源自本真始于探究成在素養

【摘要】“倡導積極主動、勇于探索的學習方式”是高中數學課程標準的基本理念之一，也是數學核心素養觀的強烈要求.基于“正弦定理（第一課時）”教學片斷，作出反思：數學學科的教學目標和教學活動都要從素養的高度來進行，為素養而教，用學科育人，為學生的一生發展謀求最大利益.教育即生長，自然生長出的東西是最具有生命活力的；教學要探究，探究發現的歷程是培養學生數學核心素養的重要渠道.

【關鍵詞】正弦定理；教學片斷；核心素養

《普通高中數學課程標準（實驗）》倡導積極主動、勇于探索的學習方式，指出：“使學生獲得必要的數學基礎知識和基本技能，理解基本的數學概念、數學結論的本質，了解概念、結論等產生的背景、應用，體會其中所蘊含的數學思想和方法，以及它們在后續學習中的作用.通過不同形式的自主學習、探究活動，體驗數學發現和創造的歷程.”

東北師范大學史寧中教授領銜的普通高中數學課程標準修訂組提出“數學核心素養”，指出：“學生能夠發現問題和提出命題；能掌握推理的基本形式，表述論證的過程；能理解數學知識之間的聯系，建構知識框架；形成有論據、有條理、合乎邏輯的思維品質，增強數學交流能力，積累從具體到抽象的活動經驗.”

筆者認為，數學核心素養觀是數學課程標準在“立德樹人”時代要求背景下的深入發展，是課程標準理念的“升級版”.因而，數學學科的教學目標和教學活動都要從素養的高度來進行，為素養而教，用學科育人，為學生的一生發展謀求最大利益.

既然數學核心素養是當下教育界最熱門的話題，我們就要積極地去認識、理解與實踐.那么在課堂教學中，要做哪些改變或創新，才能達到數學核心素養引領下的數學教學要求，實現課程標準倡導的探究發現、持續發展理念.抱著互助教研、反思提高的情懷，筆者近期開設了一節市級示范教學課，課題是人教版數學必修⑤111 正弦定理（第一課時）.目的呢，一是想通過思辨的教學行為實踐自己的教學設想與愿景，二是以原生態的教學過程為案例，提供一件本真的研究素材，為立足教材，著眼課堂教學，培養學生的數學核心素養拋磚引玉.

1教學片斷實錄

1.1創設情景，布疑激趣

圖1問題如圖1，船從港口B航行到港口C，測得BC的距離為600m，船在港口C卸貨后繼續向港口A航行，由于船員的疏忽沒有測得距離，如果船上有測角儀，測得∠BAC=75°，∠ACB=45°，我們能否計算出A、B的距離？

效能分析用問題驅動課堂.從日常生活中的測量問題引入，激活學生思維，激發學生的求知欲.數學是思維的體操，興趣是最好的老師.

1.2交流探究，解決問題

師：用數學的眼光看世界，“問題”抽象后即是怎樣的數學問題？

生1：（學生思考，回答）該問題即是：在△ABC中，已知兩角以及一角的對邊，求AB.

師：在三角形中，由已知的邊和角求未知的邊和角，我們學過哪些知識？

生2：（學生思考，回答）在初中，我們學過在等腰三角形、等邊三角形、直角三角形中求邊和角.

師：回答得很好.在等腰三角形和等邊三角形中，我們是通過作底邊上的高，把問題轉化為直角三角形來解決的.解直角三角形，大家還記得嗎？

師生共同回憶解直角三角形：①在直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊及兩個角；②在直角三角形中，已知一邊和一個銳角，可以求另兩邊及第三個角.

圖2師：（引導，學生思考，交流.）“問題”中的△ABC是斜三角形，能否利用解直角三角形知識計算AB呢？

生3：過點B作BD⊥AC于D，把△ABC分成兩個直角三角形，如圖2.（學生闡述解題過程，教師板書.）過點B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，BD=BC·sin45°=3002.

在Rt△ABD中，sin∠BAD=BDAB，

故AB=BDsin75°=3002×42+6=600（3-1）.

師：（對學生的精彩表現進行贊賞）現在我們反思一下：在解決問題的過程中，我們是通過作高，把斜三角形轉化為直角三角形來處理的.看來直角三角形不僅是我們最熟悉的，同時也是很重要的.好，下面我們的探究之旅就從直角三角形開始.

效能分析直角三角形是一類特殊的三角形，學生非常熟悉.在直角三角形中解決了問題，學生深刻地體會到“轉化”的思想，享受到應用數學知識解決實際問題后的喜悅.解直角三角形是學生知識的“最近發展區”，導入的“問題”是本節課教學的“先行組織者”.

