數學解題教學設計研究

張昆+羅增儒

【摘要】數學解題教學設計具有系統性，構成它具有三個環節節點：其一，教師要認真獨立地解題，盡可能窮盡解決數學問題的所有方法；其二，基于某些目標標準，從教師所獲得的解題方案中，選擇某一種、或兩種解法進行課堂教學設計；其三，設計方案經由課堂教學實施后的反思.通過實例具體說明完善教學設計活動，滲透數學觀念的教學目標的途徑，實現數學解題教學的價值.

【關鍵詞】數學解題；解題教學；數學觀念；教學目標

新一輪課改以來，數學解題教學受到了多項詬病.多數情況下，特別是數學教育理論家認為，解題教學總是教師將解題探究好了的方法與過程直接傳遞于學生，因而與實現新課程所設置的諸多教學目標失去了聯系，甚至于干擾教學這些目標的實現.這些是將某些教師（為數確實不少）的教學（技藝）方式上的一些薄弱環節無端地與解題教學價值（教學目標的內在依據）及其實現混為一談，這是有失公正的.其實，與數學概念、數學原理一樣，數學解題活動是極具創造性的課程資源，甚至于比數學概念原理更具培養學生創造性的教學價值，學生由探究稍微復雜些的數學問題，可以感受到更具直觀的體驗.問題是，教師必須通過創新的教學設計途徑，才能實現這種教學目標.

1數學解題教學設計的課例

一方面，在數學新課程實施過程中，偏重于利用優質數學知識資源，培養受教育者的創新能力，它需要多方面的素材，這些素材中解題活動占有舉足輕重的地位；另一方面，不管是有意還是無意，從某種程度上說，數學解題（特別在高考復習時）必定內含了數學教育目標的成分，部分地具有發揮數學教學的指揮棒的功能.因此，解題教學應該有意識地納入新課程數學教育的評價目標之中，而不能游離于這個體系之外，才能引領數學課程的實施方向[1].本研究通過解題教學設計指向教學目標的實例，旨在糾正數學解題教學落后的手段與教學目標之間混淆與混亂的認識，從而達到厘清解題教學理念的目的.

課例 （2016年全國高考天津卷·理21·Ⅱ問）設函數f（x）=（x-1）3-ax-b①，其中x∈R，a>0.若f（x）存在極值點x0②，且f（x1）=f（x0）③，其中x1≠x0④，求證：x1+2x0=3⑤.

教學方案1師：在過去的解題教學活動中，已經生成的解題經驗是：問題的解決總是從問題的條件產生結論的.對這個問題，同學們有什么想法？

生1：在這四項條件中，條件③應該是起著主導性作用的條件，因為通過它可以將其他條件集中起來[2].因此，可以從條件③入手：

由條件③與條件①，知（x0-1）3-ax0-b=（x1-1）3-ax1-b，知（x0-1）3-（x1-1）3+a（x1-x0）=0，知（x0-x1）[（x0-1）2+（x0-x1）（x0+x1）+（x1-1）2]-a（x0-x1）=0，知（x0-x1）{[（x0-1）2+（x0-x1）（x0+x1）+（x1-1）2]-a}=0⑥，……

師：哪位同學就生1中斷的思路提出新的想法，從而提供思維活動展開的動力？

生2：結論⑤作為解題的目標，它一定隱含在等式⑥中，如何從等式⑥導出結論⑤，發現應該消去等式⑥中一個與結論⑤無關的元素a.由條件②，知f′（x0）=3（x0-1）2-a=0，即a=3（x0-1）2，代入⑥，知（x0-x1）{[（x0-1）2+（x0-x1）（x0+x1）+（x1-1）2]-3（x0-1）2}=0，知（x0-x1）[（x1-1）2+（x0-x1）（x0+x1）-2（x0-1）2]=0，繼續分解因式，知（x0-x1）2（x1+2x0-3）=0 ，由條件④，知x1+2x0-3=0，知結論⑤成立.

師：大家從生1與生2同學合作所得到的這種解法中，可以獲得哪些有價值的東西？

生3：問題的條件具有層級性，在解題時，必須通過試探與選擇，確定主導性條件，由此啟動思維，逐步將輔助性條件納入解題的思路中，這些構成了解題思路的關鍵性的環節.

生4：問題的結論在解題活動中始終具有指向性作用，在探究解題思路時，結論的指向性作用可以提示著某些數學觀念的生成，從而在這種觀念指導下展開新的思維活動.

教學方案2師：生4同學對方案1中的收獲的要旨是有價值的.更有甚者，在探究解題思維活動的思路中，我們也可以將結論轉化為條件，從而將綜合性的思維活動轉化為分析性的思維活動，以此可以提高了解題的效率[3].對于本例，我們也可以運用這種觀念嗎？

生5：在“如何運用題設條件f（x1）=f（x0）③”時，這個等式中有兩個自變量x1與x0，使我感到特別不舒服.我想通過消元化去一個自變量，將條件③這個等式中的自變量變成一個，肯定對問題的解決有幫助，但是……

師：生5提出了一種有價值的消元的觀念.如何消元？

生6：考慮到結論⑤，知x1=3-2x0.于是，將x0與x1=3-2x0代入①，得f（3-2x0）=8（1-x0）3-a（2-3x0）-b⑦，f（x0）=（x0-1）3-ax0-b⑧，……

師：怎么辦？

生7：由于計算復雜，我沒有完成計算過程.

