一道高考“小”題的“大威力”

【摘要】在“中國學生核心素養框架”及“學科核心素養”提出后，我們的高中數學課程面臨著新的改革，高中數學課堂教學也面臨著前所未有的挑戰.本文從一道高考題出發，導入一節復習課，嘗試以“項目塊”的模式授課，強調數學知識的整體性與聯系性，反映出數學學科的本質，實現從數學學科知識到能力和素養的轉化，最終體現課堂教學的“有效性”.

【關鍵詞】高中數學核心素養；復習課；有效教學；項目塊；案例

進入21世紀，學科教育從以知識傳授為本向和諧的人的終身發展進行轉變，這是一個誰也無法回避的現實.隨著2016年9月“中國學生核心素養框架”及伴隨的“學科核心素養”的提出，我們的高中數學課程面臨著新的改革，高中數學課堂教學也面臨著前所未有的挑戰.到底怎樣的課堂教學可以彰顯數學課程立德樹人的價值取向，怎樣的課堂可以反映數學學科的本質，怎樣的課堂可以實現從數學學科知識到能力和素養的轉化，是擺在我們每一位一線教師面前的現實問題.要認識并解決這些問題，就不能回避課堂教學的“有效性”.

從科學取向的教學論看，任何有效教學必須明確回答三個問題：一是帶領學生去哪里，二是怎么帶學生去那里，三是怎么確信學生已經到達那里[1].而高中階段的數學核心素養是指：具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的人的思維品質與關鍵能力.基于核心素養的數學學科教學，是通過讓學生“用數學的眼睛看”體現數學的一般性特征；通過讓學生“用數學的思維想”體現數學的嚴謹性特征；通過讓學生“用數學的語言說”體現數學應用的廣泛性[2].事實上，如果學生學習高中數學課程后，能夠形成“有效的分析、推理和交流數學思想的能力”，進而實現學生從知識到能力和素養的轉化和進階[3]，這本身就回答了有效教學的第一個問題，同時也指向了數學學科素養下的學科育人功能.其次，數學核心素養強調了學生學習高中數學課程后具備的能力應該通過“對數學學習領域和情境提問題，表述問題和解決問題”來實現，這一點就回答了有效教學的第二個問題.再者，基于核心素養的數學教學，非常重視評價與考核，而且提出三個原則：評價要重視思考深度，要關注學生的思維品質，要考查學生的思維過程，這三項原則恰好就回答了有效教學的第三個問題.

那么，基于核心素養下的高中數學課堂，如何讓“有效教學”落地呢？從我國正在進行的課程改革的重心來看，應該著力實現教學內容的整合，強調數學知識的整體性與聯系性；應該著力實現課堂教學模式的轉變，提倡開放式的教學.從高中數學核心素養與學科關鍵能力的系統構成分析看，可以將教學內容的整合與課堂教學模式轉變的基本設計用下圖來表示：

對上圖的分析解釋：

第1步中的背景驅動，可以解釋為：為解決本節授課內容核心問題所進行情境創設（往往是真實陌生的情境），使學生遇到困難后，嘗試對核心問題進行拆解轉化；

第2步中的有效學習和理解，可以解釋為：為解決第1步中拆解轉化出的子問題，對本節課的知識進行有效學習，建構知識經驗；

第3步中的有效應用和實踐，可以解釋為：讓學生利用第2步形成的知識經驗，充分呈現解決問題的思路，將知識功能化；

第4步中的有效遷移和應用，可以解釋為：讓學生回到第1步的情境中，多角度、多方位的思考、探究、推理，使數學知識系統化；

第5步中的深化對已有知識經驗的理解，可以解釋為：通過課上練習反饋或課下研究課題的實踐反饋，將知識經驗素養化.

以上的5個環節，可以理解為一個“項目塊”的教學設計，也就是說，備課時可以按照一個“項目塊”整體把握教材內容，但實際授課則可以在一個或幾個課時來實現.

下面就是筆者在進行“平面向量”這一章節的期末復習時，嘗試通過一個“項目塊”的模式，用一道2017年高考試題（江蘇卷，填空12題）作為知識方法的“領路人”，將“平面向量”一章的復習重點難點一一擊破的教學案例.

授課背景題目（2017年高考數學江蘇卷第12題）如圖1，在同一個平面內，向量OA，OB，OC的模分別為1，1，2，OA與OC的夾角為α，且tanα=7，OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB，（m，n∈R），則m+n= （答案：3）

圖1授課過程

環節1：以本年度高考題目作為引入，陌生情境下的核心內容會使學生產生“畏難”情緒，教師對難點采用“低坡度、小臺階”的方式進行拆解，讓學生在潛移默化中進入“知識經驗”的構建階段.