1.3師生互動，得出猜想

如圖3，在Rt△ABC中，設BC=a，AC=b，AB=c，由直角三角形邊與角的關系得：

圖3sinA=ac，sinB=bc，

又sinC=1=cc，

則asinA=bsinB=csinC=c，

于是，在Rt△ABC中，

asinA=bsinB=csinC.

師：那么在任意三角形中，是否都有asinA=bsinB=csinC呢？

鏈接資源借助幾何畫板，演示隨著三角形任意的變換，asinA、bsinB、csinC值始終保持相等，如圖4.

生4：猜想：在任意△ABC中，asinA=bsinB=csinC.

效能分析引導學生把問題轉化為解直角三角形——“化斜為直”.在解決問題后，對特殊問題一般化，得出一個猜測性的結論——猜想，培養學生從特殊到一般的歸納推理意識，培養學生的數學直觀和數學抽象能力.沒有猜想，就沒有發現和創造.圖41.4證明猜想，得到定理

師：以上我們通過探究，又借助幾何畫板的支持，得到猜想.猜想未必都是對的，其正確性必須要證明.如何證明asinA=bsinB=csinC呢？前面的探索過程對我們有沒有啟發？endprint

生5：（分組討論，思考得出）分直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種情況來證明，采用“化斜為直”的辦法，把銳角三角形、鈍角三角形轉化為直角三角形.

（1）在Rt△ABC中，猜想成立.

（2）在銳角三角形中，如圖5，設BC=a，CA=b，AB=c，作AD⊥BC，垂足為D.

在Rt△ABD中，因為sinB=ADAB，所以AD=AB·sinB=c·sinB；

在Rt△ADC中，因為sinC=ADAC，所以AD=AC·sinC=b·sinC.

因而c·sinB=b·sinC.所以csinC=bsinB.

同理可得：asinA=csinC.故asinA=bsinB=csinC.

圖5圖6（3）在鈍角三角形中，如圖6，設∠C為鈍角，BC=a，CA=b，AB=c，作AD⊥BC ，交BC的延長線于點D.

同（2）可證，asinA=bsinB=csinC.

綜上所述，在任意△ABC中，都有asinA=bsinB=csinC.

師：引導學生總結探究過程.在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即：asinA=bsinB=csinC，我們把這條性質稱為正弦定理.要求學生用語言敘述定理，教師板書正弦定理，并強調關鍵詞“對角”.

效能分析學生經歷證明猜想、演繹推理的過程.引導啟發學生利用已有的數學知識論證猜想，力求讓學生體驗數學學習的過程，積累數學活動的經驗.學生自己進行探究，“用數學思維分析世界”、“用數學語言表達世界”，體會到數學推理的樂趣.探究發現是培養學生數學核心素養的重要渠道.

圖7師：asinA、bsinB、csinC相等，設比值等于k，這個k是多少？有沒有什么特殊的幾何意義呢？

生6：在Rt△ABC中，asinA=bsinB=csinC=c，c恰為外接圓的直徑，即c=k=2R.類比聯想，作△ABC的外接圓，O為圓心，連接BO并延長交圓O于B′，連接AB′，如圖7.

則有∠B′AB=90°，∠B′=∠C.

在Rt△B′AB中，ABsinB′=BB′，

所以ABsinB′=ABsinC=BB′=2R，即csinc=2R.

同理可證：asinA=2R，bsinB=2R.

故asinA=bsinB=csinC=2R.

師：正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑！我們從幾何的視角出發，用“作高法”、“外接圓法”實現了“化斜為直”的目標，證明了正弦定理.那么，正弦定理還有其他的證法嗎？實際上，正弦定理的證法很多，同學們周末上網搜索一下，下載一些正弦定理證明的資料，加以整理，以“聚焦正弦定理的證明與應用”為題，寫一篇數學小論文.

效能分析探究出運動變化中三角形邊角關系的不變性，抓住了正弦定理的本質：變化的極致是不變（三角形外接圓直徑）.通過撰寫數學小論文，使學生學一點數學史，認識正弦定理產生的歷史，發展的現狀，以及在實際測量和幾何計算中的應用，體會數學的文化性，提高學生的科學品質與數學素養.

2教學反思感悟

《正弦定理（第一課時）》這節課，學生在教師的點撥和引導下，應用“觀察——猜想——驗證——歸納——證明”的數學研究方法，發現并證明正弦定理，經歷了知識探索與形成的過程，感受到自主探究新知的艱辛與快樂，激發起濃厚的數學學習興趣.其次，以情境引入教學，用問題驅動課堂，促使學生去思考問題，去解決問題，去發現規律.讓學生在“活動”中學習，在“合作”中積累數學活動經驗；在“探究”中創新，在“體驗”中形成數學核心素養.

