培養直觀想象核心素養的HPM視角

【摘要】直觀想象是修訂中的普通高中數學課程標準專家組提出的六大核心素養之一，而作為一線教師則面臨著如何在課堂教學實踐中落實到位的問題.從“數學史與數學教育”（HPM）的視角去設計和實踐不失為一種好的選擇，尤其是借鑒古代數學家的思想與智慧，應用“圖說一體”、“幾何模型”和“經典反例”等實例來提高學生從直觀想象到推理論證和理解的能力，以逐漸培養學生的直觀想象素養.

【關鍵詞】直觀想象；圖說一體；幾何模型

修訂中的普通高中數學課程標準專家組提出了六大核心素養.作為工作在第一線的高中數學教師，該如何在課堂教學的實踐中使這些核心素養落地呢？當然，在具體的落實措施中會仁者見仁，智者見智.本文僅對“直觀想象”核心素養的培養，從HPM（數學史與數學教育）的角度來談談.

1直觀想象的涵義

美國著名數學教育家M·克萊因說：“數學的直觀就是對概念、證明的直接把握”；德國哲學家康德也認為“缺乏直觀的概念是盲目的”；著名數學家希爾伯特則說得更明白：“要幫助我們的學生學會用圖形來描述和刻畫問題，學會用圖形去發現解決問題的思路”.可見，無論是數學家還是哲學家或是教育家，都認為直觀想象是認識事物的一種基本方式，學生要理解掌握必須先要有直觀認識，尤其是借助幾何直觀來認識.

高中數學課程標準修訂組對直觀想象的定義是這樣的：借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程.主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系；構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

修訂中的課標說明，直觀想象更多的是借助幾何直觀和空間觀念去感知、理解、探索和解決數學問題.因此，結合高中數學教材中的內容，借鑒歷史上數學家們的一些理論或方法，可以更好地培養學生的直觀想象能力，從而使該核心素養落實到位.

2培養直觀想象素養的HPM視角

2.1“圖說一體”：從直觀到想象

所謂“圖說一體”，就是指利用幾何圖形進行某種數學方法的論說、某個數學命題的證明或數學公式的推導，也稱之為“無字證明”.其實該法在我國古代和古希臘都有其歷史淵源.比如，我國古代數學家在對勾股定理證明時所用的“出入相補”原理，古希臘的“形數理論”等等，都是“圖說一體”的典型例子[1].

應用“圖說一體”的無字證明，正好與直觀想象素養的培養相吻合.因為首先給出圖形可讓學生有一個直觀認識，然后通過圖形的特征、規律等進行簡單推理想象，最后得出一個結論或公式.

案例1畢達哥拉斯學派的“形數理論”應用[2].

人教版高中數學教材《必修5》第二章《數列》的21節，教材一開始就介紹了畢達哥拉斯學派的“形數理論”：“三角形數”與“正方形數”（如圖1、2）.

圖1圖2這是學生首次遇到，讓他們先有一個直觀感知：可以用點擺成某種形狀來構造一系列數.當講到23節《等差數列的前n項和》時，教師可讓學生作進一步想象，用“形數理論”來推導和理解數學方法.如圖3，在三角形數旁邊補一個倒立的三角形數，就推導出了一次冪和公式：1+2+3+…+n=n（n+1）2，而且還讓學生直觀地理解了“倒序相加法”.同樣，正方形數從一點出發，按圖4所示的方法劃分出3，5，7，…，2n-1，就得出了前n個連續正奇數和公式：“1+3+5+…+（2n-1）=n2”.圖3圖4如果繼續挖掘“形數理論”，還可進一步提升直觀想象的能力.在講到25節的《等比數列的前n項和》時，教材上有一道例題3，需要用到二次冪和的公式：12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6.由于教材上沒有證明，學生不明白從何而來，此時可應用三角形數的形式來推導.如圖5-1，首先畫一個三角形數，接著把每個點擴大為一個小圓，然后在每個小圓里按規律填上數字：第1行的小圓填1，第2行的所有小圓都填2，…，第n行的所有小圓都填n，再將這個三角形按順時針方向連續旋轉120°兩次，分別得到如圖52、53的形狀，最后將這三個三角形對應位置上的小圓里的數相加，就得到第四個三角形（圖54），于是就可推導出二次冪和公式.

圖51圖52圖53圖54由于前三個三角形的每一個小圓內的數之和正好是：12+22+…+n2，而第四個三角形中所有小圓內的數之和恰好等于前三個三角形的所有數之和，于是可得到等式：

3（12+22+…n2）=12n（n+1）（2n+1），

所以得公式：12+22+…n2=16n（n+1）（2n+1）.

畢氏學派的“形數理論”，貫穿了《數列》的整一章知識.從最初第一節的介紹讓學生產生直觀認知開始，一直到最后解決了一些公式的推導、理解及方法，整個過程正好吻合直觀想象素養的培養過程：讓學生在腦中建立起了形與數的聯系，既建構了公式的直觀模型，又拓展了學生的思維彈性和想象力.

2.2幾何模型：從直觀到論證

古代數學家構造幾何模型來推導、證明或解題是很正常的做法.比如，古希臘歐幾里得的《幾何原本》中解一元二次方程就是通過構造幾何圖形來解的[3].

在《幾何原本》卷2中的命題5，就解決了古巴比倫時期的一類二次方程：x2+c=bx.

