture, 2016(1): 61-65.

[23] PHAM H, WANG H Z. Imperfect maintenance[J]. European Journal of Operational Research, 1996, 94(3): 425-438.

[24] 王正元,朱昱,宋建社,等.動態維修任務調度的優化方法[J].機械工程學報,2008, 44(1): 92-97.

WANG Z Y, ZHU Y, SONG J S, et al. Optimal method on dynamic maintenance task scheduling[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2008, 44(1): 92-97.