高三復習中“微專題”的設置及其教學探討

G·波利亞曾經指出：“良好的組織使得所提供的知識容易用上，這甚至可能比知識的廣泛更為重要.”而與此相適應的，在高三復習教學中，依托主題明確、針對性極強的“微專題”進行復習，可以促進學生的深度學習，從而有利于學生獲得清晰的數學知識網絡、系統的數學研究方法，加深對數學的理解，提高自身的數學素養，從而提升學生解決各種問題的能力.當然這種“微專題”教學也符合當前高考試題的一些特點，現在把筆者所得到的若干體會闡述如下.

1高考試題“小切口，深探究”的特點與“微專題”教學兩者的關系

“小切口，深探究”是當前高考的一種趨勢，現以2017年浙江省高考試題為例，如第5題以小切口“含參數的二次函數在閉區間上的最值問題”展開，從與閉區間相關的二次函數最值問題再到怎么解決含參數的最值之間的關系進行鑒別、探究，用很小角度考查學生的數學思維；第8題與第11題分別以隨機變量、數學文化為載體，從小切口“兩點分布”、“割圓術”出發展開探究；第15題以向量知識為載體，從不等式恒成立問題出發，在小切口“三角不等式”和“基本不等式”等知識上展開探究；第17題以對勾函數知識為載體，從參數問題出發，在小切口“含參絕對值的最值問題”上展開探究等等.眾所周知，高中數學的知識點眾多，而高考數學受題量、時間等限制，抽樣考查數學知識，決定了只能是小切口、深探究，因為設問過大或過于常規的試題很難有較大區分度，難以起到選拔人才的作用.

而“微專題”復習是指針對某一具體的知識點或能力點，從該知識的基本概念、基本原理、基本規律入手，內化知識，構建結構，進行知識遷移、整合，并能運用基本概念和原理解決實際問題的一種“小切口”的復習方法.所以“微專題”復習教學的設置與以上高考試題的特點不謀而合，值得進行深一步地研究與探討.

2微專題設置及其課堂教學

2.1量化“考點”，設置微專題

“微專題”的設置應該打破教材原有的順序，依據考點整體謀劃新的復習體系.而基于考點量化架構“微專題”復習網絡，實現了基礎知識復習的全面性，又具有可操作性.例如近年來數列與不等式是逐漸回歸的一個考點，在多地的高考模擬試卷與最近浙江省教育考試院的調測卷中均有出現.而學生對于其中涉及到的“放縮”技巧往往掌握不好，針對這種情況，筆者專門設置了《數列不等式問題中的放縮方法》的微專題復習課，具體實施程序如下：

題1已知數列{an}的通項公式為an=n×（12）n-1，求證：當n≥3時，a1+a2+…+an≥3n+2n+1.

設計意圖：本題可以通過二項式定理的展開式，進行簡單的放縮巧妙地證明不等式.當在證明數列不等式問題時，若涉及到多項式與底數為常數的整數指數冪比較大小時，則運用二項式定理，再結合適當的放縮是解決問題的常規思路.

題2已知函數f（x）=ax-32x2的最大值不大于16，又當x∈[14，12]時，f（x）≥18，

（1）求a的值. （2）設0

設計意圖：本題可以在使用數學歸納法進行證明的過程中結合放縮法，從而順利地解決問題，它考查了學生靈活運用數學方法解題的能力，也展示了在利用數學歸納法證明數列不等式時如何運用放縮的方法.

題3當n≥3且n∈N*時，

求證：1n2

設計意圖：用導數的方法證明不等式，首先要從函數和變量的觀點出發仔細觀察式子的結構特征，有時也需要對不等式作一些等價變形；其次是引入相應的函數并將所有的式子移到一邊，用導數的方法研究此函數的單調性，從而證得結論.從而展示了在利用導數法證明數列不等式時如何運用放縮的方法.

題4數列{an}的各項均為正數，Sn為其前n項和，對于任意的n∈N*，總有an，Sn，a2n成等差數列，又記bn=1a2n+1a2n+3. （1）求數列{an}的通項公式：（2）求數列{bn}的前n項和Tn，并求使Tn>m150成立的最大正整數m的值.

設計意圖：本題是先拆項求和再放縮.這是常規思路.要注意放縮的技巧和放縮的適度. 而在證明數列不等式時放縮的其它常見技巧有：①添加或舍去一些項；②將分子或分母放大（或縮小）；③利用真分數的性質；④利用基本不等式；⑤利用函數的單調性；⑥利用函數的有界性；⑦利用絕對值不等式；等等.

