譜聚類在給水管網分區優化中的應用

劉俊　周鵬

摘要：

利用圖劃分技術和圖論算法實現給水管網分區。根據給水管網分析，確定分區數量，建立權重鄰接矩陣并計算圖拉普拉斯矩陣及其特征向量，通過多路圖劃分對隱藏在特征向量中的聚類信息進行數據挖掘，采用遺傳算法和K均值方法實現最佳節點聚類。利用PageRank和最短路徑算法確定水表和閥門位置，最終實現給水管網優化分區。實際給水管網模型分區實例表明所提方法在給水管網分區的有效性。

關鍵詞：

給水管網；分區；聚類；優化

中圖分類號：TU991

文獻標志碼：A文章編號：16744764（2016）06014206

Abstract：

Design of district metered areas（DMAs） in water distribution system was performed based on complex network spectral clustering and graph theory. First the number of DMAs was determined， and graph weighted adjacency matrix and Laplacian matrix were established. Then kway spectral clustering algorithm was used to discover the optimal clusters hidden behind eigenvectors of Laplacian matrix， leading to the best layout of DMAs using genetic algorithm and Kmeans. PageRank and shortest path algorithm were adopted to ascertain the location of meters in DMAs and valves between DMAs to achieve the optimal design of DMAs eventually. And a real water distribution system was tested and the results showed that the proposed method was effective in DMAs design.

Keywords：

water distribution systems；district metered area； clustering； optimization

給水管網分區是在系統性能影響最小的情況下通過安裝閥門、水表形成獨立供水區域，便于優化調度、漏損控制等各方面的管理，以適應信息化、智能化、精細化的要求[15]。管網分區目的是獲得規模均等，壓力、水質均衡的分區。由于管網的高度復雜性以及眾多技術要求和制約因素，使得分區這一問題面臨較大挑戰。

目前，管網分區優化方法主要有圖論算法和復雜網絡聚類算法。圖論分區算法主要使用搜索算法獲得管網拓撲結構。其中，廣度優先搜索算法在DMA規模約束下，搜索與某一節點路徑最短的節點集，當滿足設定規模時，搜索終止，則可得到滿足要求的分區。這類方法可獲得各種分區方案供決策者選定[6]，或者通過模型分析獲得水力最優方案[7]。相比于廣度優先搜索算法的局部搜索，深度優先搜索算法可從整體上獲得給水管網樹狀結構，并通過優化算法獲得減壓閥最佳位置，進而實現分區[8]，或者確定各水源供水范圍[9]。另外，也可以最短路徑算法為基礎，通過壓力均衡性確定分區[10]，或者通過管道介數中心性選定閥門、水表位置，以實現分區[11]。

在復雜網絡聚類中，同一聚類內節點連接緊密，而不同聚類間節點連接相對稀疏，這與管網分區的內在要求一致。相應聚類算法包括計算機科學中的圖劃分和社會學中的社團發現。圖劃分將復雜網絡聚類轉換為優化問題，如Nardo等[12]人使用多層次遞歸二分法自動獲得規模均等的分區布局。社團發現則將分區問題轉換為模塊度等啟發式規則的設計問題，其中刁克功等[13]在管網分區中首次引入社區發現貪心算法進行給水管網分區。Giustolisi等[14]引入管道權重提出了給水管網設施模塊度，可以發現更小規模的結構。另外，也有其他相似度的度量方式用于給水管網分區，如按照節點位置信息采用K均值聚類，以此為基礎形成供水管網規劃方案[15]，或者按照節點水壓波動相似性分區，確定最優壓力監測點[16]。

筆者提出一種基于復雜網絡譜聚類和圖論算法的給水管網分區方法。目的是在盡量降低分區不利影響的前提下，根據給水管網拓撲結構，利用數據挖掘發現隱含在其中的結構聚類信息，確定節點聚類，繼而實現滿足要求的分區。

