基于發生函數的模糊多狀態復雜系統可靠性通用評估方法

史躍東, 金家善, 徐一帆, 胡俊波

(1. 海軍工程大學科研部, 湖北 武漢 430033; 2. 海軍工程大學管理工程系, 湖北 武漢 430033)

0 引 言

工程領域的復雜系統多具備組成結構復雜、運行過程復雜、使用環境復雜等特點,且可靠性、安全性、可用性要求較高,然而鑒于其自身性能潛在的突變性、涌現性以及結構敏感性等原因,前述可靠性、安全性、可用性計算分析工作難度往往較大。為此,探索一類能夠較為準確刻畫復雜系統運行歷程,真實映射其可靠性、安全性和可用性的通用模型和研究方法,一直備受行業研究人員關注,特別是在面臨配套保障資源籌劃、維修管理決策等與壽命周期成本密切相關的現實工程問題時,復雜系統的可靠性預測、評估技術,更是解決相關問題的關鍵所在,因此成為研究熱點和難點。

早期受到傳統建模理念和現實解算能力所限,有關復雜系統的可靠性研究工作,多假定系統性能僅為二元狀態,即“正常工作”狀態和“完全失效”狀態。然而,長期的工作實踐表明,僅依賴二元狀態刻畫評估系統工作性能,獲取的研究結果多有欠理想,甚至與實際觀測結果大相徑庭,因此,亟待探索一類能夠較為準確刻畫系統真實運行狀態的建模方法。自20世紀90年代起,多狀態理論被引入復雜系統可靠性建模與評估研究領域,并被作為系統成本優化、維修決策的重要輔助工具[1-3]。文獻[4-12]利用多狀態理論開展復雜系統失效機理研究,建立了較為理想的可靠性多狀態評估模型。文獻[13-14]針對機械多狀態系統,提出了一類離散化的可靠性解析方法。文獻[15-16]基于貝葉斯網絡理論,開展了多狀態復雜系統的可靠性建模與評估研究。文獻[17-21]針對一類極具代表性的相鄰多狀態k/n系統,給出了通用解算方法。文獻[22-24]則進一步探討了計及部件老化的多狀態復雜系統的可靠性評估特殊性。

與二元理論相比,多狀態理論改善了系統建模精度,能夠更為真實地反映復雜系統工作歷程,但同時也在一定程度上加大了模型解算的工作量,對于包括較多構件的大型復雜系統來說,解算工作量更是呈幾何級數增加。為此,一類極具計算優勢的通用發生函數解算方法,被納入多狀態復雜系統可靠性評估解算體系。其中,文獻[25-30]在此方面開展了諸多工作;文獻[31-33]則在此基礎上,進一步探討了半馬爾可夫狀態躍遷假設下的復雜系統多狀態可靠性評估方法。

近年來,隨著多狀態復雜系統建模理論的逐步完善,解算方法和解算能力的迅速提升,相關研究成果已得以成功應用于復雜系統的可靠性優化設計、保障資源合理配置、維修活動科學決策等工程領域[34-40]。其中,文獻[41-46]給出了典型多狀態串并聯冗余系統的可靠性優化分配方法;文獻[47-53]則進一步針對多狀態復雜系統構件失效后的維修策略選擇問題,開展了相關深入研究。

雖然，以多狀態理論和發生函數算法為核心的復雜系統建模和可靠性分析工作,已有部分研究成果,但隨著現代工業技術的飛速發展,產品研制周期越來越短,壽命周期越來越長,有些復雜系統尚未經歷足夠時長的可靠性觀測,就已投入高強度使用,因此,較難獲取足量有效數據,用以精確評估其不同狀態性能水平及其狀態發生概率。同時,為降低計算載荷,采用的各類復雜系統建模簡化方法、數值算法,也或多或少地在一定程度上降低了問題解算精度。為此,亟需進一步發展一類新技術和新理論,以彌補多狀態復雜系統建模理論的現存技術短板。模糊多狀態建模理論以及數值處理技術,正是為解決前述相關問題,被嘗試引入復雜系統可靠性建模、分析與評估領域。目前,此方面的研究工作成果尚不多見[54-55]。

