一類過定點(diǎn)的函數(shù)族的試題命制與分析

1試題內(nèi)容

已知函數(shù)f（x）=x2-x，g（x）=ex-ax-1.

（Ⅰ）討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)x>0時，f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2考查目標(biāo)

本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、有限與無限思想等.

3命制過程

命題者構(gòu)造了過定點(diǎn)（0，0）的函數(shù)族g（x）=ex-ax-1.隨著實(shí)數(shù)a取值范圍的變化，函數(shù)g（x）的單調(diào)性、極值都發(fā)生變化.

當(dāng)a≤0時，函數(shù)g（x）在區(qū)間R單調(diào)遞增（如圖1）；

當(dāng)a>0時，函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，lna）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（lna，+∞）上單調(diào)遞增（如圖2）.

圖1圖2于是命題者設(shè)置了問題（Ⅰ）：討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性.

為了增加試題難度，命題者考慮引入新函數(shù)，于是構(gòu)造了過點(diǎn)（0，0）的函數(shù)f（x）=x2-x.

由于動函數(shù)g（x）與定函數(shù)f（x）相交于點(diǎn)（0，0）.于是考慮比較f（x）與g（x）在定點(diǎn)（0，0）兩側(cè)函數(shù)值的大小.為減小試題的難度，命題者只研究兩個函數(shù)在定點(diǎn)右側(cè)的情況，即研究x>0時，兩函數(shù)值的大小關(guān)系.

如圖3，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）的圖像恒在函數(shù)g（x）圖像的下方.

如圖4，當(dāng)0

如圖5，當(dāng)a>e-1時，函數(shù)f（x），g（x）的圖像在y軸右側(cè)有異于點(diǎn)（0，0）的又一交點(diǎn)（p，q）.當(dāng)0p時，函數(shù)f（x）的圖像在函數(shù)g（x）圖像的下方.

圖3圖4圖5根據(jù)上述分析，命題者設(shè)置了問題（Ⅱ）：當(dāng)x>0時，f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4解題思路

第（Ⅰ）步的求解：首先求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)g′（x）=ex-a，然后根據(jù)a的不同取值，討論g′（x）的零點(diǎn)及其符號，從而判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性.

第（Ⅱ）步的求解：首先對含參不等式進(jìn)行變量分離得a≤exx-x-1x+1，從而把問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)h（x）=exx-x-1x+1（x>0）的最小值問題，然后用導(dǎo)數(shù)研究h（x）的最小值.

5試題詳解

（Ⅰ）g′（x）=ex-a.

（1）當(dāng)a≤0時，g′（x）>0，g（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)a>0時，當(dāng)x∈（-∞，lna）時，g′（x）<0，g（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（lna，+∞）時，g′（x）>0，g（x）單調(diào)遞增.

（Ⅱ）當(dāng)x>0時，x2-x≤ex-ax-1，

即a≤exx-x-1x+1.

令h（x）=exx-x-1x+1（x>0），

h′（x）=ex（x-1）-x2+1x2.

令F（x）=ex（x-1）-x2+1（x>0），

F′（x）=x（ex-2）.

當(dāng)x∈（0，ln2）時，F(xiàn)′（x）<0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（ln2，+∞）時，F(xiàn)′（x）>0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增.

又F（0）=0，F(xiàn)（1）=0，所以當(dāng)x∈（0，1）時，F(xiàn)（x）<0，即h′（x）<0，h（x）單調(diào)遞減.

當(dāng)x∈（1，+∞）時，F(xiàn)（x）=（x-1）（ex-x-1）>0，即h′（x）>0，h（x）單調(diào)遞增，所以h（x）min=e-1，所以a∈（-∞，e-1].

6試題評價

本題主要檢測的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)有：邏輯推理，運(yùn)算能力，直觀想象.預(yù)計本題難度系數(shù)03，擬作為高考文科數(shù)學(xué)模擬試卷的第21題.

命題者呈現(xiàn)給考生的是一個函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題.試題具有典型的全國卷壓軸試題的風(fēng)格，適合作為參加全國卷考試的考生作為臨考的高仿真模擬考試.

（1）試題的表述簡潔明了，設(shè)問方式干凈利落，有效減少了考生的閱讀負(fù)擔(dān).試題的背景函數(shù)f（x）=x2-x是考生所熟悉的二次函數(shù)，g（x）=ex-ax-1是由一次函數(shù)y=ax+1和指數(shù)函數(shù)y=ex組合而成的，這也是學(xué)生較為熟悉的函數(shù)背景.以這兩個函數(shù)為背景命題大大地降低了學(xué)生的畏難心理，使得檢測結(jié)果能更加真實(shí)地反應(yīng)出考生的學(xué)業(yè)水平，從而增加了考試的信度和效度.

（2）試題第（Ⅰ）步，從討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性入手，重點(diǎn)考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，同時考查分類與整合的數(shù)學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)了知識與能力的雙重檢測.

（3）試題第（Ⅱ）步，研究二次函數(shù)f（x）=x2-x和函數(shù)g（x）=ex-ax-1的圖像的位置關(guān)系，重在考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想.此步驟具有明顯的區(qū)分度，能有效地區(qū)分出優(yōu)等生與中等生對數(shù)學(xué)知識不同的掌握程度.

從試題及其解答可以看出本題符合考試大綱對高中畢業(yè)生的檢測要求，從試題的命題過程可以看出命題者嫻熟的命題手法.綜上，本題及本題的命題手法都是值得學(xué)習(xí)和借鑒的！

作者簡介楊蒼洲（1979—），男，福建泉州人，中學(xué)一級.研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)，高考命題研究.

主要成績：福建省第二屆教師教學(xué)技能大賽特等獎獲得者.曾被評為泉州市書香教師、教壇新秀、教科研先進(jìn)個人.發(fā)表論文200多篇.多次受邀參與福建省高考命題工作.