1給水管網分區方法

所提出的分區流程主要包含3個部分：

1）數據輸入：管網分析與模擬，確定分區數量，建立權重矩陣。

2）實現分區：圖拉普拉斯矩陣求解，根據第二特征向量，采用多路圖劃分確定各分區內節點聚類，即確定分區范圍。

3）確定閥門、水表位置：PageRank算法確定每個分區中心節點，水源到該節點的最短路徑中確定水表位置，其他分區間連接管道則為閥門位置。

1.1給水管網分區數量的確定

給水管網分區數量需要根據分區目的、系統規模、分區大小、成本等綜合確定。本方法旨在通過發現給水管網內在聚類結構，實現分區設計，因此，在獲得指定數量的分區時，每個分區的規模不是嚴格相同。

1.2規范化拉普拉斯矩陣

給水管網可抽象為一個由點集V和邊集E組成的管網圖G =（V，E），節點數記為n=V，邊數記為m=E。給水管網節點間連接管道的屬性，如管道的流量、管徑等含有重要信息，使用管道權重能更好地反映節點間連接關系。因此，給水管網圖的權重鄰接矩陣A可表示為endprint

Aij=wij，節點i與j有邊0，其他 （1）

復雜網絡分析中將與節點i直接相連的邊權重之和稱為度，表示為ki，可用鄰接矩陣表示為ki=nj=1wij，則對角矩陣D為

D=k100…0k20…00k3…（2）

圖的拉普拉斯矩陣為L=D-A，其元素Lij表示為

Lij=ki，如果i=j-wij，如果i≠j且有一條邊0，其他 （3）

矩陣L的所有特征值稱為圖G的拉普拉斯譜，最小特征值λ1對應的特征向量稱為第一特征向量，不包含任何聚類信息，所需要的聚類信息存在于其他的特征向量，稱為第二特征向量。

傳統圖劃分最小割算法以最小化割邊為目標，這可能導致分區時規模的不均衡。為此采用規范化割集準則，規范化拉普拉斯矩陣為

Lsym=D-12LD-12=I-D-12AD-12=I-E（4）

譜平分法利用第二小特征值對應的特征向量實現兩個分區的優化劃分。如果需要得到多個分區，則需要對子分區重復該方法。為了提高分區效率，采用NJW多路譜算法[17]，即根據多個第二最小特征向量，通過聚類算法直接獲得指定數量的分區。矩陣E的最大特征值為1，其他特征值均小于1。對于社團結構比較明顯的管網，有些特征值接近于1，其對應的第二特征向量中，同一社團內部節點的值接近。對于社團結構不明顯的一般給水管網，少量第二特征向量也可獲得良好分區[18]。第二特征向量確定方法如下：

1）確定管道權重。管徑、流量大的管道承擔的輸配水功能越重要，兩節點連接越緊密，選擇管道權重為wij=DijQij，Dij、Qij分別為管道ij的管徑與流量。

2）計算矩陣E前k1個最大的第二特征值所對應的特征向量，x1，…，xk-1，構造矩陣X=[x1，…，xk-1]∈Rn×（k-1）。

3）將矩陣的行向量轉換為單位向量，得到矩陣Y，即Yij=XijjX2ij。

4）將Y的每一行看做Rk-1空間中的一個點。

1.3基于遺傳算法的譜聚類

給水管網分區信息可通過特征向量數據挖掘方法獲得。本文采用遺傳算法與K均值算法實現數據挖掘。K均值算法將屬性相同的點劃分到一個聚類，并用聚類中心代表該聚類。聚類質量由誤差平方和度量，見式（5）。

SSE=mi=1yCidist（y，ci）2（5）

式中：SSE為誤差平方和；Ci為某個聚類i；ci為聚類中心，代表某個聚類；y為空間點；dist為空間點的歐幾里得距離；m為聚類個數。

K均值算法取決于初始化聚類中心，是一種局部優化算法。為了實現最優化分區，采用遺傳算法優化聚類中心。種群中每個個體對應于各個聚類中心，以SSE最小化為目標函數，通過線性排序確定個體適應度，交叉、變異逐漸產生新的子代。為了提高搜索速度，在每次得到聚類劃分后，用校正后的聚類中心代替個體中原來的聚類中心。