本文以經典串并混聯通用系統模型為研究對象,旨在綜合多態理論、模糊理論和發生函數理論的基礎上,探究一類適用于復雜系統可靠性建模、分析與評估的程式化解算方法,用以解決由于多態性能觀測數據有限或模型簡化處理,可能導致的解算精度下降、解算結果失真等技術難題,進而為發展多狀態復雜系統可靠性分析理論和解算方法提供技術借鑒。

1 模糊多狀態系統

1.1 常規多狀態系統

首先,引入多狀態系統基本理念。不失一般性,假設任意多狀態系統S,由n個不同功能元件j(j=1,2,…,n)組成,且第j個元件具有kj種狀態性能,相關狀態向量gj由式(1)確定

gj=[gj1,gj2,…,gjkj]

(1)

進一步,假設元件j在任意時刻t的性能狀態為Gj(t),則有Gj(t)∈gj。這里,Gj(t)為隨機變量,相關狀態取值概率向量pj,計算式為

pj=[pj1(t),pj2(t),…,pjkj(t)]

(2)

綜上,如果多狀態系統S具有K種輸出性能狀態qi(i=1,2,…,K),則有式(3)成立。

(3)

式中,f(·)為由系統相應物理特性確定的構型函數。

1.2 模糊多狀態系統

如前論述可知,多狀態系統S的輸出性能qi及其概率分布,可由系統組成元件j的狀態向量gj、概率向量pj以及系統構型函數f(·)唯一確定。然而,鑒于觀測時間、觀測手段有限,獲取gj、pj兩類向量的精確值往往較難,而多采用區間值或模糊值代替。由此,為更加有效地基于現有觀測手段、觀測數據,分析獲取所研多狀態系統的性能分布及可靠性參數,模糊多狀態理論被引入其中。后續內容,統一使用“～”上標符號,標識模糊數學量。

(4)

式中,模糊數的表達方式有多種,這里選用滿足kaufumann-gupta排序規則的三角模糊數M,數學定義為

M=[a,b,c]

(5)

式中,模糊數間的排序運算,參照如下次序實施。

(6)

(7)

(8)

SRi={ri∈Ri|ri≥0}

(9)

由此,可將式(7)左側表達式改寫為

(10)

(11)

2 發生函數法

多狀態建模理論,與傳統的二元建模理論相比,關于系統運行歷程的刻畫,更為貼近真實工況,能夠較為準確地反映系統運行特性。但鑒于建模狀態增多,導致解算工作趨于復雜,對于引入模糊多狀態建模理論的復雜系統而言,更是如此。由此,為提升復雜系統可靠性建模的程式化程度,有效釋放解算資源,基于生成序列的發生函數法,被應用于可靠性分析、評估領域,并發揮重要作用。

2.1 通用發生函數

首先,給出發生函數的基本定義。不失一般性,考慮n個獨立隨機變量Xj,以及與其相關的隨機變量Y=f(X1,X2,…,Xn),其中,變量Xj存有kj種狀態,且滿足概率分布

pxj=Pr{Xj=xj}

則可定義變量Xj的z變換函數為

進一步,通過引入通用發生算子Ωf,則可確定關聯變量Y的z變換函數為

(12)

注意,若將變量Y視為系統輸出,Xj視為組成元件的性能輸入,f(·)視為系統構型函數,且按規則

(xj,pj)=[(xj1,pj1),…,(xjkj,pjkj)]

量化變量Xj的概率分布,則式(12)可進一步寫為

(13)

2.2 模糊通用發生函數

引入模糊多狀態理論,仍針對由n個元件j組成的多狀態系統S,沿用式(4)中符號定義,則有元件j的模糊z變換函數uj(z)為

(14)

(15)