師：可以找到途徑簡化計算過程嗎？

生8：考慮簡化（x0-1）3的計算.由條件②，知f′（x0）=3（x0-1）2-a=0，知（x0-1）2=a3，將其分別代入⑦、⑧，化簡，得f（3-2x0）=-2a3x0-a3-b，f（x0）=-2a3x0-a3-b，從而，知f（x0）=f（3-2x0）⑨，由于3-2x0≠x0（否則a=3（x0-1）2=0，與條件a>0矛盾），于是，可設3-2x0=x1⑩，從而結論⑤成立.

師：通過生6與生8同學合作的這種解法，你獲得哪些有價值的東西？

生9：問題的條件與結論是可以轉化的一對矛盾.在探究解題思路時，往往將結論轉化為條件，參與條件的計算或推理，使我們更容易啟動思維，獲得思路.endprint

生10：函數f（x）與它的自變量x也是一對矛盾，在談論自變量之間的關系時，往往需要借助于函數這個支點來達到目的，反之亦然.這種解法由⑨導出⑩就是最好的體現.還有一對我們早已熟悉的矛盾：就是一元與多元的矛盾，我們經常將多元化為一元.

師：可以更為一般地說，數學解題活動的思維過程是符合辯證法精髓的，辯證法的集中體現就是矛盾法則，矛盾是對立的，在一定條件下可以互相轉化，因而又是統一的，解題活動過程就是要找到矛盾統一時需要轉化的條件.

2兩種方案折射出問題內含的教學價值比較

因為在解題教學活動時，教師引領學生獲得問題思路的分析手段具有相似性，所以這一個例子不失一般性.方案1使用的數學觀念學生通過自己解題經驗的積累，已經非常熟悉了：其一，證明的過程就是在從題設過渡到結論的數學觀念指令下進行的，這是非常自然的；其二，目標觀念，是產生其中的一個關鍵性思維環節的動力，它是以變量替換常量（即用a=3（x0-1）2等式中的3（x0-1）2替換等式⑥中的a）的結果，這也是自然而然的.

正如學生所揭示的，方案2隱含著所需要解決的幾對矛盾的數學觀念：其一，已知（條件）與未知（結論）的矛盾，它的解決的方法是將未知直接作為已知，⑦式就是這種轉化的具體運用；其二，函數與自變量的矛盾，一方面，當我們學習“反函數”概念后，就會明確地意識到函數與自變量是相對的，在某些條件下是可以互相轉化的；另一方面，又是互相依存的，當我們討論自變量的問題時，我們一定要利用函數這個支點，本例中的等式⑨就是它的具體體現，反之，討論函數的關系時，也一定要借助于自變量這個支點；其三，一元與多元的矛盾，例如，條件③就是這對矛盾的體現，本例中通過結論的關系，將二元轉化為一元，解決了矛盾.這三對矛盾的解決構成方案2的三個主要環節，這三個環節也就構成了啟動與推動學生解題思維活動的三個支點，教學設計就是教師需要啟發學生妥善處理這三個支點，而不是將教師找到的現成的思路“奉獻”給學生.

如果我們以解題思維活動的自然流暢、水到渠成，產生思路時學生思維用腦量的多少為標準，那么方案1絕對地優于方案2，這是我們應該同意的；但是，如果我們以發揮這兩種解法的教育價值（滲透數學觀念）這個標準來說，那么方案2就要優于方案1.

因為我們發現：方案1的數學觀念有兩點：其一，數學解題就是從已知過渡到未知，從題設條件過渡到題段結論；其二，目標觀念.但是這兩個觀念，學生已經通過大量的解題活動，刻入學生的智囊了，不需要再通過這個例子進行鞏固了.方案2所具有的除了方案1產生的數學觀念的價值以外，它重在體現于我們已經分析出的三對矛盾，探究解題思路活動的過程，就是充分暴露這些矛盾及其相互轉化的過程，經由這種轉化的思維活動，滲透解題活動中的某些數學觀念，它們變成了學生駕馭將來面對新問題的手段.

3選擇某種方案在課堂上實施教學設計的依據與標準

教學目標是選擇某種方案進行教學活動的關鍵性依據，決定教學目標的項目要素在于解題方法中內含的教學價值與學生數學現實的具體情況及其需要的配置.數學課堂教學目標設計途徑既不是來源于理論的推演，也不是來源于教師對流行的教學過程作形式上的模仿，而更多地來源于教師自己的教學實踐——對知識性質分析與對學生發生知識的心理過程分析，而知識發生的心理過程又是因人而異的，所以，教學目標設計就顯示出極其靈活性的一面.要提高教學目標設計水平，設計出恰如其分的課堂教學目標，除了需要教師整合教育教學的理論，積累教學目標設計的經驗以外，歸根結底，從解題活動中發現伴隨著知識的發生，能夠形成人的某些優秀心理品質與學生對某些核心要素的實際需要.

