收獲方法 融匯知識

胡連成

摘 要：比知識重要的是方法，比方法重要的是興趣.在數學解題教學中教師應該引導學生主動參與，通過一題多解，對習題的解法進行探究，實現學生對問題的多維思考，對知識的融會貫通，使學生收獲的不僅是解決問題的方法，更是探究意識的培養、學習興趣的激發.

關鍵詞：解法探究；一題多解；知識融合；興趣培養

一、題目介紹

如圖1，已知矩形ABCD中，AD=[2]，AB=2，E為AB中點，AF⊥DE，連結CF. 求證：CF⊥DE.

二、探索過程

生1：太簡單了，已知AF⊥DE，那么不就說明CF⊥DE了嗎？

師：請同學們仔細閱讀題目，你認為點A，F，C在同一條直線上嗎？

生1：根據圖形可以看出點A，F，C都在矩形ABCD的對角線上呀！

生2：已知條件中沒有說線段AF，CF在矩形ABCD的對角線上，也就是說“點A，F，C在同一條直線上”是未定的結論，需要我們證明.

至此同學們恍然大悟，問題沒有那么簡單，大家陷入思考之中……

生3：要證CF⊥DE，通常需要證明∠DFC=90°，因此我想到通過計算證明“DF 2+CF 2= CD 2”成立來說明△DFC是直角三角形.

已知AD=[2]，AE=1，DE =[AD2+AE2=][3]，根據 [S△ADE=12AD·AE=12DE·AF]，可求 AF =[AD×AEDE=63].所以DF =[AD2-AF2][=233].而CD=AB=2，下面需要求線段CF的長度，這需要說明A，F，C三點共線，但我沒有想出證明的方法.

師：這位同學執果索因的逆向思維方式給了我們一些啟示，誰能幫助他計算CF的長呢？

生4：生3的解法給我一些啟示，我想過F點作FG⊥DC（見圖2），得到Rt△FDG和Rt△FCG.

根據CD∥AB，可得∠CDF=∠DEA，又知∠DGF=∠EAD=90°，所以△DGF∽△EAD，可求 DG=[DF·AEDE=233×13=23]， FG=[DF·ADDE][=233×23=223]，所以CG = CD -DG=2-[23=43].故可得：DF 2+CF 2 = DF 2+GF 2 +CG 2 =（[233]）2 +（[232]）2 +（[43]）2 =4= CD 2 .所以 △DFC為直角三角形，即CF⊥DE.

師：生4通過F點作FG⊥DC構建Rt△FDG和Rt△FCG，使“需證”和“條件”建立聯系.連續運用勾股定理巧妙地證明了“DF 2+CF 2 = CD 2”，太棒了！同學們還有什么發現嗎？

生5 ：我感覺生4的證法過于復雜，我想如果充分運用相似三角形可有更簡潔的方法.借鑒前面同學的結論可知：AD=[2]，AE=[12]AB=1，DE =[3]，DF =[233] .所以[DCDF=]

[2233=3]，[DEAE=31=3]，所以[DCDF=DEAE，] 根據CD∥AB 可得∠CDF=∠DEA.所以△DFC∽△EAD ，所以∠CFD=∠DAE=90°，亦可證CF⊥DE.

師：圖形中蘊含了豐富的知識，同學們不但要認真審題，同樣也要認真審圖，這位同學通過“審圖”充分挖掘圖形中的相似三角形，發現較為簡便的證明方法，這種好習慣值得我們借鑒.

生6：我的證明思路和前幾位同學的不同，既然本題的難點是已知條件沒有說明點A，F，C的三點共線，我想能否過點C作CF′⊥DE，垂足為點F′（見圖3），然后說明F′和F是同一點呢？我們在學習“三邊成比例的兩三角形相似”時曾經運用過類似的方法解決問題，于是我就想能否借鑒教材中的方法呢？

證明過程如下：過點C作CF′⊥DE，垂足為點F′.

根據∠CDF′=∠DEA，∠CF′D=∠DAE，可證△CF′D∽△DAE.根據[DCDE=DF′AE]可求DF′=[2×13=233]，根據生3解法可知DF=[233]，所以DF′=DF，即點F′與點F重合， 所以 CF⊥DE.

師：生6的解法太精妙了，由因導果或執果索因的常規思考有難度時，換個角度思考問題，通過構造CF′⊥DE，利用相似證明了DF′=DF，從而說明F′與F是同一點，這種方法我們稱為同一法.這位同學善于精讀教材，在反復品味中思考問題，歸納方法，這種好習慣值得我們學習.

生7：生6的解法給我很大的啟發，我們在學習一次函數時常有判斷三點共線的問題.于是我想到一種新的解題方法：以點A為坐標原點、AB所在的直線為x軸、AD所在的直線為y軸建立平面直角坐標系（見圖4）.設直線AF的解析式為y=kx，根據[k=tan∠FAE= tan∠ADE][=AEAD=22].可得y=[22]x，當x=2時，y=[22]×2=[2].所以可以判斷 C（2，[2]）在直線y=[22]x上，即A，F，C三點共線，所以CF⊥DE.

師：這位同學給我們展現了更為“驚艷”的解法，運用一次函數和銳角三角函數知識說明了A，F，C三點共線.你是如何想到“[k=tan∠FAE]”的呢？

生7：一開始我想用待定系數法求直線AC的函數表達式，但我發現F點坐標不好求，我在學習“銳角三角函數”時，發現一次函數[y=kx+b]的一次項系數“[k]”的大小和直線的“傾斜程度”有關，而三角函數中坡度[i=tanα]也和直線的“傾斜程度”有關，二者之間必有某種聯系，我通過結合實例進行歸納，并查閱相關資料，發現[i=tanα=k]是成立的.