式中,sup(·)為上確界函數;min(·)為最小值函數。

3 模糊復雜系統可靠性評估建模

3.1 通用模型

工程復雜系統一般多具有元件構成多、邏輯關聯結構多變等特征,就可靠性建模分析而言,存有串聯、并聯、串并混聯、橋聯等多種結構可能。鑒于串聯、并聯結構均為串并混聯結構的一類特殊情形,橋聯結構亦可利用數學手段轉換為串并混聯結構,考慮到模型確立的普適性,這里選用典型串并混聯結構模型,作為文中模糊多狀態復雜系統可靠性分析的通用模型,如圖1所示。

圖1 典型串并混聯結構Fig.1 Classic series parallel hybrid structure

圖1中,變量m,n,s,p均取自然數,uij(z)為相關元件的z變換函數。

3.2 模糊多狀態系統可用度評估

(16)

(17)

式中

4 典型算例

4.1 初始假設

以某型船用汽輪發電系統為例,如圖2所示,由供汽、主發電、備用發電3個子單元構成。其中,供汽單元包括兩臺蒸汽鍋爐,負責聯合提供蒸汽工質;發電單元由汽輪機和發電機構成,主、輔發電單元互為備用,擇一提供電力載荷。鑒于船用汽輪發電系統,組成結構復雜,海上運行環境惡劣,運行工況多樣,且性能狀態精確觀測不易,可將其視為模糊多狀態復雜系統處理,并選用三角模糊數,量化描述系統模糊狀態。

進一步,假定利用期望功率輸出比η,判定系統及其各級組成單元的性能狀態等級。對于圖2所示系統,參照文獻[28]中穩態計算結果,并綜合行業專家經驗,有如下初始條件,見表1。

圖2 船用汽輪發電系統組成框架Fig.2 Frame structure of marine boiler turbine generator system

j1(鍋爐1)2(鍋爐2)pj1(0．00007，0．0001，0．00012)(0．00007，0．0001，0．00012)pj2(0．0061，0．0066，0．0070)(0．0061，0．0066，0．0070)pj3(0．9927，0．9933，0．9938)(0．9927，0．9933，0．9938)gj1(0，0，0)(0，0，0)gj2(0．5，0．6，0．7)(0．5，0．6，0．7)gj3(0．9，0．9，0．9)(0．9，0．9，0．9)j3(汽輪機1)4(發電機1)pj1(0．00015，0．0002，0．00025)(0．0025，0．003，0．0034)pj2(0．0160，0．0164，0．0169)(0．9968，0．997，0．9972)pj3(0．9829，0．9834，0．9838)-gj1(0，0，0)(0，0，0)gj2(0．73，0．8，0．88)(1．0，1．0，1．0)gj3(1．0，1．0，1．0)-j5(汽輪機2)6(發電機2)pj1(0．008，0．0083，0．0088)(0．0024，0．003，0．0035)pj2(0．9910，0．9917，0．9920)(0．9965，0．997，0．9976)pj3--gj1(0，0，0)(0，0，0)gj2(0．80，0．85，0．90)(1．0，1．0，1．0)gj3--

由表1可知,汽輪發電系統中供汽鍋爐運行性能存有3種狀態,即完全失效狀態、部分失效狀態和充分工作狀態,且2臺供汽鍋爐運行性能完全一致;類似地,主發電單元汽輪機運行性能也存有3種狀態,完全失效狀態、部分失效狀態和完全工作狀態;與主發電單元不同,輔發電單元汽輪機運行性能要求較寬松,僅存有2種狀態,完全失效狀態和充分工作狀態;最后,主輔發電機均性能穩定,較難發生失效,僅存有完全失效和完全工作2種狀態。

4.2 系統模糊發生函數

鑒于工程實際應用中,往往重點關注所研系統的穩態輸出性能。因此,文中以下各類量化計算,均以此為基本前提,不再額外說明。

首先,計算船用汽輪發電系統各組成單元的模糊z變換函數Uj(z),這里以汽輪機1和發電機1組成的主發電單元U2(z)為例,解算說明如下,其他相關單元不再贅述。

(18)

(0.002 6,0.003 2,0.003 7)z0+

(0.015 9,0.016 4,0.016 9)z(0.73,0.80,0.88)+

(0.979 8,0.980 4,0.981 0)z1

(19)