2.1教學要從“最近發展區”出發，用好“先行組織者”

前蘇聯心理學家、社會文化歷史學派的創始人維果斯基提出“最近發展區理論”，指出兒童認知發展有兩種水平：實際的發展水平和潛在的發展水平，認為教學應該走在發展的前面，引導發展.“先行組織者”是認知心理學的代表人物——美國教育心理學家奧蘇伯爾于1960年提出的一個教育心理學的重要概念.它是先于學習任務本身呈現的一種引導性材料，通常先用學生能懂的語言在介紹學習材料本身以前呈現出來，以便建立有意義學習的心向，構建一個使新舊知識發生聯系的橋梁.

縱觀高中數學知識體系，直角三角形邊與角之間的三角函數關系是離“正弦定理”最近的上位知識，即是本節課的“最近發展區”.教學中，用“問題”導入課題，以“化斜為直”為策略，把問題轉化為解直角三角形加以解決.設計的導入“問題”是探究正弦定理的“先行組織者”，它溝通起正弦定理與解直角三角形之間的聯系，促進了知識的正向遷移，既提高了課堂教學的效益，又增加了學習過程的研究氣氛.

2.2合情推理孕育發明創造，演繹推理成就數學理性

法國數學家拉普拉斯（Laplace，1749—1827）曾經說過：“即使在數學里發現真理的主要工具也是歸納和類比”.科學發展史告訴我們，在認識世界的過程中，人們需要通過觀察、實驗等獲取經驗；也需要辨別它們的真偽，或將積累的知識加工、整理，使之條理化、系統化.合情推理和演繹推理分別在這兩個環節中扮演著重要角色.就數學而言，演繹推理是證明數學結論、建立數學體系的重要思維過程，但數學結論、證明思路等的發現，主要靠合情推理.因此，我們不僅要學會證明，也要學會猜想.

反思我們的數學課堂教學，重演繹推理輕視合情推理的做法業已根深蒂固，導致學生只能按照較固定的套路（或模式）解決問題，而不能深入到事物的內在，通過觀察歸納、類比聯想去發現新的問題，更不能提出具有挑戰性的問題.“錢學森之問”振聾發聵，令人深思！

需要提出的是，演繹推理也即邏輯推理，它與合情推理共同構成數學推理的內涵，所以，筆者認為，數學核心素養“六核”之一的“邏輯推理”，應調整為“數學推理”為好.

促進學生學會學習，學會數學推理，是提高學生能力、發展學生素養的重要前提，是高中數學課程改革的主要任務，我們要為此而努力.

2.3探究發現是培養學生數學核心素養的重要渠道

“倡導積極主動、勇于探索的學習方式”是高中數學課程標準的基本理念之一，也是使數學核心素養在教學中落地生根的有效方法和強力支撐，沒有學生主動參與的學習，想形成數學素養就只能是一廂情愿.

環顧當前的數學課堂教學，筆者認為有很多不足之處：為探究而探究，為表演而探究；低效探究，假探究，偽探究等現象屢見不鮮.探究什么、何時探究、怎樣探究，特別是如何引導學生自然地實施與調整探究過程并沒有很好地解決，導致數學課堂探究環節往往場面很“熱鬧”，學生活動很“積極”，探究結果時常“特別令人滿意”.這樣的探究活動，學生得到的只能是問題解決的直接結果，獲得的僅僅是被動的操作技能，而失去的是寶貴的活動經驗、靈動的推理方式、數學的理性精神以及科學研究的方法，失去了適應終身發展和社會發展所需要的必備品格與關鍵能力.

正弦定理教學過程中，學生始終處在探索研究的狀態，用數學眼光分析問題，以數學家的思想去解決問題.數學的理性精神得到錘煉，數學直觀、數學建模、數學推理、數學運算能力得到進一步培養，積累了科學研究的經驗和方法，這會使學生終身受益.

教育即生長，自然生長出的東西是最具有生命活力的；教學要探究，探究發現的歷程是培養學生數學核心素養的重要渠道.

作者簡介胡浩（1968—），男，安徽蕪湖人.中國數學會會員，教育部中西部地區骨干教師培訓班學員，中學數學高級教師，地市級學科帶頭人.主要從事中學數學課堂教學和解題教學研究，數十篇論文在省級及以上學術期刊上發表.endprint