當然，數列不等式的證明問題是千變萬化的，證明方法是多種多樣的，并且每種方法都是基于對問題的深入觀察、理解的基礎上.而通過上面的微專題教學，學生知曉了解決此類問題的常用方法，從而有了基本的知識貯備，也為今后此類考點的解決提供了條件.

2.2抓住“重點”，設置微專題

數學中有些內容，歷次高考都會重點考查，抓住這些重點精設專題，可以大大提高復習的針對性.例如絕對值函數經常在高考中“拋頭露面”，是高考考查的重點內容.為此筆者參考了有關資料，設計了“含有x-a的一類函數問題”的微專題，具體設計如下：

題5（1）已知函數f（x）=xx-2-a有三個零點，求a的取值范圍.

（2）函數f（x）=xx-a在[2，+∞）上單調遞增，求a的取值范圍.

設計意圖：問題是思維的開端，是學習的起點，也是學生深入探索心理的原動力.所以在數學課堂教學中應著力創設問題情境，去激發學生的創新欲望，為課堂教學創造出良好的學習情境，達到課始趣生的效果.

題6已知函數f（x）=x（x-a）.（1）當a≤0時，求函數f（x）的單調區間；

（2）在（1）的條件下，求函數f（x）在[-1，12]上的最大值.

設計意圖：在提出問題之后，在意向心理主導控制下，帶著問題自主探究.學生通過接受知識信息，評價信息，獲得新知，從而構建新的認知結構.可輔以學習小組切磋，全堂共議，使學生在討論中辨析，在自學中獲知，在探求中提高.

題7設a為實數，函數f（x）=2x2+（x-a）x-a，求函數f（x）的最小值.

設計意圖：在自主探究的基礎上，通過知識信息的集中反饋，檢查學生對數學思想方法的理解程度和對問題探究的深度與廣度，再通過提問、投影及時矯正錯誤信息，讓學生進行辨析、比較，矯正確認.

題8已知方程x-ax=a有三個不同的根，求a的取值范圍.

設計意圖：在反饋、矯正、確認新知的基礎上，通過聯想、拓展、延伸，作必要的橫向聯系與縱向推廣，重視滲透數學思想方法，形成數學文化.

題9已知函數f（x）=xx-a-2，當x∈[0，1]時，f（x）<0恒成立，求a的取值范圍.

設計意圖：在聯想、拓展基礎上，精心選配一些新授知識的練習，使學生的智力活動完成“再現式應用——變式應用——創造性應用”的過程，達到激活思維、鞏固新知的目的.

在完成上面五個步驟的基礎上抓住知識結構和數學思想方法，再作歸納總結、點撥提高，幫助學生從感性認識上升到理性認識，再用理性認識指導感性認識，產生新舊知識有意義的同化作用.通過上面的微專題教學，從而使學生對于高中數學的重點內容——絕對值函數有了較為深入的了解.

2.3洞察“疑點”，設置微專題

復習課除了要幫助學生建構良好的認知結構，更要關注認知障礙，這就是我們常提到的“疑點”.教師在平時的教學和測試中要做有心人，善于發現并積累這些“困惑”，從學情出發，以洞察弱點，突破疑點為目標設置微專題，必然能起到事半功倍的復習效果.例如數量積問題經常出現在選擇填空的壓軸題中，而學生在處理這一部分內容時，經常感到迷茫，不知道從何處入手.為此，筆者專門設置了“投影在數量積問題中的運用”的微專題，具體設計如下：

題10（1）設e1，e2為單位向量，且e1，e2的夾角為π3，若a=e1+3e2，b=2e1，則向量a在b方向上的投影為 .

（2）已知點A（-1，1），B（1，2），C（-2，-1），D（3，4），則向量AB在CD方向上的投影為 .

設計意圖：上面的兩個問題事實上是數量積投影公式的直接運用，其解決過程可以說是“直接運用，言簡意賅”，從而使學生進一步熟悉了這個公式.

題11請用數量積的幾何意義的角度思考以下的三個問題.

（1）已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC=60°，則BD·CD=；

（2）在△ABC中，C=90°，CB=3，點M滿足BM=2MA，則CM·CB=；

圖1（3）如圖1，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP=3，則AP·AC=.

設計意圖：上面的三個問題事實上是數量積幾何意義的直接運用， 其解決過程可以說是“抓住關鍵，一擊即中”，使學生對于利用幾何意義解決數量積問題有了初步的嘗試.

題12請用數量積的幾何意義的角度思考以下三個問題.

（1） 在平面直角坐標系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲線y=1-x2上的一個動點，則BP·BA的取值范圍是 .

（2）如圖2，在△ABC中，AD⊥AB，BC=3BD，AD=1，則AC·AD= .