類似地,可求供汽單元和輔發電單元模糊z變換函數U1(z)、U3(z)分別為

U1(z)=10-7(0.049,0.1,0.144)z0+

10-5(0.085 4,0.132,0.168)z(0.25,0.3,0.35)+

10-3(0.139,0.198 7,0.238 5)z0.45+

10-4(0.372 1,0.435 6,0.49)z(0.5,0.6,0.7)+

(0.012 1,0.013 1,0.013 9)z(0.7,0.75,0.80)+

(0.985 5,0.986 6,0.987 6)z0.9

(20)

U3(z)=(0.010 4,0.011 3,0.012 3)z0+

(0.987 5,0.988 7,0.989 6)z(0.80,0.85,0.90)

(21)

10-4(0.269 8,0.361 7,0.456 1)z0+

10-5(0.085 1,0.132,0.168 6)z(0.25,0.30,0.35)+

10-3(0.138 5,0.198 7,0.239 3)z0.45+

10-4(0.370 7,0.435 6,0.491 7)z(0.5,0.6,0.7)+

(0.012 1,0.013 1,0.013 9)z(0.7,0.75,0.8)+

10-3(0.163,0.182 8,0.205 3)z(0.73,0.8,0.88)+

(0.018,0.019 1,0.020 1)z(0.80,0.85,0.9)+

(22)

分析式(22)可知:①船用汽輪發電系統作為一類模糊多狀態復雜裝備系統,具有8種不同運行狀態,相關狀態性能及其概率分布模糊特征明顯,較難實現量化精確描述,這里采用三角模糊數方法,實現模糊特征的量化描述;②若8類運行狀態,按照量化性能數值,依次從小到大排序(0→1,(0.25,0.30,0.35)→2,…,0.9→8),則比照不同狀態概率分布量值可知,汽輪發電系統運行處于第5、7、8類狀態的幾率較大,即系統常態運行功率長期保持于設計功率的70%以上;③已知汽輪發電系統各構成單元發生函數Ui(z)的前提下,全系統的多類模糊運行狀態,可通過引入模糊發生算子Ω,嵌套迭代解算,運算過程僅涉及數乘、求和等簡單代數運算,計算資源依賴程度低、程式化大、解算速度快。

4.3 系統可用度評估

(23)

表2 模糊集勢函數計算結果

10-3(0.163,0.182 8,0.205 3)0.32+

(0.018,0.019 1,0.020 1)0.791 7+

(0.963 6,0.967 3,0.970 7)=

(0.977 9,0.982 5,0.986 7)

(24)

5 結 論

以串并混聯船用汽輪發電結構為對象,開展了模糊多狀態復雜系統可靠性通用評估方法研究。結合通用發生函數,給出了模糊多狀態可靠性建模、分析、評估方法,并針對典型案例實施了模糊需求下多狀態復雜系統的可用度解算和評估。解算與評估表明,文中建模、分析、評估方法合理,能真實反映多狀態復雜系統的可靠性特征;克服觀測數據不確定性的模糊數學處理方法有效,可靠性評估結論更真實可靠;回避大自由度微分運算的可靠性單元通用發生函數描述方法,解算優勢明顯、適用范圍更廣。

文中建模、解算方法,豐富、發展了復雜系統多狀態可靠性評估理論,可為有關模型實體的維修決策提供理論支撐和技術借鑒。下一步擬拓展文中研究結果,結合元啟發式計算技術,探討多狀態復雜系統的可靠性設計及部組件配置優化方法。

[1] ANATOLY L, ILIA F, YI D. Multi-state system reliability analysis and optimization for engineers and industrial managers[M]. London: Springer Press, 2010.

[2] KRZYSZTOF K, JOANNA S B. Reliability and safety of complex technical systems and processes[M]. London: Springer Press, 2011.

[3] GU Y K, LI J. Multi-state system reliability: a new and systematic review[J]. Procrdia Engineering, 2012, 29(4): 531-536.

