從一道高考題的探究看高三數(shù)學復習策略

朱永廠++錢軍先

1問題提出

圖1高三數(shù)學一輪復習課上，筆者向學生展示了2017年高考數(shù)學江蘇卷第12題：“如圖1，在同一個平面內，向量OA，OB，OC的模分別為1，1，2，OA與OC的夾角為α，且tanα=7，OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB（m，n∈R）， 則m+n=.”

這是一道以平面向量基本定理為背景，以向量分解和向量加法的法則為工具，以化歸思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想為依托的既源于課本又高于課本的試題，本題的立意深、入口寬、方法廣，具有較高的研究價值.本文旨在通過學生對問題解法的探究、理解和感悟來探尋高三數(shù)學高效課堂之道，以期拋磚引玉.

2解法探究

對問題解法進行多角度的探究，運用一題多解的方法，能夠有效地幫助學生自主構建平面向量的認知網絡，獲得解決問題的一般方法，找到向量與其他知識的內在聯(lián)系，揭示出問題的本質，比較出各種不同解法的優(yōu)劣，將數(shù)與形完美地結合，使一個陌生的、復雜的問題轉化成熟悉的、易于解決的問題來處理，從而有效地訓練學生的思維品質，提高學生分析問題和解決問題的能力，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

圖22.1從形的視角入手

課堂上，第一學習小組首先從形的角度進行了探究，借助向量加法的三角形法則和解三角形中的正弦定理，獲得了常規(guī)解法，由組長學生1展示.

解法1如圖2，過點C作直線OA的平行線交OB的延長線于D，則有OC=OD+DC，由tanα=7得sinα=7210，cosα=210，

在△OCD中，有sinD=sinπ4+α=sinπ4cosα+cosπ4sinα=22·210+22·7210=45，

由正弦定理，得OD7210=CD22=245，解得CD=54，OD=74，再由DC=mOA，OD=nOB得m=54，n=74.所以m+n=3.

這時，第二小組的學生2也站了起來說，上面的方法是利用平面向量基本定理將向量OC分解到向量OA，OB方向上來的，解法很好，但若換個視角將向量OA，OB進行分解，解法將更為優(yōu)美.

圖3解法2如圖3，分別將向量OA，OB分解到平行和垂直于OC的方向上來，再由OC=mOA+nOB，可得mcosα+ncos45°=2，

msinα-nsin45°=0，

因為sinα=7210，cosα=210，

所以210m+22n=2，

7210m-22n=0，即m+5n=10，

7m-5n=0，

解得m=54，n=74，所以m+n=3.

此時，先是鴉雀無聲，后是掌聲一片！

2.2從數(shù)的角度挖掘

稍傾，第三學習小組又提出了不同的見解，小組代表同學3激動地說，問題中既有向量的模又有向量的夾角，這與向量的數(shù)量積有聯(lián)系，正是向量數(shù)量積的體現(xiàn)啊！若從向量數(shù)量積的角度去挖掘，則會出現(xiàn)“柳暗花明又一村”的喜人景象.

解法3由OC=mOA+nOB，得

mOA=OC-nOB，

nOB=OC-mOA，

對方程組中的方程兩邊分別平方得

m2OA2=OC2+n2OB2-2nOBOCcosπ4，

n2OB2=OC2+m2OA2-2mOAOCcosα，再由OA=1，OB=1，OC=2和cosα=210得m2=2+n2-2n，

n2=2+m2-25m，解得m=54，n=74，

所以m+n=3.

同是第三小組的同學4也站了起來說，告訴大家一個好消息，我們組還從結論“若向量OA，OB不共線，且OP=xOA+yOB，則x+y=1的充要條件為A，B，P三點共線（蘇教版必修④P73第15題） ”入手，得出了這道試題的另一種解法.

圖4解法4如圖4，連結AB交OC于D，由tanα=7可得sinα=7210，cosα=210，

所以 cos∠AOB=cosπ4+α=cosπ4cosα-sinπ4sinα=-35，

在△OAB中，由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB=165，即AB=45，

于是又cosB=25，sinB=15，所以sin∠ODB=sinπ4+B=31010.

由正弦定理得OD15=131010，解得OD=23，

故OC=3OD.所以，由上述結論得m+n=3.

此時，教室里響起了一片熱烈的掌聲！

2.3從數(shù)與形的角度升華

緊接著，第四學習小組的同學顯得有點急不可耐了，學生5代表大家闡述了觀點，基于向量兼具數(shù)與形的雙重特征，我們如果建立平面直角坐標系就能將數(shù)與形完美結合起來.

圖5解法5如圖5，以O為坐標原點，OA為x軸建立平面直角坐標系，因為sinα=7210，cosα=210，sinπ4+α=45，

所以有 OA=1，0，OB=cosα+π4，

sinα+π4=-35，45，

OC=2cosα，2sinα=15，75，又OC=mOA+nOB，所以可得m-35n=15，

45n=75，解得m=54，n=74，所以m+n=3.

第五學習小組的同學6代表他們組給出了更為巧妙的建系方法，獲得了較小運算量的精彩解法.