師：同學們，2017年夏季高考剛剛過去，我們作為一名高一學生，一定對高考題充滿了神秘感.今天，就讓我們憑借自己的力量，嘗試攻克一道和平面向量有關的試題.

屏幕投出一道填空題：（2017年高考數學江蘇卷第12題）如圖，在同一個平面內，向量OA，OB，OC的模分別為1，1，2，OA與OC的夾角為α，且tanα=7，OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB，（m，n∈R），則m+n= .

生1：老師，平面向量是本學期剛開始學習的內容，現在和它有關的基本概念、定理我們都快忘光了，怎么還能解出高考題？

師：我想，這位同學說出了大多數同學的顧慮.我們現在先不急于解出這道題，請大家看大屏幕.

師：此圖（節選自人教A版必修四第二章小結）是“平面向量”這一章的知識結構框架，我們一起來回顧一下基本知識要點.誰還記得向量的概念以及表示方法？

生2：向量是指既有大小又有方向的量.

生3：向量可以用有向線段來表示，也可以用字母表示.

師：回答的都很好.生3能通過上面這道填空題具體說明一下嗎？

生3：在這個題中，已知條件中的OA，OB，OC就是這三個向量的字母表示；而圖中對應的有向線段可以看作是向量的圖形表示.

師：說的不錯.生2剛才說出了向量具備的兩大要素：大小和方向.向量的大小也叫向量的模，就是這個向量的長度.從知識結構圖中大家能看到，我們目前學習的向量有線性運算和數量積運算，誰能說說線性運算包括哪些？endprint

生4：向量的加法、減法，還有數乘運算，都是線性運算.

師：具體說來，向量的加法有哪些運算法則？減法呢？

生5：加法有平行四邊形法則和三角形法則；減法有三角形法則.

師：是的.誰能在黑板上給大家示范一下？

三位同學主動在黑板上圖示三個法則，并在教師提示下，依據圖示寫出法則的字母表示（如：OC=OA+AC）.

師：哪位同學能按自己的理解，談談向量的數乘運算？

生6：我的理解，對一個向量乘以一個實數，就是在對這個向量的大小伸長或縮短.

師：向量除了大小，還有方向.那方向變了嗎？

生6：若乘的是正數，就不變；是負數，就變為反方向.

師：不錯！還有其他情況嗎？

生6：哦，若這個數是零，就得到零向量了！

師：很好（與學生一起寫出數乘運算的定義）！從以上的回顧，我們注意到，線性運算是不改變向量本質的運算，運算后的結果還是向量.那么大家的記憶里，向量還有什么“萬變不離其宗”的特性？（教師做出平移的手勢）

生7：我記得，向量的“可平移性”非常特別！一個非零向量只要保持大小和方向不變，就可以在平面內隨意平移！

師：說的非常好！那么，（在黑板做示意圖）現在平面內有兩個不共線的向量a，b，任意給出該平面內的一個向量c，請問大家：能否用向量a，b線性表示向量c呢？

生8：應該可以，向量是可平移的呀！

師：能詳細解釋一下嗎？

（生8到黑板前，將三個向量平移，讓它們有共同的起點O.然后利用向量加法的平行四邊形法則，將向量c在向量a，b方向上進行分解.）

生8：噢，借助共線向量間的數乘運算，一定能得到OC=mOA+nOB！就是這道高考題里的等式呀！

師：是的！（教師在黑板板演“平面向量基本定理”，要求學生領會并理解記憶）所以，此題就是讓我們求解這一組實數m，n.

師：由向量去求兩個具體的數量，直接借助此圖示能否辦到呢？我們不妨將其作為一個課下研究性課題，老師期待你們課后的成果呈現.今天課上的重點是平面向量的章節復習，所以我們再看一下本章的知識結構圖.向量的數量積運算是怎樣定義的呢？哪位同學還有印象？

（學生相互補充，給出了數量積的定義.有位同學還說出了數量積的坐標表示.教師正好借此契機，給出了向量的坐標表示，同學們相互協作，將向量中可以用坐標描述的運算、定理等一一用坐標形式表示了出來）

環節2：學生利用已形成的知識經驗，對情境中的問題多角度、多方位思考探究.