[4] GREGORY L. Reliability of multi-state systems with two failure-modes[J].IEEE Trans.on Reliability,2003,52(3):340-348.

[5] JOSE E R, DAVID W C. Composite importance measures for multi-state systems with multi-state components[J]. IEEE Trans.on Reliability, 2005, 54(3): 517-529.

[6] FAN H, SUN X. A multi-state reliability evaluation model for P2P networks[J]. Reliability Engineering & System Safety, 2010, 95(4): 402-411.

[7] 周金宇, 謝里陽, 王學敏. 多狀態系統共因失效分析及可靠性模型[J]. 機械工程學報, 2005, 41(6): 66-70.

ZHOU J Y, XIE L Y, WANG X M. Analysis for common cause failure and reliability model in multi-state systems[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2005, 41(6): 66-70.

[8] 周金宇, 謝里陽. 多狀態系統共因失效機理與定量分析[J]. 機械工程學報, 2008, 44(10): 77-82.

ZHOU J Y, XIE L Y. Common cause failure mechanism and risk probability quantitative estimation of multi-state systems[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2008, 44(10): 77-82.

[9] KRISITIANSEN M, NATVIG B, WINTER R. Assessing software reliability of multistate systems[C]∥Proc.of the European Safty and Reliability Conference, 2014: 2807-2814.

[10] KOLOWROCKI K, KULIGOWSKA E. On multistate technical system operation process influence on its reliability[C]∥Proc.of the European Safty and Reliability Conference, 2015: 2099-2106.

[11] DONG R S, ZHU Y Y, XU Z B, et al. Decision diagram based symbolic algorithm for evaluating the reliability of a multistate flow network[J]. Mathematical Problems in Engineering, 2016, 45(6): 70-81.

[12] YEH W C. An improved sum of disjoint products technique for symbolic multi-state flow network reliability[J]. IEEE Trans.on Reliability, 2015, 64(4): 1185-1193.

[13] 錢文學, 尹曉偉, 謝里陽. 多狀態機械系統可靠性的離散化建模方法[J]. 東北大學學報, 2008, 29(11): 1609-1612.

QIAN W X, YIN X W, XIE L Y. Discretized modeling process of reliability of multi-state mechanical systems[J]. Journal of Northeastern University, 2008, 29(11): 1609-1612.

[14] ORTEGA E M, ALONSO J, ORTEGA Q, et al. Comparisons of multistate models with discrete-time pure-birth process for recurrent events and uncertain parameters[J]. Communications in Statistics-Theory and Methods, 2016, 45(6): 1733-1746.

[15] 尹曉偉, 錢文學, 謝里陽. 基于貝葉斯網絡的多狀態系統可靠性建模與評估[J]. 機械工程學報, 2009, 45(2): 206-212.

YIN X W, QIAN W X, XIE L Y. Multi-state system reliability modeling and assessment based on Bayesian networks[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2009, 45(2): 206-212.

[16] WANG J, LEE C J. Multistate Bayesian control chart over a finite horizon[J].Operations Researrch,2015,63(4): 949-964.

[17] 宋月, 劉三陽, 馮海林. 相鄰k/n(F)多狀態可修系統的可靠性分析[J]. 系統工程與電子技術, 2006, 28(2): 310-312.

SONG Y, LIU S Y, FENG H L. Reliability analysis of consecutivek-out-of-n:Frepairable systems with multi-state component[J]. Systems Engineering and Electronics, 2006, 28(2): 310-312.

[18] 武月琴, 周泓, 官建成. 一類多狀態系統的可靠性計算[J]. 北京航空航天大學學報, 2007, 33(8): 968-971.

WU Y Q, ZHOU H, GUAN J C. Reliability estmiation of a multi-state system[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2007, 33(8): 968-971.

[19] TIAN Z G, RICHARD C, ZUO M J, et al. Reliability bounds for multi-statek-out-of-nsystems[J]. IEEE Trans.on Reliability, 2008, 57(1): 53-58.

[20] ERYILMAZ S. Lifetime of multistatek-out-of-nsystems[J]. Quality and Reliability Engineering Internationnal, 2014,30(7): 1015-1022.