此時，全班同學對此贊不絕口，筆者也是為之一振，數學學習的目的不就是通過探索活動發現數學規律，并運用規律解決問題的嗎？

生8：看到生7運用三角函數的過程，我想到另一種解法，連接AC， 因為[tan∠FAE= tan∠ADE=AEAD=22]，[tan∠BAC]endprint

[=CBAB=22].所以[tan∠FAE= tan∠BAC].所以[∠FAE= ∠BAC].故AF與AC重合， 所以 CF⊥DE.

至此，全班自發響起陣陣掌聲，大家不由得贊嘆解法的精妙.大道至簡，一道習題5種解法，從不同角度思考問題，由繁至簡、數形結合、規律運用、知識交融……令人拍案叫絕.

三、幾點啟發

（一）知識學習，重視生成過程

知識學習是個體經歷探索、碰撞、發現、感悟的過程，學生在知識生成的探索中收獲的不僅是知識，更重要的是方法經驗和情緒體驗，這是個體不斷成長的重要過程. “一個定義、幾項注意、反復練習”的灌輸式學習方式，忽視了學生探索知識的過程，不利于學生的思維發展和心理成長，早已被我們所拋棄.俗話說“磨刀不誤砍柴工”，雖然知識探索時效不高，課本知識可能會遺忘，但探索知識收獲的經驗、方法、思想卻將伴隨學生一生，使他們終身受益.本例探索中，學生由課本知識的探索收獲想到用同一法解決問題，給人以“驚艷”之感.再比如，我們學習“圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半，同弧或等弧所對的圓周角相等”時，應該留足夠時間經歷知識的探索過程，從中體會“分類討論”“從特殊到一般的思考方法，一般問題轉化為特殊情況的解決方法”等相關的思想.教學中花費時間經歷知識“再生成”過程，短期效果可能不明顯，但從長遠來看，一定會有助于學生的思維發展，正所謂“無心”插柳柳成蔭，“不經意間”的知識探索生成會使學生有意想不到的收獲.因此，數學教學應重視知識探究學習，通過思考、交流、感悟，經歷知識的“生成”過程，在主動知識探索中體會數學的思想方法，感悟探索的快樂.

（二）問題思考，善于探究規律

數學教學應重視問題探索，鮮活的具體問題是數學知識的載體，數學知識是問題的靈魂.學習數學從某種角度來說就是通過探索問題發現數學知識的內在規律，并運用規律解決問題的過程，規律可能是計算方法和技巧，可能是解決問題的思路和途徑，可能是抽象的數學思想與方法……對于具體的問題思考，不要局限于解決問題，應進一步追問與探索，問題解決的方法是否具有普遍性、規律性，問題的結論是否可以進一步推廣延伸，與其他內容是否具有內在的聯系，數學問題是具體的、可變的，數學知識規律是簡潔而恒定的.例如，本例中，學生根據一次函數圖象的“直線傾斜”和銳角三角函數“邊的傾斜”，思考其內在聯系，歸納了“[i=tanα=k]”，豈不精妙！再比如，我們學習了二次函數的平移規律“上加下減、左加右減”，那么回頭再思考八年級學習的一次函數和反比例函數是否也有類似的平移規律呢？ 再如，我們學習了“菱形的面積等于對角線乘積的一半”，那么，結論的背后蘊含的是“只要四邊形對角線互相垂直，它的面積就等于對角線乘積的一半”的規律，學生在學習了“銳角三角函數”后，可以進一步探索“四邊形的面積和兩條對角線長度及對角線的夾角銳角[α]有內在普遍規律：[S四邊形ABCD=] [12AB·AC·sinα]”.如果教學中有意識地培養數學的這種規律探究意識，學生的數學素養一定會有極大的提高.

（三）知識運用，重視融會貫通

知識的學習，妙在通透.“通”為互通，知識點融會貫通、四通八達、形成體系；“透”指透明，知識點本質要義一目了然、熟爛于胸.數學教學要處理好知識融合的問題，形成完整的知識結構，實現“既見樹木又見森林”的知識整合目的.本例中解法的探究歷程，不單純以解答問題為目的，而應從多種解法中對比、聯系，一題多解實現對問題的多維思考，多解歸一實現知識的融會貫通.例如，本例中，一次函數圖象的“直線傾斜”和銳角三角函數“邊的傾斜”內容融合統一.再如，方程、不等式與函數的融合統一；三角形“內心、外心、重心及正三角形的中心”的聯系；平行四邊形、矩形、菱形、正方形的圖形性質和證明方法的聯系和區別；統計中的“頻率”與“概率”的內在統一等.

（四）課堂教學，重在激發興趣

課堂的有效性取決于學生主動參與度，調動學生主動性需要培養學生對知識探索的強烈興趣.比知識更重要的是方法，比方法更重要的是興趣，學習興趣是課堂煥發生命活力的前提.學習興趣的培養需要教師精心設計問題引領探索活動，問題的選擇設計外表要鮮活——有趣，能吸引學生的眼球；里子有內涵——方法、思想蘊含其中.問題的引導要把握時機，在“好雨知時節，當春乃發生”處引導，于“隨風潛入夜，潤物細無聲”時熏陶.在濃厚的求知欲和好奇心的引領下，激情思維才能碰撞出火花，才能形成“百花齊放、百家爭鳴”的良性課堂互動氛圍.本例在問題的探索中，學生收獲的不僅是問題解決的不同策略，更重要的是激發了數學探究的興趣、感受了探索的樂趣，讓學生感到數學好玩、有趣，這才是數學教育的最高藝術.[□][◢]endprint