師：大家完成的非常好！事實上，我們能注意到，無論是數量積運算，還是坐標表示，都非常巧妙地實現了向量的“形”與“數”的完美轉化！這好像正好與我們對于這道高考題的困惑不謀而合呢！下面請大家先自己嘗試解決此題，五分鐘后四人小組溝通解決情況，有突破性進展的請及時告訴老師！

鑒于大家解題中均會用到α，∠AOB的三角函數值，故我們先由tanα=7，借助同角三角函數關系式，求得sinα=752，cosα=152；進而由兩角和的余弦公式得到cos∠AOB=cos（45°+α）=22（cosα-sinα）=-35，sin∠AOB=45.請大家選擇使用.

學生以小組形式踴躍談了不同的解題思路：

思路1對OC=mOA+nOB兩側分別同時點乘OC，再對OC=mOA+nOB兩側分別平方，

得到OC·OC=mOA·OC+nOB·OC，

OC2=（mOA+nOB）2，

得到m，n的兩個方程，求解即可；

思路2對OC=mOA+nOB兩側分別同時點乘OA、OB，得到OA·OC=mOA2+nOA·OB，

OB·OC=mOA·OB+nOB2， 由向量數量積的定義可以得到關于m，n的兩個二元一次方程，兩個方程相加，即可得到m+n=3.

點評：此解法思路清晰，運算簡潔，推薦！

思路3以BO方向為x軸正方向，以O為坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系.

則OB=（-1，0），OC=（-1，1），OA=（35，45），

帶入OC=mOA+nOB，可得到m，n的兩個方程，求解即可.）

圖2師：剛才同學們提到的思路，都非常好！一方面，充分把握了“平面向量”的“數形結合”的思想，另一方面，也對該章節的重點知識方法有了深刻的認識.思路一與思路三請大家課下梳理思路，完善過程步驟，做到大演草上.

師：同學們，最后我們再一次關注本章的知識結構圖，誰能總結一下本節課的收獲？

生9：我們回顧了“平面向量”一章的重點知識內容：向量的概念、運算以及坐標表示.

生10：還復習了一個定理：平面向量基本定理.但我記得本章好像還有一個定理的？

師：對！本章還有一個定理：共線向量定理，相信大家復習完向量的數乘運算后，能夠自主地將其整理出來，請大家課下自己整理到今天的演草上，結合我們剛才提到的研究性課題，共同構成了我們今天的課后作業，請大家認真完成.

師：誰還談談自己的收獲？

生11：老師，通過這節課，我發覺高考并不神秘，其實就是考查我們平時的典型知識方法.

師：說的很好！高考一定是立足我們平時的教材重點內容的，所以請大家在平時的學習中，腳踏實地，不好高騖遠，就一定能夠順利通過高考的選拔，實現自己的夢想的！

環節3：通過課下研究性課題，學生進行反饋、強化知識的落實

附學生課下研究小組對該題的深入研究成果

圖3方法1：將 OC 分別在OA、OB方向上進行分解，則OC=OM+ON（如圖3所示），且OM=mOA，ON=nOB，從而|OM|=m，|ON|=|MC|=n.從而在△OCM中，由正弦定理可知，

OCsin（180°-∠AOB）=MCsinα=OMsin 45°，由上式解得，m=54，n=74，進而m+n=3.

將數量的求解問題轉化成研究圖形中的線角關系，借助三角形知識解決，體現數形結合的思想.

圖4方法2：前半部分同方法1，將 OC 分別在OA、OB方向上進行分解，則OC=OM+ON（如圖4所示），且OM=mOA，ON=nOB，從而

OM=m，ON=n，MN=m2+n2-2mncos∠AOB.在平行四邊形OMCN中，由OC2+MN2=2（OM2+ON2），以及OC·OC=mOA·OC+nOB·OC，可得m=54，n=74，進而m+n=3.

我們注意到，數學教育的終極目標是：一個人學習數學后，即便這個人未來從事的工作和數學無關，也應當會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界[2].真正體會這一目標的深遠意義，一定會對我們基礎教育改革，特別是高中階段教育的改革，發揮巨大的推動作用.

參考文獻

[1] 皮連生，吳紅耘.兩種取向的教學論與有效教學研究[J].教育研究，2011（5）：2530.

[2]史寧中.學科核心素養的培養與教學[J].中小學管理，2017（1）：3537.

[3]王磊.學科能力構成及其表現研究[J].教育研究，2016（9）：8392.

作者簡介石菁，女，山東省泰安第一中學教師，高級教師.第三屆齊魯名師培養人選，山東省教學能手，泰安市勞動模范，泰安市功勛教師，泰安市優秀教師，泰安市高中數學學科帶頭人.endprint