[21] KHORSHIDI H A, GUNAWAN I, IBRAHIM M Y. On reliability evaluation of multistate weightedk-out-of-nsystem using present value[J].Engineering Economist,2015,60(1):22-39.

[22] HSIEH J, UCCI D R, KRAFT G D. Multi-state degradable system modeling and analysis[J]. Electronics Letters, 1989, 25(23): 1557-1558.

[23] LIU Y, CHEN C J. Dynamic reliability assessment for nonrepairable multistate systems by aggregating multilevel imperfect inspection data[J]. IEEE Trans.on Reliability, 2017, 66(1): 915-923.

[24] LAM Y, TSE Y K. Optimal maintenance model for a multistate deteriorating system: a geometric process approach[J]. International Journal of Systems Science,2015,34(5):303-308.

[25] LI Y F, ZIO E. A Multi-state model for the reliability assessment of a distributed generating system via universal generating function[J]. Reliability Engineering & System Safety, 2012, 106(5): 28-36.

[26] 高鵬, 謝里陽. 基于改進發生函數方法的多狀態系統可靠性分析[J]. 航空學報, 2010, 31(5): 934-939.

GAO P, XIE L Y. Reliability analysis of multi-state systems based on improved universal generating function[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2010, 31(5): 934-939.

[27] 李春洋, 陳循, 易曉山. 基于向量通用生成函數的多性能參數多態系統可靠性分析[J].兵工學報,2010,31(12):1604-1610.

LI C Y, CHEN X, YI X S. Reliability analysis of multi-state system with multiple performance parameters based on vector-universal generating function[J]. Acta Armamentarii, 2010, 31(12): 1604-1610.

[28] 史躍東,陳硯橋,金家善.艦船裝備多狀態可修復系統可靠性通用生成函數解算方法[J].系統工程與電子技術,2016,38(9):2215-2220.

SHI Y D, CHEN Y Q, JIN J S. Reliability analysis for warship armament multi-state repairable system based on universal generating function method[J]. Systems Engineering and Electronics, 2016, 38(9): 2215-2220.

[29] CAI C H, XU Y Y, KE D F, et al. Deep neural networks with multistate activation functions[J]. Computational Intelligence and Neuroscience, 2015, 73(4): 1042-1050.

[30] FRANCISCO J B, MARCELO L,RENE P T. Active current balancing technique employing the Lunze’s transformation for converters based on multistate switching cells[C]∥Proc.of the 13th IEEE Brazilian Power Electronics Conference and 1st Southern Power Electronics Conference, 2016: 99-105.

[31] OURANIA C, NIKOLAOS L, SONIA M. Multi-state reliability systems under discrete time semi-Markovian hypothesis[J]. IEEE Trans.on Reliability, 2011, 60(1): 80-87.

[32] 尚彥龍,蔡琦,趙新文,等.基于UGF和Semi-Markov方法的反應堆泵機組多狀態可靠性分析[J].核動力工程,2012,33(1): 117-123.

SHANG Y L, CAI Q, ZHAO X W, et al. Multi-state reliability for pump group in nuclear power system based on UGF and semi-Markov process[J]. Nuclear Power Engineering, 2012, 33(1): 117-123.

[33] CHAMOLA V, SIKDAR B. A multistate Markov model for dimensioning solar powered cellular base stations[J]. IEEE Trans.on Sustainable Energy, 2015, 6(4): 1650-1652.

[34] BAI G H, ZUO M J, TIAN Z G. Ordering heuristics for reliability evaluation of multistate networks[J]. IEEE Trans.on Reliability, 2015, 64(3): 1015-1023.

[35] JIA X J, SHEN J Y, XING R. Reliability analysis for repairable multistate two-unit series systems when repair time can be neglected[J].IEEE Trans.on Reliability,2016,65(1):208-216.

[36] GHEISI A, NASER G. Multistate reliability of water-distribution systems: comparison of surrogate measures[J]. Journal of Water Resources Planning and Management,2015,141(10):520-529.

