一類試題太“另類”轉化思想顯“神威”

無論是縱向分析歷年來的數學高考題，還是橫向分析各個省份的數學高考題，無論文科還是理科高考題，線性規劃問題都是一種重要的考查題型.如果將歷年來各省的線性規劃考題匯總在一起，就象一片片蓮葉鋪向天邊.而在近日解題過程中，屢屢發現線性規劃試題的“另類”題型.不同于常規題型：由條件直接畫可行域，而且目標函數是線性的，即使是非線性的，也僅限于根據其幾何意義求截距、斜率、或距離的取值范圍等.而這些非常規題型乍一看好像與線性規劃沒有關系，它們的出現就象“映日荷花”，在常見的線性規劃題的“接天蓮葉”之中顯的“別樣紅”.而我們同學見到這樣的“另類”試題，往往不知所措，更談不上掌握這類試題解題策略.這里隆重推出利用轉化的思想來解此類試題，我們會看到它的“神威”！

例1（求面積）若變量x、y滿足

x-y+1≤0，

x+y-3≤0，

x≥0，求點P（x+y ， 2y-x）表示的區域的面積.

圖1解析請注意，本題不是求點P（x，y）表示區域的面積，如果按照思維慣性，由約束條件畫出可行域，再求出可行域的面積，如圖1所示，求出△ABC就認為是所求的答案，那就出錯了！

點P（x+y ， 2y-x）中的橫縱坐標分別有界，而且相互關聯，無法直接用所給的約束條件求解.請看轉化的力量：

令u=x+y，

v=2y-x，可得x=2u-v3，

y=u+v3，

再代入題中約束條件可得到：u-2v+3≤0，

u-3≤0，

2u-v≥0，

于是問題就轉化為：若變量u、v滿足

u-2v+3≤0，

u-3≤0，

2u-v≥0，①

求點P（u，v）表示的區域的面積.

圖2如圖2所示，只需根據①中約束條件，作出可行域，求出△DEF的面積即可.真可謂峰回路轉，柳暗花明！

例2（求距離）已知空間直角坐標系O-xyz中有一點A（-1，-1，2） ， 點B是xOy平面內的直線x+y=1上的動點，求A、B兩點間的最短距離.

解析此題運用空間解析幾何知識，或者運用立體幾何作圖均可求解，但并不簡潔.如用兩點間距離公式：已知A（-1，-1，2），B（x，y，0），則|AB|=（x+1）2+（y+1）2+4，其中x+y=1 .

可以轉化為先求：已知x+y=1，求z=（x+1）2+（y+1）2的最小值，再求出|AB|的最小值.這又轉化到了平面直角坐標系中常規的線性規劃問題（只需求點-1，-1到直線x+y=1的距離即可解決問題），從而化未知為已知，問題迎刃而解！

例3（求取值范圍）已知α∈[0，π2]，β∈[0，π2]，且|sin α-sin β|≤12，

求t=sin β+1sin α+1的取值范圍.

解析從表象上看，此題似乎是求三角函數值范圍問題，但由于α，β之間關系不明確，僅靠自己的取值范圍肯定不行，這給求解帶來了不少困難！那該怎么辦呢？

事實上，只需令x=sin α，

y=sin β，問題就轉化為：圖3已知

0≤x≤1，

0≤y≤1，

-12≤x-y≤12，求t=y+1x+1的范圍，問題水落石出！如圖3所示，作出可行域（六邊形OABCDE及其內部），可以用常規的線性規劃方法（目標函數的幾何意義）求之.

令Px，y為可行域內任意一點，令F-1，-1，直線PF的斜率為kPF，則易知t=y+1x+1=kPF，由圖3可知，kAF≤kPF≤kEF，又易求kAF=23，kEF=32，所以23≤kPF≤32，即t=y+1x+1的范圍為23，32.

例4（求最值）已知實數x、y滿足2x2+4xy+2y2+x2y2≤9，求u=22（x+y）+xy的最大值，最小值.

解析從條件及目標函數來看，怎么著都與線性規劃扯不上邊.但是別急，如果我們對條件和目標函數進行適當的轉化呢？

2x2+4xy+2y2+x2y2≤9可化為2（x+y）2+（xy）2≤9.

