高超聲速飛行器分解集成軌跡預測算法

韓春耀, 熊家軍, 張 凱, 蘭旭輝

(空軍預警學院預警情報系, 湖北 武漢 430019)

0 引 言

臨近空間高超聲速飛行器突防能力強、打擊精度高、硬目標摧毀能力強,這些特點使得臨近空間高超聲速飛行器受到各軍事強國廣泛關注。作為防御方,研究臨近空間高超聲速飛行器的軌跡預測問題,一方面有助于預警探測網絡高效地管理探測資源,保持連續跟蹤目標;另一方面有助于制定攔截作戰方案,對于防御該類目標具有重要意義。

目前,關于臨近空間高超聲速飛行器軌跡預測的參考文獻還較少。臨近空間高超聲速飛行器本質上是一種升力式再入飛行器,根據采用發射平臺類型,可分為無動力滑翔高超聲速飛行器(如AHW、HTV-2、CAV-H)、吸氣式巡航高超聲速飛行器(如X-51A)和空天往返飛行器或者稱為亞軌道飛行器(如X-37B)。關于該類目標的軌跡預測研究大多集中在預測制導領域,但制導是從進攻方視角實施軌跡預測,能夠獲取更多、更準確的先驗知識[1-5]。現主要從防御的視角研究無動力滑翔高超聲速飛行器的軌跡預測問題。

實現軌跡預測的前提是目標運動符合一定規律,隨機的機動無法實現有效的預測。文獻[6-7]認為軌跡預測的關鍵是獲得飛行器的升阻比,認為再入拉起后飛行器升阻比線性增加且升阻比是關于運動狀態的函數,通過函數擬合計算升阻比關于時間的函數,在此基礎上通過數值積分預測運動軌跡。文獻[8]根據跟蹤濾波結果計算飛行器當前時刻的控制參數,通過運動微分方程數值積分預測飛行軌跡。上述方法均基于目標的動力學方程并通過數值積分外推飛行軌跡,數值積分法能夠綜合影響飛行器軌跡的各種因素[9],在能夠獲得高精度的初始狀態以及控制量估計值的條件下,具有較高的軌跡預測精度。文獻[10-11]研究了無動力高超聲速滑翔飛行器的彈道特征,分析了再入初始狀態對彈道的影響,認為基于動力學方程的軌跡預測方法對方程中的未知參數以及初始狀態均敏感。因此,基于動力學方程的軌跡預測方法對目標狀態初值以及系統參數估計具有較高要求,這將制約這類方法的運用。

文獻[12]利用廣義回歸神經網絡(generalized regression neural network, GRNN)預測高超聲速飛行器軌跡,其實質是利用徑向基函數逼近非線性運動方程,進而外推飛行軌跡。運用神經網絡軌跡預測的方法受制于訓練樣本規模,在獲得少量測數據的條件下,該方法預測精度低。文獻[13]研究了零傾側角條件下無動力滑翔高超聲速飛行器的軌跡預測問題,先利用交互式多模型估計目標狀態,再用雙正弦和函數擬合目標的加速度曲線,最后用狀態估計值作為狀態初值外推軌跡。該方法假設探測器具有較高的探測精度,軌跡預測的精度取決于運動狀態的估計精度。

為了解決上述問題,試圖從歷史軌跡中挖掘運動軌跡的特征,借鑒分解集成的思路,將飛行器運動軌跡序列分解為具有不同特征的子序列,根據子序列的特征建立相應的預測模型,將各子模型預測結果的集成作為最終的軌跡預測結果。

1 軌跡可預測性分析

無動力滑翔高超聲速飛行器的控制量根據制導律不斷變化,這增加了軌跡預測的難度,但也有規律可循。為了減小控制系統復雜度,控制量常遵循一些規律,如攻角設計為速度的分段線性函數[14-15],傾側角按照分段常值和符號翻轉規律設計,這都為飛行器軌跡預測提供了可能。將針對無動力滑翔高超聲速飛行器在滑翔段的軌跡預測問題,研究常攻角條件下的滑翔段軌跡預測方法。