[37] LEVITIN G, XING L D, DAI Y S. Linear multistate consecutively-connected systems subject to a constrained number of gaps[J].Reliability Engineering and System Safety,2015, 133(133):246-252.

[38] YEH W C. A fast algorithm for quickest path reliability evaluations in multi-state flow networks[J]. IEEE Trans.on Reliability, 2015, 64(4): 1175-1184.

[39] GU Y K, CHEN J, CHENG Z X, et al. Reliability analysis of multi-state repairable system with dynamic transition probabilities[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University (Science), 2016, 21(5): 615-620.

[40] LIN Y K, CHEN S G. A merge search approach to find minimal path vectors in multistate networks[J]. International Journal of Reliability,Quality and Safety Engineering,2017,24(1): 652-659.

[41] GREGORY L, ANATOLY L, HANOCH B H, et al. Redundancy optimization for series-parallel multi-state systems[J]. IEEE Trans.on Reliability, 1998, 47(2): 165-172.

[42] ZHAO J H, LIU Z H, DAO M T. Reliability optimization using multi-objective ant colony system approaches[J].Reliability Engineering & System Safety, 2007, 92(1): 109-120.

[43] TIAN Z G, ZUO M J. Reliability-redundancy allocation for multi-state series-parallel systems[J]. IEEE Trans.on Reliability, 2008, 57(2): 303-309.

[44] KWIATUSZEWSKA S. Multistate system reliability models with independent and dependent redundancy application in port transport[C]∥Proc.of the 25th European Safty and Reliability Conference, 2015: 1281-1286.

[45] WANG J, LI M. Redundancy allocation optimization for multistate systems with failure interactions using semi-markov process[J].Journal of Mechanical Design,2015,137(10):42-52.

[46] WANG J, LI M. Redundancy allocation for multistate systems with component dependencies and load sharing[J]. Journal of Mechanical Design,2016,138(11):142-152.

[47] LIU Y, HUANG H Z. Optimal selective maintenance strategy for multi-state systems under imperfect maintenance[J]. IEEE Trans.on Reliability, 2010, 59(2): 356-367.

[48] MUSTAPHA N, MOHAMED C F, MAHDI M. An integrated model for production and preventive maintenance planning in multi-state systems[J].IEEE Trans.on Reliability,2010,59(3): 496-506.

[49] DAO C D, ZUO M J, PANDEY M. Selective maintenance for multi-state series-parallel systems under economic dependence[J]. Reliability Engineering & System Safety,2014,121(1): 240-249.

[50] DAO C D, ZUO M J. Selactive maintenance for multistate series systems with s-dependent components[J]. IEEE Trans.on Reliability, 2016, 65(2): 525-539.

[51] WANG B, WU Z, XIA X H. A multistate-based control system approach toward optimal maintennace planning[J]. IEEE Trans.on Control Systems Technology, 2017, 25(1): 374-381.

[52] ZHOU Y F, LIN T R, SUN Y, et al. An effective approach to reducing strategy space for maintenance optimisation of multistate series-parallel systems[J].Reliability Engineering and System Safety, 2015, 138: 40-53.

[53] 余金龍, 趙文會, 趙波, 等. 基于多狀態建模的獨立型微網優化配置[J]. 電力系統自動化, 2015, 39(6): 11-17.

YU J L, ZHAO W H, ZHAO B, et al. Optimal configuration of standalone microgrid based on multistate modeling[J]. Automation of Electric Power Systems, 2015, 39(6): 11-17.

[54] 鄢民強, 楊波, 王展. 不完全覆蓋的模糊多狀態系統可靠性計算方法[J]. 西安交通大學學報, 2011, 45(10): 109-114.

YAN M Q, YANG B, WANG Z. Reliability assessment for multistate system subject to imperfect fault coverage[J]. Journal of Xi’an Jiaotong university, 2011, 45(10): 109-114.

[55] CHANG P C, LIN Y K. Reliability analysis for an apparel manufacturing system applying fuzzy multistate network[J]. Computers and Industrial Engineering,2015,88(2):458-469.