圖2圖3（3）如圖3，在等腰直角△ABC中，AC=BC=2，點M，N分別是AB，BC的中點，P點是△ABC（包括邊界）內任意一點，則AN·MP的取值范圍是 .

設計意圖：通過以上的三個問題的分析，不難發現這些問題事實上是數量積幾何意義的更深入的運用，其解決過程可以說是“知識綜合，拔丁抽楔”.從而使學生拓展了對這類問題的解決思路.

探究（1） （2016年浙江高考文科試題） 已知平面向量a，b，a=1，b=2，a·b=1，若e為平面單位向量，則a·e+b·e的最大值是.

（2） （2016年浙江高考理科試題）已知向量a、ba=1，b=2，若對任意單位向量e，均有a·e+b·e≤6，則a·b的最大值是.

設計意圖：通過上面問題的解決不難發現，許多與數量積有關的高考試題，如果合理運用向量投影去研究和分析，就極有可能回避較為繁瑣的代數運算，也即向量投影進行適當的圖形表征有助于問題的形象直觀思考，也有助于簡約問題解決的思維長度，從而順利地解決面臨的問題.

通過上面的問題鏈設計，我們以一句唐伯虎的詩句來總結此微專題，即：一上一上又一上，一上上到高山上；舉頭紅日白云低，四海五湖皆一望.而通過學生的交流發言，可以知道今天所遇到的問題的解法往往不止一種，并且我們用向量投影知識的解法也未必是最簡單、最適宜的解法，但是這種分析和解決數量積等相關問題的思路進一步豐富了我們的知識貯備，為這類問題的解決提供了多種選擇空間.

2.4感知“熱點”，設置微專題

當然，微專題的設置也應盡量關注近年高考中出現的各種熱點問題.例如多元最值問題是近年高考考查的熱點之一，多元最值問題中以二元問題最為常見，也相對簡單；對于超過二元的問題，要善于將其轉化成二元問題或一元問題.筆者參考了有關資料，設計了“多元最值問題的研究”微專題的教學，設計如下：

題13（1）若實數x，y滿足約束條件x≤1，y≤2，

x+y≥2，求目標函數z=3x+y的取值范圍.

（2）已知x，y滿足x-4y+3≤0，

3x+5y-25≤0，

x≥1，求z=x2+y2+6x-4y+13的取值范圍.

（3）設實數x，y滿足3≤xy2≤8，4≤x2y≤9，求x3y4的最大值.

設計意圖：通過由最基本的線性規劃問題出發，即在二元線性約束條件下求二元線性目標函數的最值，可以引導學生復習鞏固基本的求解方法，即幾何意義轉化.然后再加以延伸擴展.

題14（1）在正項等比數列{an}中，存在兩項am、an，使得aman=4a1，且a7=a6+2a5，求1m+5n的最小值.

（2）已知a，b為正實數，且a+b=2，求a2+2a+b2b+1的最小值.

（3）設x、y、z為正實數，且x-2y+3z=0，求y2xz的最小值.

設計意圖：學生在新授學習或一輪復習中，對于由基本不等式關系得到的x2+y2、x+y、1x+1y的關系比較熟悉，能夠直接運用其處理一些簡單的不等式和最值問題；但是對于一些式子結構復雜尤其是系數不為1且有分式的問題，缺乏處理的技巧，需要分析強化.

題15（1）已知函數f（x）=lg x，若存在互不相等的實數a，b，使f（a）=f（b），求ab的值.

（2）已知函數f（x）=x-1-1，若關于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有四個互不相等的實數根x1、x2、x3、x4，則x1x2x3x4的取值范圍是.

（3）對于實數a和b，定義運算“*”：a*b=a2-ab，a≤b，

b2-ab，a>b.設f（x）=（2x-1）*（x-1），

且關于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數根x1、x2、x3，則x1x2x3的取值范圍是.

設計意圖：與函數有關的多元最值問題豐富多樣，而“已知函數在不同的單調區間上取相同的函數值，求相應的自變量構成的式子的范圍”一類問題，是學習的難點及高考的熱點之一，需要進一步例析與類化.

綜而言之，如上這樣的微專題具有主干性、系統性和應用性，從必修到拓展、從教材到課外，跨章節、跨模塊對知識進行整合，突破了教材的禁錮，也不斷重組著學生的認知結構，對于他們分析問題以及解決問題的綜合能力的提升大有脾益.

顯然，筆者對“微專題”復習教學的研究還存在著研究范圍不廣、涉及程度不深等諸多不足，有待于進一步的學習與研討.

作者簡介黃加衛（1971—），男，浙江省湖州市人，中教高級，碩士學位，研究方向：高中數學教學.近年來在省級及以上雜志上發表論文180余篇.endprint