1.4確定閥門、水表位置

在確定分區范圍后，接下來要確定水表和閥門的位置。在每個分區中均存在中心節點，一般是拓撲連接緊密的節點，即度較高的節點，這意味著該節點是流量的樞紐節點，則水源到該樞紐節點的最短供水路徑應該是該分區的主要供水路徑，主要供水路徑必經過分區間連接管道，則這個管道即為進水點，也就是水表位置，其他連接管道則為閥門位置。本文中將給水管網視為權重無向圖，利用PageRank算法確定各節點的中心性。設每個節點的中心性為xi，節點i的中心性與它的鄰居節點中心性呈正比。

xi=jA～ijxj

（6）

PageRank算法的節點中心性向量x對應于轉移矩陣A～的最大特征值對應的特征向量，可以通過冪法迭代求得。

在中心性向量x中找出每個分區中心性最大的節點，通過Dijkstra算確定水源到該節點的最短路徑，進而確定水表位置，其他連接管道則為閥門位置。主要供水路徑應當是水頭損失小，流量較大的管道，則此時最短路徑算法選用的管道權重為wij=ΔHijQij。

1.5分區均衡性

每個分區規模應相當，分區內壓力應均衡。為此提出兩個分區評價指標。

1）分區規模均衡性SU

SU=ni=1Si-1MNi=1Si1MNi=1Si×100%（7）

式中：Si為節點用水量；M為分區數量；N為管網用水節點數；n為每個分區內用水節點數。

各分區SU越接近，分區規模越均衡。

2）壓力均衡性PU

PU=1nni=1Pi-P2（8）

式中：Pi為節點壓力；P為分區平均壓力；PU越小，壓力越均衡。

1.6分區間運行關系

DMA按進水點數量和流量關系可分為單進口、多進口和串聯DMA，如圖1所示，其中，DMA2和DMA3為單進口類型，DMA4為多進口，上述3個分區共同特征是均只有流量流入而無流出。而DMA1除滿足本區用水外，還需向DMA2供水，因此，DMA1為串聯類型，有流量的流入和流出。目前的分區方法為了方便管理并減少計量誤差，一般DMA設計優先選擇單進口、無流出類型[19]。但DMA設計影響因素多、情況復雜，有時難以滿足上述原則，同時單進口DMA也存在系統彈性能力降低、難以滿足消防流量要求和末端水質下降等問題，因此，根據具體情況也可選擇多進口DMA，但進水口數量不宜太多，否則進水點處減壓閥會引起壓力波動[20]。可采用主、副進水口設計，即在正常供水時只開啟主進水口，而當高峰用水或消防時，可開啟副進水口。當遠離干管的DMA其供水路徑需要經過其他分區時，或者管理、技術等多因素綜合比較后串聯DMA具有優勢時，也可選擇串聯類型DMA。

4個分區的方案如圖2所示。每個分區的規模可見表1，從表中可知每個分區的規模與平均規模有一定偏差。如前所述，如果分區時強調每個分區應含有相同的規模（用水量），則必將破壞給水管網內部的聚類結構。而依據聚類算法，屬性相似的節點組成一個分區，這可從整體上降低分區對給水管網結構的影響。分區后的壓力分析見表2。由表2可知，每個分區壓力范圍相似，平均壓力有微小差別。壓力均衡性較好，PU值均低于平均壓力的10%，說明分區后管網性能沒有明顯降低，對系統性能的影響較小。endprint

利用最短路徑算法可得每個分區水表位置，其他分區邊界管道則為閥門位置。由圖2分區結構可知，基于譜聚類的分區方法將干管節點也納入分區，因此，DMA1和DMA4具有流量流入流出，為串聯分區，DMA2和DMA3則為單進口分區。串聯分區結構的引入，使得DMA1和DMA4內節點分區前后水流路徑不變，分區對這些節點沒有影響。

3結論

提出了基于譜聚類的給水管網分區方法，同時可確定每個分區的進水點和閥門位置，并以一個真實給水管網說明本分區方法的可行性。本方法將給水管網拓撲結構通過譜方法映射到高維向量空間，并依據聚類將拓撲相似節點劃分到一個分區，遺傳算法與K均值算法相結合提高了算法效率，同時，本方法具有較強的健壯性，可根據要求實現不同規模的分區設計。

本文中不僅確定了分區邊界，也給出了進水點位置，下一步工作可在此基礎上通過優化進水點減壓閥，將各分區內壓力控制在合理范圍，從而在整體上降低漏損。

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（編輯王秀玲）endprint