解法6以O為坐標原點，OC為x軸建立平面直角坐標系，于是有OA=cos-α，sin-α，OB=cosπ4，sinπ4，OC=2，0，

再由sinα=7210，cosα=210和OC=mOA+nOB，得mcosα+ncos45°=2，endprint

-msinα+nsin45°=0，即m+5n=10，

7m-5n=0，

解得m=54，n=74，所以m+n=3.

最后，學習委員進行了概括與總結：本題并不是一道多么繁、難的問題，解決起來也沒有太大的困難，問題突破的關鍵在于能否通過對本題的探究，將平面向量、解三角形以及解析法等知識和方法有機地串聯(lián)起來，能否通過不同的解法比較出各解法的優(yōu)劣，能否通過探究概括出可以推廣的東西，能否在解決問題中優(yōu)化我們學習者的思維.

不知不覺中，下課鈴響了，但雷鳴般的掌聲經久不息！

3教學思考

課堂上，筆者引導學生從多角度、深層次對高考題進行了探究，不僅深化了對平面向量的加法法則、平面向量基本定理、向量數(shù)量積、向量的坐標運算、三角形中的正、余弦定理等核心概念的理解，還將它們的本質和內涵進行了有機整合和聯(lián)系，將數(shù)學中的符號語言和圖形語言進行了巧妙的結合和轉化.雖然本節(jié)課只是解決了一道題，但是從問題的典型性、探究的科學性、引導的合理性來看卻是解決了一類題甚至是幾類題，收到了較好的效果.在高三復習課的例題教學中，如果我們能在引導學生從不同角度探究問題的解法的同時，幫助學生比較不同解法的優(yōu)劣、總結適用的范圍、探索可推廣的條件，在變式拓展中完善學生的認知結構，深化學生對所學知識、思想和方法的認識和理解，提高學生分析問題、解決問題的能力，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，則更加完美.基于此，筆者對高三的數(shù)學復習有如下思考：

3.1回歸課本，重在構建和完善認知網絡

高三數(shù)學復習過程中，要立足課本，結合具體問題，重新全面地梳理課本中的概念、定理、公式等知識和方法，系統(tǒng)地建構知識結構和網絡，要引導學生揭示其內在的聯(lián)系與規(guī)律，從中提煉出數(shù)學思想方法.課本中的許多重要的例題和習題都是高考試題的原型，它們蘊含了重要數(shù)學理論的本質屬性，蘊含著數(shù)學中重要的數(shù)學思想方法，對這類數(shù)學問題，要充分運用變式教學，通過類比、延伸、遷移和拓展，提出新的問題并加以解決，努力使學生做到觸類旁通、舉一反三，有效地培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和提高數(shù)學素質.

3.2精選例題，重在突出典型性和示范性

問題是數(shù)學的心臟，如何選題很重要.在高三數(shù)學復習過程中，大多數(shù)教師仍然喜歡選一些技巧性強的難題，以為這樣學生的水平就能提高，學生在高考中就能得心應手，就能體現(xiàn)出教師水平的高超.其實恰恰相反，這樣的課堂往往是低效的，甚至是無效的乃至負效的.實際上，例題的選擇應具有典型性、思維性和示范性，例題的立意要深、入口要寬、方法要廣、研究性要強，只有這樣的問題才有利于教師從不同的角度去引導學生進行探究；才有利于學生進行解題的總結與歸納、回顧與反思；才有利于學生提煉并概括出基本思想與基本方法；才有利于學生在解法的比較和思辨中解決“會而不對，對而不全，全而不美”的現(xiàn)象；才有利于學生在高考中超越自我、創(chuàng)造輝煌.

3.3解題教學，重在研究解題方向和策略

數(shù)學教學是數(shù)學思維活動的教學.數(shù)學能力的提高在于解題的質量而非解題的數(shù)量，解題教學要重在研究解題的方向和策略.教師對問題的講解要到位，要重視知識的形成過程，不能孤立地就題論題，要講相關知識點之間的聯(lián)系，要講老師是如何想到的？為什么這樣想？條件與目標之間應該如何轉化？要把教師之前不成熟的想法、錯誤的想法和調整后的想法展現(xiàn)給學生，要多講通性通法，少講或不講不具有推廣性的技巧.要注意充分挖掘典型題的教育功能，教學生學會思考，學會對典型問題進行變式、拓展、推廣和反思.

學之道在于“悟”，教之道在于“度”.課堂教學是教與學的雙邊活動，學的真諦在于悟，悟是獨立思考，是自主構建，是高效的學習方法；教的秘訣在于度，度就是恰到好處，就是能在恰當?shù)臅r間和結點給予啟發(fā)，是高效課堂的重要保證. 學的悲哀是依賴，教的悲哀是替代，這種不爭的依賴和替代現(xiàn)象在基礎年級有，在畢業(yè)年級也存在.所以，在高三數(shù)學復習中，只有教會學生探究和思考問題的方法，才能真正擺脫模仿，走出題海，走向創(chuàng)新.

作者簡介朱永廠（1977—），男，江蘇泗洪人，中學高級教師，研究方向為課堂教學與課程改革研究.省優(yōu)秀青年教師，學科帶頭人，已在《數(shù)學通報》、《數(shù)學教學》、《中學數(shù)學雜志》等期刊上發(fā)表論文一百多篇，參編教材兩本，編寫專著一本，主編教輔用書10余部等.endprint