微分算子法在處理線性微分方程通解理論中的應用

林慶澤

（廣東工業大學 應用數學學院，廣東 廣州 510520）

0 引言

微分算子法是近代發展起來的一種以代數觀點處理分析問題的重要方法。著名數學家L.H?rmander在其長達4卷的名著中對線性偏微分算子作出了極為系統的論述并以其為工具在偏微分方程的一般理論上取得了一系列突破性的成果[1]。

本文在文獻[2]和[3]的基礎上，引進多項式算子并對經典的線性微分方程通解理論進行了更為系統的總結和發展，得到了一些關于線性微分方程及其方程組通解理論的新成果。該方法具有較為明顯的系統性和連貫性，從而對學習和研究線性微分方程通解理論具有一定的指導性和啟發性。

1 微分算子法的理論基礎

定義1對于n次多項式稱為n階多項式微分算子（簡稱多項式算子）。

對于所有的多項式算子組成的集合{P（D）}，文獻[3]已闡明在對多項式算子P（D）進行運算時，可以將微分算子D視為變量x，從而進行與多項式P（x）的加法、減法和乘法形式一樣的運算。因此有：

命題1[4]對于任一α∈C(復數域)，有下面的Taylor公式：

命題2[4]對于任一α∈C及任一n次連續可微函數h(x)，有：

定義2算子稱為P(D)的逆算子，如果

下面證明逆算子的若干基本結論：

命題3若P(D)是一階的，即P(D)=D+α，α∈C（復數集），則

證明由命題得證。

命題4若α∈C是P(x)=0的k重根，則

證明由命題1和命題2，

命題5

證明由命題2，，命題得證。

容易證明：

命題6假設P(D)為實系數多項式算子，若，（其中f1，f2，u，v皆為實函數），則

推論1假設P(D)為實系數多項式算子，則

命題7若f(x)為m次多項式，P(0)=a0≠0，將多項式P(x)按x的升冪次序排列后去除1，記，其中為次數≤m的多項式，多項式R(x)的次數≥m+1，則

證明由，命題得證。

2 線性微分方程的通解問題

2.1 n階常系數線性齊次微分方程的通解問題

對于n階常系數線性齊次微分方程

文獻[1]中通過微分算子法可將其通解問題降為求一些一階或二階常系數線性微分方程的通解問題：

命題8若方程（8）的特征方程有根α1，α2，...，αp，其中α1為r1重根，α2為r2重根，...，αp為rp重根，則方程（8）的通解為：若αi為復根，則αi亦為復根，此時可將分別換為

2.2 常系數線性非齊次微分方程的通解問題

對于n階常系數線性非齊次微分方程：

例1求方程的一個特解。

解這里，故

2.3 二階變系數線性微分方程的通解問題

文獻[2]利用微分算子法處理二階變系數線性微分方程并得到了其通解與Riccati方程的通解之間的轉化關系。另外利用文獻[2]中的定理2，只要求得二階變系數線性齊次微分方程的一個特解，則可得到其通解以及其對應的非齊次方程的通解。

3 常系數線性微分方程組的通解問題

對于常系數線性齊次微分方程組的通解問題已有指數函數等方法可求得基解矩陣[5-6]，由于根據線性微分方程通解理論，只需要其對應的非齊次方程組的一個特解便能求該非齊次方程組的通解。我們有下面的命題：

命題9對于常系數線性非齊次微分方程組：

則該線性微分方程組有特解：

其中Δji(D)是行列式Δ(D)中元素Pji(D)代數余子式。

證明對于該方程組的系數算子增廣矩陣

利用線性代數學知識可對該矩陣進行初等行變換從原方程組得到。但由于逆算子的不唯一性，這里我們不取，我們只取，i=1，2，...，n容易驗證，這樣得到的解確實是原方程組的解。

[1]H?RMANDER L.The analysis of linear partial differential operators(I-IV)[M].New York：Springer-Verlag，2005：1-100.

[2]林慶澤.算子法在處理線性微分方程中的應用[J].蘭州文理學院學報(自然科學版)，2016，30（1）：13-16.

[3]林慶澤.利用微分算子法研究二階齊次線性微分方程與Riccati方程通解之聯系[J].海南師范大學學報（自然科學版），2017，30（3）：238-244.

[4]羅亞平，陳仲.常微分方程[M].南京：南京大學出版社，1987：23-85.

[5]丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].北京：高等教育出版社，2004：157-206.

[6]ARNOLD V I.Ordinary differential equations[M].New York：Springer-Verlag，2003：152-161.