飛行器在滑翔段飛行時間最長,具有較長的攔截窗口,且運動軌跡相對平穩,機動能力有限,無欺騙式干擾,易于連續跟蹤并便于攔截[16],因而考慮滑翔段軌跡預測。根據無動力滑翔高超聲速飛行器滑翔段軌跡優化結果,為達到最大縱程飛行器需要保持較大升阻比。升阻比的大小與飛行器攻角以及速度有關,其中攻角是主要因素,CAV-H升阻比與攻角的關系曲線類似非對稱的鐘罩,并在10°～15°達到最大[17]。文獻[2]認為在飛行器再入拉起后,采用最大升阻比滑翔軌跡與以最大縱程為優化目標的優化軌跡是一致的,并且接近擬平衡滑翔結果。因此,無動力滑翔高超聲速飛行器在滑翔段為獲得最大射程,常保持較大升阻比,即攻角接近線性變化且變化量小,研究常攻角條件下的滑翔段軌跡預測是合理的。

2 分解集成軌跡預測算法

在時序混合模型研究領域,文獻[18-19]針對復雜系統提出了TEI@I(text mining, econometrics, intelligence, integration)方法論,該方法論的核心是先分解再集成,將文本挖掘、傳統計量、人工智能以及系統集成等技術相融合,以發揮各模型的長處避免其不足,最終達到提高預測精度的目的。無動力滑翔高超聲速飛行器在滑翔段的飛行軌跡表現出明顯的周期性運動和趨勢性,分解集成軌跡預測算法采用該思想,將運動軌跡表現出的明顯的周期性和趨勢性規律分離,針對不同的軌跡變化規律設計相應的子軌跡預測模型,從而提高預測模型的擬合精度和降低預測模型的運算量。

2.1 分解集成軌跡預測原理

分解集成軌跡預測模型利用函數變換將運動軌跡分解為趨勢項、周期項以及隨機項,再通過加法模型或者是乘法模型生成最終的軌跡預測模型。將采用加法模型,加法模型可以通過指數變換轉化為乘法模型。

假設飛行器軌跡序列表示為x,并采用加法模型,則軌跡序列可以分解為

x=[x(1),x(2), …,x(n)]=T+S+I

(1)

其中

T=[xT(1),xT(2), …,xT(n)]

S=[xS(1),xS(2), …,xS(n)]

I=[xI(1),xI(2), …,xI(n)]

式中,T表示軌跡的趨勢項,反映了軌跡在長時間尺度上表現的運動趨勢;S表示軌跡的周期項,反映了軌跡重復變化規律;I表示隨機項,反映了不確定性因素引起的位置變化。

將軌跡序列分解為具有趨勢、周期以及隨機特性的子序列,針對子序列的特性選擇相應的子軌跡預測模型并分別預測T、S、I,則軌跡預測模型的最終輸出為

(2)

2.2 軌跡序列分解方法

分解集成軌跡預測算法的首要步驟是將軌跡序列分解。信號處理領域常用的分解方法有傅里葉分解、小波分解、經驗模態分解(empirical mode decomposition, EMD)[20],還有EMD的改進集成經驗模態分解(ensemble EMD, EEMD)[21]。將軌跡序列看作離散信號,利用分解方法將原軌跡序列分解。文獻[20]提出了EMD算法,該算法適用于分析非線性、非平穩時間序列,抗噪聲能力強,并且EMD算法不需要事先確定基函數,與基于小波基函數的小波分解和基于諧波基函數的傅里葉分解不同,能夠根據序列的時間尺度自適應的確定特征。EMD算法能夠將軌跡序列分解為有限個本征函數(intrinsic mode function, IMF),實際表現形式為處理后的序列,而并非歸納為與諧波基函數類似的函數形式。

在應用中,EMD算法存在模態混淆的現象,導致軌跡序列變化規律分解不清晰。文獻[21]基于EMD提出了集成經驗模態分解。EEMD的基本思想是在原始時間序列疊加高斯白噪聲基礎上多次運行EMD。

EEMD算法的實現過程如下:

步驟1程序參數初始化。設置EMD的運行次數為K,白噪聲的幅值系數為ε,令運行次數計數器k=1。

步驟2執行第k次EMD算法。在軌跡序列x上疊加高斯白噪聲序列Gk,生成第k次待分解的時間序列xk。需要注意,每次在原時間序列上疊加的高斯白噪聲序列要滿足高斯同分布并且相互獨立,以達到在多次輸出平均后抑制或者消除噪聲的目的。生成的待分解時間序列表示為

xk=x+ε·Gk

(3)