令a=2（x+y）

b=xy，條件轉化為a2+b2≤9，而目標函數則化為u=2a+b，這樣利用常規的方法可求u=2a+b的最大值和最小值.如圖4所示.

圖4當直線l：2a+b-u=0（u為常數）與圓a2+b2=9相切時可求得u的最值，此時由圓心O0，0到直線l：2a+b-u=0的距離等于半徑得-u4+1=3，故u=±35.所以u=2a+b的最大值和最小值分別為35，-35.

大功告成！順利完成了任務.對嗎？

請注意條件函數中的一個隱藏條件：a2=2（x+y）2≥8xy=8b即b≤18a2，因此原問題應轉化為：已知a2+b2≤9

b≤18a2，求u=2a+b的取值范圍.

圖5如圖5所示，拋物線b=18a2將圓a2+b2=9分成上下兩部分，可行域應為下面一部分.從圖5中可看出，u=2a+b的最小值為-35（A為最優解），與圖4中相同，不受可行域變化的影響.但是，u=2a+b的最大值因為可行域的變化而發生了變化，B點（切點）不再是最優解，最優解應該是C點（拋物線b=18a2與圓a2+b2=9的一個交點）.（通過求坐標可判斷B點在C點的上方）

由方程組b=18a2，

a2+b2=9，解得a=±22，

b=1，

故C點坐標為22，1.

因此，u=2a+b的最大值為1+42.

真是防不勝防??！不然怎么說數學使人周密呢！

例5（求取值范圍）已知正數a、b、c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則ba的取值范圍是.endprint

解析已知條件可化為：3a+b≥5c，

a+b≤4c，

clnbc≥a+clnc，

進一步化為：3·ac+bc≥5，

ac+bc≤4，

bc≥eac，

在這里設ac=x，bc=y，

則原題可化為：已知x、y滿足3x+y≥5，

x+y≤a，

y≥ex，

x>0，y>0，

求yx的取值范圍.（成為常規題型）

如圖6所示，作出可行域（兩條直線y=5-3x，y=4-x與一條曲線y=ex圍成的平面區域）.

圖6令Px，y為可行域內任意一點.直線OP的斜率為kOP=yx.因此問題轉化為求直線OP的斜率的范圍.

顯然，當直線OP與曲線y=ex相切時，直線OP的斜率取得最小值.令切點為Px0，y0，則切線OP的斜率為ex0=y0x0=ex0x0，從而解得x0=1.故直線OP的斜率最小值為e，即yx的最小值為e.

當點Px，y落在C點時，直線OP的斜率取得最大值.

此時有y=4-x，

y=5-3x，5y=20-5x，

4y=20-12x，y=7xyx=7.（這樣計算簡單些）從而直線OP的斜率最大值為7，即yx的最大值為7.所以yx的取值范圍為[e，7]，即ba的取值范圍是[e，7].結束語

通過對上述“映日荷花”的賞析，使我們認識到，一些不同于常規的線性規劃試題，雖然太“另類”，但只要我們能合理轉化，就可以化難為易，化繁為簡.真可謂轉化思想顯“神威”！

俗話說，沒有思想就沒有高立意.因為數學知識的教學只是信息的傳遞，而數學思想方法的教學，才能使學生形成觀點和技能，數學學習的根本目的，就在于掌握這種具有普遍意義和廣泛遷移價值的策略性知識.要學生真正從思想深處接受、領悟并掌握一種數學方法，必須有一個體驗、感悟、浸潤的過程.

在我們的教學中，要更多地關注學生對數學思想方法感悟的充分性與全面性，要創設大量的機會給學生思考、探究、總結、提煉，讓數學思想方法在教學中能真正地落到實處[1].

參考文獻

[1]陳曉明.數學思想方法在向量中的應用教學舉例[J].中小學數學，2017（3）：7.

作者簡介陳曉明（1971—），男，安徽廣德人，安徽省寧國市寧國中學教師，碩士學位，中高職稱.近年來曾有多篇論文發表.endprint