圖6方法如下：先把此方程變形為：x（b-x）=c，也就是說把長度是b的線段分割成兩部分x和（b-x），使得構成的矩形面積為已知數c.即構造圖6，使AB=b，D為所求的點，而DB=x，假設已求得D，則AD=b-x.再作矩形AKND，使得AK=BD=x，設S矩形AN=c.取AB的中點C，分別在DB和CB上作正方形DM和CF.顯然，K、N、M共線，B、N、E共線.

由于S矩形CN=S矩形NF，故S矩形CM=S矩形DF，因此有S矩形AL=S矩形DF，兩邊同時加S矩形CN，則有等式：endprint

S矩形AN=S矩尺形CLNGFB=c，因為S正方形LG=S正方形CF-S矩尺形CLNGFB=（b2）2-c，所以得CD=（b2）2-c，于是有：x=DB=CB-CD=b2-（b2）2-c，AD=b2+（b2）2-c，此即為方程的兩個根.

歐幾里得這種構造幾何圖形來解方程的方法，對后來的歐洲數學家解一元二次方程起著十分重要的影響.可以說在數學史上，應用幾何法來解決代數問題流行了很長的時間，因為在當時的數學家們看來，用幾何法解方程才更具直觀性.

當然，現在象解方程這類題型不必再用幾何法了，但可借鑒古人的智慧和思想，適當構造一些“幾何模型”來幫助學生直觀地理解公式或定理，繼而可以進一步想象或推導也是值得提倡的，而且對培養直觀想象素養也是大有益處的.

案例2基本不等式的幾何模型[4].

人教版《必修5》第三章的34節《基本不等式》，教材一開始就給出了“勾股弦圖”（圖7）來推出不等式：“a2+b2≥2ab”，然后用代數法得出基本不等式：ab≤a+b2，接著又給出了“半圓模型”（圖8）來幾何解釋該不等式.其實這個“半圓模型”圖7圖8也可作為基本不等式的幾何直觀模型.有了教材上這兩個幾何模型，老師也可進一步引導學生探究其他的幾何模型.比如受比較面積大小而得出不等式的勾股弦圖啟發，可構造出“等腰直角三角形模型”.如圖9，構造兩個等腰直角△ACB與△ADE，不妨設AD=DE=a，AC=BC=b，則

圖9圖10有：S△ACB=12b，S△ADE=12a，S矩形ACFD=ab.由圖顯然有，S矩形ACFD

這些幾何模型的構造，不僅可以讓學生進一步理解和解釋基本不等式，也可以繼續加強形與數的聯系，提高學生的直觀想象能力，使他們逐步能達到解決問題的創新水平.

2.3反例建構：從直觀到認同

在數學發展史上，也有過許多謬論或錯誤，如果要認清其本質或糾正其錯誤，有時往往只需要一個直觀的反例就足夠了，特別是在一些定義或定理的理解上.

案例3棱柱的歐氏定義反例[5].

圖11人教版《必修2》的第一章《空間幾何體》的11節，一開始就講到了棱柱的定義，隨后老師往往會讓學生判斷：“有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱”是否正確.學生基本上都認為這句話是正確的，這時教師會給出一個反例（圖11）來說明此話為假.但問題是這個反例有缺陷，學生有可能會提出質疑，因為教材上的多面體一般是指凸的，而此反例是凹多面體，學生很可能不認同.此時，教師必須給出一個凸的反例才能讓學生心服口服.

其實要判斷的這句話是有歷史背景的，它就是歐幾里得在《幾何原本》中對棱柱下的定義，史稱棱柱的“歐氏定義”.在數學史上，此定義經歷了二千多年，許許多多數學家都認為是正確的，原因就是找不到一個凸的反例.而那個凹的反例也許歐幾里得本人也知道，但由于前提是凸多面體，故已排除在外了.正因為如此，歐氏定義錯誤了二千多年，直到1916年，美國數學家斯頓、米利斯和郝克斯等人給出了歐氏定義凸的反例（見圖12），數學家們才相信歐氏定義是錯誤的，才逐漸完善成教材上的定義.由此可見，一個好的直觀反例能認清某個定義或定理的正確性.

圖12圖13現在教師在講棱柱的歐氏定義反例時，可用圖13來說明，讓學生通過這個凸的經典反例的直觀認識來深刻理解棱柱的正確定義.由此可見，直觀的反例建構可得到學生對知識的普遍認同，否則有時會難于描述清楚.

3結語

從HPM的視角去落實核心素養，可以最大限度地利用古人的智慧，讓他們的博大精深的數學思想為現在的學生所用.上述幾個案例，也僅僅是在培養“直觀想象”素養落地實踐方面的拋磚引玉，面對浩翰無邊的數學史料，實屬滄海一粟.愿中學一線教師攜手共進，從數學史這塊寶藏中挖掘出更多為落實核心素養而用的材料.

參考文獻

[1] 汪曉勤.HPM：數學史與數學教育[M].北京：科學技術出版社，2017，5.

[2] 沈金興.畢氏學派的“形數理論”及應用[J].數學通訊，2013（10）：13.

[3]沈金興.《幾何原本》中的命題應用：從歷史到高考[J].數學通訊，2015（8）：6365.

[4] 沈金興.“形神兼備”之均值不等式欣賞.中學數學教學參考[J].2015（9）：710.

[5]沈金興.數學史視角下的棱柱定義“學習單”設計[J].數學教學，2016（11）：4548.

作者簡介沈金興（1971—），男，中學數學高級教師，大市級數學名師，碩士.現主要從事數學史與數學教育關系的研究，已在各類中學數學雜志上發表論文近50篇.