式中,ε為疊加的高斯白噪聲的幅值系數。

執行EMD算法,得到軌跡序列的D個分量,并且將分解殘余項看作最后一個分量。

(4)

式中,Cd,k為第k次EMD分解的第d個分量;RD,k表示殘余項。

如果k

步驟3根據K次EMD算法的輸出均值確定最終的分解結果。

(5)

將軌跡時間序列分解后,再利用傅里葉變換分析時間序列的頻譜結構和相位信息。最后根據頻譜分析結果,整合具有相同或者相似頻譜結構的IMF,構造飛行軌跡時間序列的子序列T、S、I。趨勢項T包含的是低頻部分,其中IMF個數為dT;周期項S包含的是頻率在1/P附近的IMF,包含dS個IMF;其余部分為隨機項I,包含dI個IMF。軌跡序列分解后的各個項表示為

(6)

圖1為軌跡序列分解的結果。通過分析EEMD分解結果的頻譜結構,將無明顯主頻率的IMF合并作為隨機項,將有明顯主頻率的IMF合并作為周期項,殘余項作為趨勢項。由于趨勢項具有較高的能量,因此與原始軌跡序列具有類似的頻譜。分解集成軌跡預測模型采用批處理方式,即根據某一時間段內目標狀態的濾波結果預測目標軌跡。求解預測模型參數利用的軌跡序列的集合稱為訓練集,訓練集中包含的樣本的個數稱為訓練樣本容量,從軌跡序列分解的流程看,為分解出周期項,訓練樣本容量應大于運動周期。

圖1 軌跡序列分解結果Fig.1 Trajectory sequence decomposition results

2.3 子軌跡預測模型選擇

軌跡序列分解后,針對子序列的特征選擇合適的子軌跡預測模型,模型選取考慮的因素有模型與運動規律的擬合程度、訓練集容量以及時效性等。分解集成軌跡預測根據訓練樣本預測目標未來運動狀態,子模型選取基于統計模型和神經網絡模型。統計模型用隨機性的方程描述序列內部要素間的定量關系,常見統計模型有自回歸(auto regressive, AR)模型、滑動平均(moving average, MA)模型、自回歸滑動平均(auto regressive moving average, ARMA)模型、自回歸積分滑動平均(auto regressive integrated moving average, ARIMA)模型、自回歸條件異方差(auto regressive conditional heteroscedastic, ARCH)模型等,其中前3種模型可以看做ARIMA模型的特例。神經網絡模型利用機器學習擬合輸入狀態至預測狀態的非線性映射,主要考慮支持向量回歸模型以及神經網絡模型。考慮的子模型集包含ARMA模型、最小二乘支持向量回歸(least square support vector regression, LSSVR)模型以及誤差反向傳播神經網絡(error back propagtion neural network, BPNN)模型。

軌跡序列分解的隨機項建模為ARMA模型,表示為

Yn=φ1Yn-1+φ2Yn-2+…+φpYn-p+

en-θ1en-1-θ2en-2-…-θqen-q

(7)

式中,p和q為模型階數。建模時首先檢驗軌跡序列平穩性,再確定預測模型參數,最后模型檢驗。平穩性檢驗可以根據序列的波形特征判斷,也可構建檢驗統計量進行假設檢驗。利用KPSS(Kwiatkowski、Phillips、Schmidt、Shin)檢驗判斷其平穩性,隨機項是平穩的。隨機項的自相關函數(auto-correlation function,ACF)數與偏自相關函數(partial ACF,PACF)數如圖2和圖3所示,均為峰值后拖尾衰減,因此模型形式為ARMA(p,q)。其中,p最大為3,q最大為8,因此共有24種模型,利用貝葉斯信息準則(Bayesian information criterion, BIC)評價統計模型的擬合優良性,最優p選為3,最優q選為2。BIC模型表示為

BIC=-2log2(L)+klog2(N)

(8)

式中,L為極大似然估計;N為訓練樣本容量;k相當于懲罰函數,確保選擇簡潔模型,避免模型輸入參數太多。若模型包含截距和常數項,則k=p+q+1;否則k=p+q。

圖2 隨機項的自相關函數數Fig.2 ACF of random item

圖3 隨機項的偏自相關函數數Fig.3 PACF of random item

軌跡序列分解的周期項選擇非線性映射能力強的模型,備選模型為LSSVR模型和BPNN模型。考慮到軌跡預測能夠使用的歷史數據有限,而LSSVR對于小樣本的回歸性能具有優勢,并且具有優化速度快、運算復雜度低等特點,周期項建模為LSSVR模型。

y=ωTφ(x)+b

(9)