就滲透數學觀念這項目標而言，我們理解了方案2的價值優于方案1的價值，但是，也不能抽象概括地說，教師在選擇某種方案進入課堂教學時，就一定要選擇方案2.其實，選擇還要受到一些關鍵性條件的限制，例如，其一，當我們在上高一學生的函數起始課，需要合適的材料啟發學生理解函數概念成為當務之急時；其二，即使是在進行高考復習的數學解題課的教學時，作為高考壓軸題的第Ⅱ個問題，已經具有相當的難度，因此，如果所授課的班級是一個一般性的學校，我們也應該首選方案1，或者在完成方案1教學的基礎上，再設計方案2；其三，即使在一個普通學校，如果學生在一位優秀教師長期教學熏陶下，方案1真的不足以提高學生數學觀念水平了，此時，我們就應該選擇第二種方法.

由此可知，解題（其他知識也是一樣）教學設計時，教師必須在某種標準下選擇一種、或兩種方法真正地進入課堂.這種選擇的標準需要整合兩個方面：其一，數學問題資源所提供的教學價值；其二，由學生數學現實所處的具體情況.教師要善于比較在對自己所找到的方案中的每一種方案所隱含的教學價值，認真地進行體會與甄別，然后，仔細分析學生的心理需要，他們已經存有的數學觀念，在這些數學觀念中，穩定性、清晰性程度如何？某種解法所能提供的一種新數學觀念，這種新的數學觀念對學生今后自己獨立解題的重要性程度如何？還有發展學生計算技能方面的考量，等等.

這些構成一節解題教學設計課設置課堂教學目標的基礎，解題教學目標的生命所在與力量所系在于發揮數學習題所隱含的教學價值，教學價值是教學目標的內在形式，教學目標是教學價值的外在表現[4]，由于每一個數學問題中所隱含的教學價值可能是多方面的，這其中的某些價值在學生的數學現實中已經具有了，此時，盡管是非常好的教學價值，我們往往也不將其作為教學目標的一個項目，某些價值在學生的數學現實中雖然存在，但是，穩定性、清晰性程度不高，我們可以將其設置為輔助性的教學目標，某些價值在學生當下的數學現實中還不存在，而這種教學價值又是學生必備的品質，恰好那個題目又是這個教學價值的非常好的承載體，那么我們就一定要將其設置為主導的教學目標.

到此，我們可以總結系統性的數學解題教學設計的一般環節，這具有三個方面的節點：其一，教師要認真獨立地解題，盡可能窮盡解決數學問題的所有方法（當然一般很難達到，但教師一定要如此努力.我們特別反對某些教師自己不解題而使用他人提供的答案的做法，可以預言，這樣的教師絕不會有所成就）；其二，基于某些目標標準（問題性質中所隱含的教學價值，學生數學現實情況，學生需要鞏固的具體知識點與數學觀念，滲透全新的數學觀念，甚至于形成學生的某些優良的心理品格，正當興趣的發生、實現與加深，情感的皈依等等.這些又構成了層級等次，也需要視具體問題、具體學生、學生處于具體的學習階段而定，這是考量數學教師教學設計水平、提升教學效率的關鍵一環），從教師所獲得的解題方案中，選擇某一種、或兩種解法進行課堂教學設計；其三，設計方案經由課堂教學實施后的反思.數學教師只有嚴格地執行這三個環節，才能提升教學設計水平，實現數學解題教學價值，實現教學的有效性.

4簡要結語

教師與學生通過課堂活動兩者都受益，學生獲得知識，教師除了加深理解知識以外，還獲得傳授知識的技藝.數學教學設計是一種技藝，在于它猶如揉面，要善于掌握松緊、彈性、力度；譬如作曲，要善于掌握節奏的快慢疾徐、音調的抑揚頓挫；恰似演戲，要善于鋪墊、烘托、煽情，將觀眾的思維吸引進入舞臺的情境，順著演員的思維前進.教師如果不對所要教學的數學知識透熟于胸，不對學生發生具體的數學知識的心理環節及其構成環節轉化的途徑了如指掌，那就不可能做到掌握恰當的分寸、火候；也不可能做到有節律，分輕重、疾徐，從容有致地展開.這正是教師數學教學設計的硬工夫、真工夫所在.

參考文獻

[1]羅增儒. 心路歷程：認識、反思、拓展[J]. 中學數學教學參考（上旬刊），2007（9）：24-28.

[2]張昆，張乃達. 集中條件：數學解題的關鍵——教學設計的視角[J]. 中學數學（高中版），2016（2）：9-12.

[3]張昆，宋乃慶. 初一列方程入門教學的思考與建議[J]. 中學數學雜志，2014（2）：4-7.

[4]張昆. “理性”與“實用性”：何長何消——對平面幾何知識進入義務課程的一些思考[J]. 課程·教材·教法，2007.

作者簡介張昆（1965—），安徽合肥人，已在《中學數學雜志》、《課程·教材·教法》等發表教育教學論文500余篇.endprint