用對稱性求解圓錐曲線高考題

孔湛琦

對稱性是圓錐曲線的重要性質，許多圓錐曲線問題，特別是高考中的圓錐曲線問題常與對稱性有關.用好圓錐曲線的對稱性往往能使問題化難為易，事半功倍.

圖1例1（2012年福建理）如圖1，橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率e=12.過F1的直線交橢圓于A，B兩點，且△ABF2的周長為8.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q.試探究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.

分析直線l含有m，k兩個參數，直線l與橢圓E有且只有一個公共點，m，k兩個參數可以轉換為1個參數.因為M為未知，加上點M（x1，y1）的兩個參數就變成3個參數了，這樣就給下一步的求解帶來很大困難.大家知道橢圓E與直線x=4都是關于x軸對稱的，滿足條件的點M若存在一定在軸上，即M（x1，0）.這樣3個參數就變成兩個參數，問題也就容易解決了.這里巧妙地運用了圖形的對稱性，簡化了運算，收到了很好的效果.

解（Ⅰ）橢圓E：x24+y23=1，解題過程略.

（Ⅱ）由y=kx+m，

x24+y23=1，消去y得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，因為動直線l與橢圓E有且只有一個公共點P（x0，y0），所以m≠0且Δ=64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，

化簡得4k2-m2+3=0（*）.

此時x0=-4km4k2+3=-4km，y=kx0+m=3m，所以P（-4km，3m）.

由y=kx+m，

x=4，得Q（4，4k+m）.

橢圓E與直線x=4都是關于x軸對稱的，滿足條件的點M若存在，M點一定在軸上，即M（x1，0），則MP·MQ=0對滿足（*）式的m，k恒成立.

因為MP=（-4km-x1，3m），MQ=（4-x1，4k+m），由MP·MQ=0得，

-16km+4kx1m-4x1+x21+12km+3=0，整理得4（x1-1）km+x21-4x1+3=0（**）.

由于（**）式對（*）式的m，k恒成立，

所以4x1-4=0，

x21-4x1+3=0，解得x1=1.

故存在定點M（1，0），使得以PQ為直徑的圓恒過點M.

圖2例2（2015年四川理）如圖2，橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率是22，過點P（0，1）的動直線l與橢圓相交于A，B兩點，當直線l平行于x軸時，直線l被橢圓E截得的線段長為22.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）在平面直角坐標系xOy中，是否存在與點P不同的定點Q，使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

分析此題系2015年四川理的壓軸題，屬于高難度題目.此題也曾是山東省實驗中學的一次考試題，得分率很低.很多同學的困難在于一是不知道|QA||QB|=|PA||PB|如何轉化，二是Q點的坐標不知道導致參數過多不容易操作.事實上，橢圓E與直線AB都是關于y軸對稱的，滿足條件的點Q若存在一定在y軸上，即可設Q（0，y0）.

當直線l與x軸垂直時，設直線l與橢圓相交于A，B兩點.則A（0，2），B（0，-2），

由|QA||QB|=|PA||PB|，有|y0-2||y0+2|=2-12+1，

解得y0=1或y0=2.

所以，若存在不同于點P的定點Q滿足條件|QA||QB|=|PA||PB|，則Q點的坐標只可能為Q（0，2）.剩下的只需驗證Q（0，2）對任意的直線l，均有|QA||QB|=|PA||PB|即可，即只需驗證kQA+kQB=0，問題就簡單多了.

解（Ⅰ）橢圓E：x24+y22=1，解題過程略.

（Ⅱ）橢圓E與直線AB都是關于y軸對稱的，滿足條件的點Q若存在一定在y軸上，即可設Q（0，y0）.

當直線l與x軸垂直時，設直線l與橢圓相交于A，B兩點.則A（0，2），B（0，-2），

由|QA||QB|=|PA||PB|，有|y0-2||y0+2|=2-12+1，

解得y0=1或y0=2.

所以，若存在不同于點P的定點Q滿足題設條件，則Q點的坐標只可能為Q（0，2）.

下面證明：對任意的直線l，均有

|QA||QB|=|PA||PB|.

當直線l的斜率不存在時，由上可知，結論成立.

當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）.

聯立x24+y22=1，

y=kx+1，得（2k2+1）x2+4kx-2=0.Δ=16k2+8（2k2+1）>0，

所以，x1+x2=-4k2k2+1，x1x2=-22k2+1.

kQA+kQB=y1-2x1+y2-2x2=k-1x1+k-1x2=2k-x1+x2x1x2=2k-2k=0.

所以∠QPA=∠QPB，從而|QA||QB|=|PA||PB|.

故存在與P不同的定點Q（0，2），使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立.

其實對稱性的作用不僅體現在定值，定點問題，圓錐曲線的很多問題都與對稱性有關.

例3（2016年全國新課標Ⅱ理）已知A是橢圓E：x24+y23=1的左頂點，斜率為kk>0的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA.endprint

（Ⅰ）當AM=AN時，求△AMN的面積；

（Ⅱ）當2AM=AN時，證明：3

分析（Ⅰ）如果無法求出kk>0的值，就無法求出△AMN的面積；如何求出k值，運用對稱性可知直線AM的傾斜角為π4，這樣問題就容易解決了.

解（Ⅰ）設M（x1，y1），則由題意知y1>0.由已知及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為π4，又A（-2，0），因此直線AM的方程為y=x+2.將x=y-2代入x24+y23=1得7y2-12y=0，解得y=0或y=127，所以y1=127.

所以△AMN的面積

S△AMN=2×12×127×127=14449.

（Ⅱ）略.

例4（2013年重慶文）設雙曲線C的中心為點O，若有且只有一對相交于點O，所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，使A1B1=A2B2，其中A1、B1和A2、B2分別是這對直線與雙曲線C的交點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）.

A.（233，2] B.[233，2）

C.（233，+∞）D.[233，+∞）

分析盡管此題是一道選擇題，但是如果找不到合適的辦法難度還是非常大的，因為不知從何處入手.但是如果心里裝著圓錐曲線的對稱性，題目就不難解決了.易知A1B1=A2B2，由雙曲線的對稱性知，滿足題意的這一對直線也是關于x軸（或y軸對稱）.由題意知有且只有一對這樣的直線，故該雙曲線在第一象限的漸近線的傾斜角θ的范圍是π6<θ≤π3，即33

本來到這里此文就該結束了，但恰逢2017年高考結束.當筆者第一眼見到2017年全國新課標Ⅰ理第20題時，第一感覺是“又見圓錐曲線的對稱性”.

例5（2017年全國新課標Ⅰ理）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），四點P1（1，1）、P2（0，1）、P3（-1，32）、P4（1，32）中恰有三點在橢圓C上.

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）設直線l不經過P2點且與C相交于A、B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點.

分析盡管（Ⅰ）不是很難，但是確是奠基步驟，有的考生就是因為不能求出橢圓的方程而導致整個題目無法得分.而出現這種情況的一個重要原因是不能斷定4個點中哪3個點在橢圓C上.事實上P3、P4關于y軸對稱，根據橢圓的對稱性P3、P4一定在橢圓上（因為若不在，將不會有3個點在橢圓上）.然后就可判定點P2在橢圓上，而點P1不在橢圓上.有了這樣的判斷就很容易解決了.C：x24+y22=1，解題過程略.

以上幾例充分說明對稱性不僅是圓錐曲線的一條重要性質，還是高考命題的重要切入點.其實關于圓錐曲線對稱性的應用還遠不止這幾例，只要我們有一個對稱性的意識，心里裝著對稱性，就能發現其中之規律，讓圓錐曲線的對稱性應用發揮出最大的潛能.