式中,φ(·)表示非線性映射函數,將樣本從原始空間映射到一個更高維的特征空間(Rm→Rmf);ω∈Rmf是權向量;b是偏置量。

最小二乘支持向量回歸的目標函數為

s.t.yi=ωTφ(xi)+b+ei,i=1,2,…,N

(10)

利用拉格朗日乘子法獲得其對偶問題,最終獲得LSSVR的非線性函數式,這里不再贅述求解過程,即回歸機為

(11)

式中,k(x,xi)為核函數,選擇徑向基核函數;α為拉個朗日乘子。

軌跡序列分解的趨勢項具有明顯的線性特征,因此,趨勢項建模為AR模型。

2.4 軌跡預測流程

分解集成軌跡預測算法流程如下:

步驟1利用EEMD分解軌跡序列,將軌跡序列分解為趨勢項、周期項以及隨機項3個子序列,每個子序列具有不同的特征。

步驟2針對子序列的特征選取相應的軌跡預測模型外推子序列。

步驟3整合子軌跡預測模型的預測結果,獲得最終的預測結果。

根據軌跡預測應用需求,預測飛行器未來60 s的運動軌跡,即實現多步預測。但子模型的預測結果為一步預測,采用迭代預測的方法實現多步預測。迭代預測將一步預測的估計值作為輸入,通過多步一步預測實現多步預測。由于將預測值而不是量測值作為預測模型的輸入,會導致誤差的傳播,造成累積誤差。

3 實例分析

3.1 實驗條件

通過對飛行器再入過程運動微分方程進行Runge-Kutta數值積分,獲得仿真所需的飛行器軌跡數據。飛行器的參數,如質量、氣動參數等,參照美國洛克希德-馬丁公司設計的高超聲速飛行器CAV-H[22];飛行器的初始狀態根據經驗設置,速度為3 000～4 000 m/s,高度為40～60 km;控制量傾側角設置為0°,即保證飛行軌跡在同一平面,只考慮目標的縱向機動,控制量攻角設置為10°～15°的常值,使飛行器保持常攻角飛行;軌跡預測的前提是連續跟蹤目標,預警探測系統的采樣周期為1 s,當采樣周期為1 s時,訓練樣本容量與觀測時間數值上相等,跟蹤濾波均方根誤差(root mean square error, RMSE)設置為50 m。圖4為生成的一條無動力滑翔高超聲速飛行器滑翔段模擬軌跡。

圖4 無動力滑翔高超聲速飛行器模擬軌跡Fig.4 Simulation trajectory of unpowered gliding hypersonic vehicle

3.2 實驗設計

為驗證所提分解集成軌跡預測算法的性能,設計仿真對照實驗。對照組采用BPNN模型、LSSVR模型以及ARIMA模型,其中前兩種為基于機器學習的單模型,其中BPNN借助Matlab Neural Network Toolbox 8.2中的函數實現,LSSVR借助LIBSVM 3.21中的函數實現。BPNN模型、LSSVR模型均具有非線性映射能力,能夠單獨作為預測模型。ARIMA模型為統計模型,多應用于經濟領域的短期預測,也可將軌跡序列建模為ARIMA模型實現軌跡預測。

軌跡預測算法的性能主要是指預測精度,評價指標采用均方根誤差,表示為

(12)

3.3 實驗結果及分析

根據軌跡預測性能的評價標準,對比分析跡預測算法的性能。設訓練樣本容量為300,軌跡預測時間為60 s,即根據飛行器前300 s的歷史軌跡預測未來60 s的運動軌跡。表1為4種軌跡預測算法在不同預測時間的預測精度對比。圖5為4種軌跡預測算法預測精度隨時間的變化。圖6為執行一次軌跡預測算法的預測效果演示。可見,提出的分解集成模型預測精度最高,預測60 s的RMSE為639 m,BPNN模型、LSSVM模型次之,ARIMA模型預測精度最低,預測60 s的RMSE為3 010 m。ARIMA模型的預測精度低的原因是ARIMA是典型的線性模型,不能通過訓練樣本反映軌跡的非線性特征和周期性特征。同時,隨著預測時間的增加,所有預測模型的預測RMSE均增大。

表1 不同預測模型的預測精度

圖5 軌跡預測精度隨時間變化Fig.5 Prediction RMSE versus time

圖6 不同預測模型時單次預測結果Fig.6 Prediction results of different models

為進一步研究影響分解集成軌跡預測算法精度的因素,分別分析訓練樣本容量和預測起點對預測精度的影響。圖7為預測精度和訓練樣本容量的關系,展示了樣本容量為300、240、180時預測精度隨預測時間的變化。軌跡分解集成軌跡預測算法利用一段軌跡序列預測運動軌跡,但軌跡序列要大于運動周期時,才能準確地分解出周期項,進而提高預測精度。仿真結果與驗證了分析結果,隨訓練樣本容量的增加,軌跡預測精度顯著提高。圖8為軌跡預測的一次示例,訓練樣本容量為180時,小于運動軌跡的周期,大約為200 s,從而軌跡預測模型不能準確刻畫周期特征,導致預測精度急劇下降。

圖7 預測精度與訓練樣本容量的關系Fig.7 Relationship between sample size and prediction precision

圖8 不同樣本容量時的單次預測結果Fig.8 Prediction results of different sample sizes

圖9為預測精度與預測起點的關系。當預測起點靠近軌跡的波峰或者波谷時,如預測起點為300 s或370 s時,軌跡預測精度約為1.5 km,而預測起點在兩者之間時,預測精度為0.8 km,因此,預測起點影響預測精度。在高超聲速飛行器單個運動周期內,在不同的位置的機動能力有差異,例如在軌跡的波峰或者波谷時加速度變化快,而在中間過程加速度緩慢變化,仿真結果驗證了飛行機動能力弱時降低了預測難度,有助于提高軌跡預測的精度。圖10為不同預測起點時的單次預測結果。

圖9 預測精度與預測起點的關系Fig.9 Relationship between prediction precision andprediction starting point

圖10 不同預測起點時的單次預測結果Fig.10 Prediction results of different prediction starting points

為了展示提出的分解集成軌跡預測模型的預測性能,從320 s開始外推目標120 s的運動軌跡。將20～320 s總共300 s的濾波數據作為訓練樣本,分解集成軌跡預測模型的預測輸出如圖11所示。

圖11 分解集成預測模型的單次預測結果Fig.11 Prediction results of decomposition ensembleprediction model

圖12為一次仿真的預測誤差。進行較長時間的軌跡預測有利于預警探測系統連續跟蹤來襲目標、為組織實施攔截提供更長的準備時間,這也是進行軌跡預測目的。從預測效果可見,分解集成軌跡預測算法能夠反映飛行器軌跡周期性波動和飛行高度呈下降趨勢的特征。無動力滑翔高超聲速飛行器采用高升阻比的氣動外形,由高向低滑翔時,空氣密度逐漸變大,所受重力將小于氣動升力,產生向上加速度,由低向高滑翔時,隨著飛行高度增加,空氣密度逐漸變小,重力將大于氣動升力,產生向下加速度,直至向上的速度為零后向下運動,以此往返運動,形成周期性波動特性。但飛行器的能量逐漸減小,飛行高度表現出逐漸減低的趨勢。提出的分解集成軌跡軌跡預測模型,軌跡序列分解的周期項與趨勢項與上述運動規律相符合,因此具有良好的軌跡預測效果。

圖12 單次軌跡預測的預測誤差Fig.12 Prediction error of single performance

4 結束語

針對無動力滑翔高超聲速飛行器軌跡預測問題,提出了分解集成軌跡預測算法。通過仿真實驗得出以下結論:分解集成軌跡預測模型與其他軌跡預測模型相比,能夠有效地提高軌跡預測精度。預測的時間越短軌跡預測的精度越高,這也說明由于不確定因素,實現長時間尺度的軌跡預測將十分困難。非線性模型比線性模型能夠更好地擬合周期性變化規律。分解集成軌跡預測算法不僅預測時間靈活,既可以單步預測,也能夠多步預測,而且可以應用于具有周期性變化規律的序列預測,具有較強的適用性。分解集成軌跡預測算法利用飛行器在較長時間內的運動軌跡特征預測未來狀態,預測精度與訓練樣本容量和預測起始位置相關,在提高軌跡預測精度的同時,限制了軌跡預測的條件。

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